第2章 §3 第1课时 函数的单调性-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§3　函数的单调性和最值 第1课时　函数的单调性 课程标准 素养解读 1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性 2．利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义 3．会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性 1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，提升数学直观素养 2．在函数单调性的应用过程中，提升逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 根据上面函数图象，写出函数的变化趋势． 提示：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势． [知识梳理] [知识点一]　增函数与减函数的定义　 条 件 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有　f(x1)＜f(x2)　 都有　f(x1)＞f(x2)　 结 论 y＝f(x)在D上是增函数，若I⊆D，也称在I上单调递增 y＝f(x)在D上是减函数，若I⊆D，也称在I上单调递减 图 示 1.在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？ 提示：不能． [知识点二]　函数的单调性与单调区间　 如果函数y＝f(x)在区间D上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的　单调区间　. 2.区间D一定是函数的定义域吗？ 提示：不一定，可能是定义域的一部分． 3．函数y＝在定义域上是减函数吗？ 提示：y＝在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)． [预习自测] 1．下列结论中，正确的是(　　) A．函数y＝kx(k为常数，且k<0)在R上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数y＝在定义域内是减函数 D．y＝在(－∞，0)上是减函数 答案：D 2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　) A．f(x1)＜f(x2)　　　 B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 答案：D 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是　　. 答案：(－∞，1]和(1，＋∞) 函数单调性的判定与证明 [例1] 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． [思路点拨]　依函数单调性的定义证明． [证明]　对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝－＝＝. ∵x2＞x1＞0， ∴x2－x1>0，x1＋x2＞0，xx>0. ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)． ∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数． 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝. ∵x1＜x2＜0，∴x2－x1>0，x2＋x1＜0，xx>0. ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是减函数． 1．利用定义判断或证明函数单调性的4个步骤 2．利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧有哪些？ (1)因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f(x)＝x3－1. (2)通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．如本例． (3)配方．当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号． (4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．如f(x)＝ [变式训练] 1．设函数f(x)＝.用定义证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上是单调减函数． 解：任取1＜x1＜x2，因为f(x1)－f(x2) ＝－＝， ∵1＜x1＜x2， ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0⇒f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在区间(1，＋∞)上是单调减函数． 求函数的单调区间 [例2] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． [思路点拨]　先转化为分段函数，再画其图象． [解]　y＝－x2＋2|x|＋3 ＝ 函数图象如图所示． 函数在(－∞，－1)，[0,1)上是增函数， 函数在[－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1)和[0,1)， 单调减区间是[－1,0)和[1，＋∞)． 　求函数单调区间的两个方法及三个关注点 (1)两个方法： 方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解． 方法二：图象法，即先画出图象，根据函数图象求单调区间． (2)三个关注点： 关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域． 关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用． 关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． [变式训练] 2．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间． 解：f(x)＝的图象如图所示． 由图可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)；单调增区间为[2，＋∞)． 利用单调性比较大小 [例3]　(1)若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是(　　) A．f>f(a2－a＋1) B．f≥f(a2－a＋1) C．f<f(a2－a＋1) D．f≤f(a2－a＋1) (2)已知函数f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)≤f(3a－2)，则a的取值范围是　________　. [思路点拨]　依据单调性的定义判断． [解析]　(1)B　[∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且a2－a＋1＝2＋≥>0， ∴f(a2－a＋1)≤f.] (2)因为函数f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)≤f(3a－2)，所以－1<3a－2≤1－a<1，解得a∈. 答案： 1．利用单调性比较大小的方法 (1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2∈D，x1<x2⇔f(x1)<f(x2)． (2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去． 2．利用函数单调性解不等式 　与函数单调性有关的结论 (1)正向结论：若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则 当x1<x2时，f(x1)<f(x2)； 当x1>x2时，f(x1)>f(x2)． (2)逆向结论：若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则 当f(x1)<f(x2)时，x1<x2； 当f(x1)>f(x2)时，x1>x2. (3)当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，也有(1)(2)相应的结论． [变式训练] 3．已知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)<f(2x－3)，求x的取值范围． 解：∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数， 且f(x)<f(2x－3)， ∴解得<x<3. ∴x的取值范围是. 单调性的综合应用 [例4] 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围． [思路点拨]　解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解． [解]　f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 ＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x＝1－a. ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合． ∴1－a≥4，解得a≤－3. ∴实数a的取值范围是(－∞，－3]． 1．函数单调性的定义具有“双向性”；利用函数单调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围． 2．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的定义(也就是函数单调性的性质)，将符号“f”脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于x的不等式(组)． 3．若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 4．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．利用已知函数研究函数单调性问题，像一次函数、二次函数、正、反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判断即可． [变式训练] 4．(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是　________　. (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为　______　. 解析：(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]． (2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且f(2x－3)>f(5x－6)， ∴2x－3>5x－6，即x<1. ∴实数x的取值范围为(－∞，1)． 答案：(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1) 1．函数f(x)＝|x＋2|在[－3,0]上(　　) A．单调递减　　　　　　　 B．单调递增 C．先减后增 D．先增后减 答案：C 2．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，40] B．(40,64) C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞) 答案：C 3．函数y＝x2－2x的单调递减区间是　________　，单调递增区间是　　. 答案：(－∞，1]　[1，＋∞) 4．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f()的实数x的取值范围为　________　. 答案： 5．用定义法证明：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数． 证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝(x＋x2)－(x＋x1) ＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x＋1) ＝(x2－x1). ∵2＋x＋1>0，x2－x1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， ∴函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$