第1章 4.2 一元二次不等式及其解法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

4．2　一元二次不等式及其解法 课程标准 素养解读 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2．掌握图象法解一元二次不等式 3．会对含参数的一元二次不等式分类讨论 通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，两根为x1，x2， 令ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2) ＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2， ∴即 [知识梳理] [知识点一]　一元二次不等式　 1．定义：形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bc＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解集：使一元二次不等式　成立　的所有　未知数　的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． 1.不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？ 提示：不是．一元二次不等式一定为整式不等式． 2．一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ 提示：不可以．若a＝0，就不是二次不等式了． [知识点二]　一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系　 1．对应关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 　{x|x<x1，或x>x2}　 　　 　R　 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 　{x|x1<x<x2}　 　∅　 　∅　 2.本质：一元二次方程、一元二次不等式是—元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式． 3．应用：①解一元二次不等式；②已知一元二次不等式的解集求参数． 3.当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？ 提示：R，. [预习自测] 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1}　　 B. C. D. 答案：D 2．使式子有意义的实数x的取值范围是(　　) A．{x|x>0，或x<－1} B．{x|x≥0，或x≤－1} C．{x|－1<x<0} D．{x|－1≤x≤0} 答案：C 3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是　____________　. 答案：{x|x>3，或x<－1} 　　　一元二次不等式的解法 [例1] 解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. [思路点拨]　先求对应方程的解，再依据二次函数的图象写出不等式的解集． [解]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为， (3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为 . (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 一元二次不等式的两种解法 1．图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象； ③由图象得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． 2．代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”． [变式训练] 1．解下列不等式： (1)x2－x－6>0； (2)25x2－10x＋1>0； (3)－2x2＋x＋1<0. 解：(1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图象知x2－x－6>0的解集为{x|x>3，或x<－2}． (2)方程25x2－10x＋1＝0的两相等实根， x1＝x2＝. 结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图象知 25x2－10x＋1>0的解集为. (3)法一：方程－2x2＋x＋1＝0的解为x1＝－，x2＝1，函数y＝－2x2＋x＋1的图象是开口向下的抛物线，与x轴的交点为和(1,0)，如图， 观察图象知不等式的解集为. 法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－1>0，方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－，x2＝1；画出函数y＝2x2－x－1的图象如图所示． 观察图象，可得原不等式的解集为 . 含参数的一元二次不等式的解法 [例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路点拨]　分a＝0和a≠0两种情况讨论． [解]　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0， 解得x>1. ②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0， 解得x<或x>1. ③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0. 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a>1，即<1时，解得<x<1； 若0<a<1，即>1时，解得1<x<. 综上可知，当a<0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 含参数的一元二次不等式的解法 [变式训练] 2．已知y＝x2－(a＋1)x＋a. (1)当a＝3时，求不等式y＞0的解集； (2)解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a≤0. 解：(1)当a＝3时，x2－4x＋3＞0，(x－1)(x－3)＞0，∴x＞3或x＜1，不等式解集为{x|x＞3，或x＜1}． (2)不等式可化为(x－a)(x－1)≤0. ①当a＝1时，原不等式即为(x－1)2≤0， 解得x＝1； ②当a＜1时，原不等式化为(x－a)(x－1)≤0， 解得a≤x≤1； ③当a＞1时，原不等式化为(x－a)(x－1)≤0， 解得1≤x≤a. 综上可知，当a＜1时，不等式的解集为{x|a≤x≤1}；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}；当a＞1时，不等式的解集为{x|1≤x≤a}． 三个“二次”关系的应用 [例3]　(1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝　________　. (2)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式cx2－bx＋a>0的解集为　________　. [思路点拨]　设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. [解析]　(1)由已知得， ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a<0. ∴解得 ∴a＋b＝－14. (2)由题意知即 代入不等式cx2－bx＋a>0， 得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)． 即6x2＋5x＋1<0，解得－<x<－， 所以所求不等式的解集为. [答案]　(1)－14　(2) 一元二次不等式解集逆向应用 问题的解法及步骤 (1)求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤： 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c. 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． [变式训练] 3．若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，求关于x的不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集． 解：∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}， ∴a<0且－3和4是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根， ∴，解得. ∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0 可化为－ax2＋2ax＋15a<0， 即x2－2x－15<0， ∴－3<x<5， ∴所求不等式的解集为{x|－3<x<5}． 1．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<2}　　　　　　 B．{x|－2<x<1} C．{x|<－2，或x>1} D．{x|－1<x<2} 答案：B 2．(多选)关于x的不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是(　　) A.　　 B．R C. D．∅ 答案：BCD 3．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　________　. 答案：{a|1≤a≤2} 4．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是　________　. 答案：m≤1或m≥9 5．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0. 解：将x2－3ax－18a2>0变形得 (x－6a)(x＋3a)>0， 方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a. 所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a，或x>6a}； 当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为 {x|x≠0}； 当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为 {x|x<6a，或x>－3a}． 学科网（北京）股份有限公司 $$