第1章 4.1 一元二次函数-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 课程标准 素养解读 掌握一元二次函数的背景、概念和性质 通过一元二次函数的性质，发展学生直观想象、逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． [知识梳理] [知识点一]　一元二次函数及其变形　 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为一元二次函数的　一般式　，函数y＝a(x－h)2＋k称为一元二次函数的　顶点式　，其中点(h，k)为抛物线的顶点． 注意：一元二次函数的一般形式化成顶点式的方法—配方法； y＝ax2＋bx＋c＝a2＋. [知识点二]　函数y＝x2与函数y＝ax2(a≠0)的图象间的关系　 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可由y＝x2的图象各点的　横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍得到　.其中a决定了图象的　开口方向　和在同一直角坐标系中的　开口大小　. [知识点三]　一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质　 (1)内容： ①函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是　(h，k)　，对称轴是直线　x＝h　. ②当a＞0时，抛物线开口向上；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而　减小　；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而　增大　；函数在x＝h处有最小值，记作　ymin＝k　. 当a＜0时，抛物线开口向下；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而　增大　；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而　减小　，函数在x＝h处有最大值，记作　ymax＝k　. (2)本质：一元二次函数是一种常见的函数，它是客观反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型． (3)作用：①利用一元二次函数的图象研究一元二次不等式的解法；②求有关函数的最大值和最小值；③为学习其他函数图象和性质，奠定方法和知识的基础． 1.函数图象平移的原则是什么？ 提示：左右平移的原则：“左加右减”；上下平移的原则：“上加下减”． [知识点四]　一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质　 　　 a的符号 性质　　 a＞0 a＜0 图象 开口方向 开口　向上　 开口　向下　 顶点坐标 对称轴 　x＝－　 　x＝－　 单调 区间 在区间 上是减小的， 在区间 上是增加的 在区间 上是增加的 在区间 上是减少的 最大值、 最小值 当x＝－时，函数取得最小值；无最大值 当x＝－时，函数取得最大值；无最小值 2.对于函数y＝ax2(a≠0)，a越大，其图象开口越小吗？ 提示：不一定小，例如函数y＝x2与y＝－x2的图象的开口大小相同，决定其开口大小的是|a|，|a|越大，开口越小． 3.通过怎样的变换，可以由函数y＝x2的图象得到y＝2(x－1)2的图象？ 提示：把函数y＝x2的图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2x2的图象；把函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝2(x－1)2的图象． 4．如何判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有无公共点？ 提示：利用判别式Δ＝b2－4ac来判断． 当Δ＞0时，有两个不同的公共点；当Δ＝0时，有唯一公共点；当Δ＜0时，无公共点． [预习自测] 1．函数y＝2x(3－x)的图象可能是(　　) 解析：B　[由2x(3－x)＝0，得x＝0或x＝3，可知图象与x轴的交点为(0,0)，(3,0)，排除A，C.又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图象开口向下，故排除D.] 2．把函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度，将得到的函数图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为(　　) A．y＝2x2－1　　　　　 B．y＝2x2－2 C．y＝2x2＋1 D．y＝2x2＋2 解析：B　[y＝x2→y＝x2－1→y＝2(x2－1)＝2x2－2.] 3．一元二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小　________　，开口方向　________　. 解析：由|2|＝|－2|，知二者开口大小相同；由2＞0，－2＜0，知二者开口方向相反． 答案：相同　相反 　一元二次函数的图象问题 [例1] 若把函数y＝x2－6x＋6图象的横坐标缩小到原来的倍，得到图象C1，再把C1的纵坐标扩大到原来的2倍，得到图象为C2，试写出图象C2的解析式． [思路点拨]　根据平移规律依次变换． [解]　y＝x2－6x＋6y＝(2x)2－12x＋6 ＝4x2－12x＋6＝4x2－12x＋6，即y＝8x2－24x＋12.所以图象C2的解析式为y＝8x2－24x＋12. (1)平移变换不改变图象的形状，只改变图象在坐标系中的位置． ①x轴上平移，即把x换成(x±k)(k＞0，左正右负)； ②y轴上平移，即把y换成(y±h)(h＞0，下负上正)． (2)伸缩变换改变图象的形状． ①把横坐标变化到原来的ω(ω＞0且ω≠1)倍，即把x换成. ②把纵坐标变化到原来的λ(λ＞0且λ≠1)倍，即把y换成. [变式训练] 1．已知一元二次函数y＝－x2－2x＋3. (1)求出此函数图象与坐标轴的交点坐标； (2)指出此函数图象的顶点坐标和对称轴； (3)根据(1)(2)画出此函数图象的草图． 解：(1)由－x2－2x＋3＝0， 得－(x＋3)(x－1)＝0，解得x＝－3或x＝1，当x＝0时，y＝－02－2×0＋3＝3，所以此函数图象与x轴的交点坐标为(－3,0)，(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)． (2)配方，得y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，所以此函数图象的顶点坐标为(－1,4)，对称轴为直线x＝－1. (3)根据(1)(2)画出此函数图象的草图如图： 　 求二次函数的解析式 [例2] 已知二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)且过点P(2,0)，求这个函数的解析式． [思路点拨]　一元二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k. [解]　因为二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)， 所以，可设其解析式为y＝a(x－1)2－3. 又其图象过点P(2,0)，则a(2－1)2－3＝0， 解得a＝3. 所以这个函数的解析式为y＝3(x－1)2－3. 用待定系数法求二次函数解析式的设法技巧，求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地选用解析式的形式，用待定系数法求之． (1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，然后列出三元一次方程组求解． (2)当已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值时，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x＋h)2＋k[其顶点是(－h，k)，a≠0]． (3)当已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)(x2,0)时，则设所求二次函数为两点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． [变式训练] 2．已知二次函数的图象与x轴的交点为A(－1,0)和B(1,0)，且与y轴的交点为(0，－1)，求这个函数的解析式． 解：因为二次函数的图象与x轴的交点为A(－1,0)和B(1,0)， 所以，可设其解析式为y＝a(x－1)(x＋1)． 又其图象与y轴的交点为(0，－1)，则a(0－1)(0＋1)＝－1，解得a＝1.所以，这个函数的解析式为y＝(x－1)(x＋1)＝x2－1. 一元二次函数的最大值和最小值 [例3] 求函数f(x)＝x2－2x＋3在[－2,0]上的最值． [思路点拨]　先求对称轴，根据对称轴和区间的关系做出判断． [解]　由f(x)＝(x－1)2＋2知抛物线开口向上，对称轴为x＝1， ∴f(x)在[－2,0]上随x的增大而减小， ∴当x＝－2时， f(x)有最大值f(－2)＝11； 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3. 求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在[m，n]上的最值的步骤： (1)配方，找对称轴． (2)判断对称轴与区间的关系． (3)求最值，若对称轴在区间外，则f(x)的图象在[m，n]上恒上升或下降，在端点处取得最大值或最小值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得． [变式训练] 3．已知一元二次函数y＝4x2－4ax＋a2－2a＋2. (1)写出该函数的顶点坐标； (2)如果该函数在区间[0,2]上的最小值为3，求实数a的值． 解：(1)由y＝4x2－4ax＋a2－2a＋2＝42－2a＋2，所以抛物线的顶点坐标为. (2)二次函数图象开口向上，对称轴为x＝，在区间[0,2]上的最小值，分情况： ①当＜0，即a＜0时，x＝0时函数取得最小值， 即a2－2a＋2＝3，解得a＝1±，又a＜0，所以a＝1－； ②当0≤≤2，即0≤a≤4时，x＝时函数取得最小值， 即－2a＋2＝3，解得a＝－舍去； ③当＞2，即a＞4时，x＝2时函数取得最小值， 即16－8a＋a2－2a＋2＝3，解得a＝5±， 又a＞4，所以a＝5＋. 综上，a＝1－或a＝5＋. 1．把函数y＝－2(x＋1)2＋3的图象向左平移1个单位长度，并把所得到的函数图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，所得到的函数的解析式为(　　) A．y＝－(x＋2)2＋　　　 B．y＝－(x＋2)2＋3 C．y＝－x2＋ D．y＝－x2＋3 解析：A　[y＝－2(x＋1)2＋3→y＝－2[(x＋1)＋1]2＋3＝－2(x＋2)2＋3→y＝×[－2(x＋2)2＋3]＝－(x＋2)2＋.] 2．一元二次函数y＝3(x＋1)2－2的图象可以由函数y＝3x2的图象经过怎样的变换得到(　　) A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 解析：A　[由“左加右减上加下减”，y＝3x2的图象y＝3(x＋1)2y＝3(x＋1)2－2，所以正确选项为A.] 3．(多选)下列关于二次函数y＝(x－2)2－1的说法正确的是(　　) A．∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥1 B．∀a＞－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＜a C．∀a＜－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝a D．∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1 解析：BD　[二次函数y＝(x－2)2－1，开口向上，对称轴为x＝2，最小值为－1. 对于A, 二次函数y＝(x－2)2－1≥－1，所以∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥1错误，即A错误；对于B, 二次函数y＝(x－2)2－1≥－1，所以∀a＞－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＜a正确，即B正确；对于C, 二次函数y＝(x－2)2－1≥－1，所以∀a＜－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝a错误，即C错误；对于D，根据二次函数的对称性可知，∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1正确，即D正确．综上可知，正确的为BD.] 4．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则此函数的解析式为　________　. 解析：设y＝a(x＋2)(x－2)(a≠0)， 因为其图象过点(0,3)，所以a(0＋2)(0－2)＝3， 解得a＝－. 所以此函数的解析式为y＝－(x＋2)·(x－2) ＝－x2＋3. 答案：y＝－x2＋3 5．求函数f(x)＝x2－4ax－2在区间[0,2]上的最小值． 解：f(x)＝x2－4ax－2＝(x－2a)2－4a2－2，对称轴为直线x＝2a. (1)当a＜0时，函数在区间[0,2]上是增加的， 因为，f(x)min＝f(0)＝－2； (2)当0≤a≤1时，f(x)min＝f(2a)＝－4a2－2； (3)当a＞1时，函数在区间[0,2]上是减少的， 因此f(x)min＝f(2)＝2－8a. 综上，f(x)min＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$