第1章 3.2 第1课时 基本不等式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

3．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 课程标准 素养解读 掌握基本不等式≥(a，b都是正数)．能用基本不等式解决问题 通过学习基本不等式及其简单应用，重点培养数学运算、逻辑推理素养 [情境引入] (1)对∀a、b∈R.a2＋b2与2ab的大小如何？ (2)在图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.可得到CD＝，AB＝，由CD小于或等于圆的半径，可得出什么样的不等关系？ 提示：(1)a2＋b2≥2ab　(2)≤ [知识梳理] [知识点一]　重要不等式与基本不等式　 1．重要不等式 ∀a，b∈R，有　a2＋b2≥2ab　，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式 如果a>0，b>0，有≤，当且仅当　a＝b　时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的　算术平均数　，叫做正数a，b的　几何平均数　. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数　不小于　它们的几何平均数． 1.基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 2．基本不等式成立的条件“a，b>0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如≥是不成立的． [知识点二]　基本不等式与最值　 　已知x，y都是正数，则 (1)如果和x＋y等于定值s(和为定值)，那么当　x＝y　时，积xy有最大值s2. (2)如果积xy等于定值p(积为定值)，那么当　x＝y　时，和x＋y有最小值　2　. 3.x＋上的最小值是2吗？ 提示：当x>0时，x＋的最小值是2； 当x<0时，x＋没有最小值． [预习自测] 1．(多选)下列结论正确的是(　　) A．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立 B．若a，b同号，则＋≥2 C．若a>0，b>0，则ab≤恒成立 D．若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 答案：BD 2．已知x>0，则3x＋的最小值为(　　) A．3　　B．2　　C．3　　D．2 解析：D　[因为x>0，所以3x＋≥2， 当且仅当3x＝，即x＝时取等号．] 3．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为　________　. 解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正， 所以x－2y>0，即x>2y. 答案：x>2y 利用基本不等式比较大小 [例1] 设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<<　B．a<<<b C．a<<b< D.<a<<b [思路点拨]　当a>0，b>0时，≥，当且仅当a＝b时取等号，注意等号成立的条件． [解析]　[法一　∵0<a<b，∴a<<b，排除A，C两项． 又－a＝(－)>0，即>a，排除D项． 法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a<<<b.] [答案]　B 利用基本等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. [变式训练] 1．(多选)已知b＜a＜0，则下列不等式正确的是(　　) A．b2＞ab B．a＋＜b＋ C.＋＞2 D．a2＋＜b2＋ 解析：ACD　[b2－ab＝b(b－a)＞0，则b2＞ab，A正确；a＋－＝(a－b)＋＝(a－b)，而a－b＞0，1＋＞0，所以a＋－＞0，即a＋＞b＋，B错误；＋≥2＝2且，＞0，当且仅当a＝b时等号成立，而b＜a＜0，故＋＞2，C正确；a2＋－＝a2－b2＋＝(a－b)，而a－b＞0，a＋b－＜0，所以a2＋－＜0，即a2＋＜b2＋，D正确．] 利用基本不等式判断不等式的成立 [例2] (1)下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 (2)给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0； ④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　) A．1个　　B．2个 C．3个　　D．4个 [思路点拨]　根据基本不等式成立的条件判断． [解析]：(1)a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错．由基本不等式可知D项正确． (2)当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以． [答案]　(1)D　(2)C 不等式a2＋b2≥2ab与a＋b≥的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． [变式训练] 2．(多选)若a＞0，b＞0.且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A．0＜≤ B.＜2 C.＋≥1 D.≤ 解析：CD　[ab≤2≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则ab≤2＝4或2≤，则≥，≤2，a2＋b2≥8，≤，即AB错误，D正确；＋＝＝≥4×＝1，C选项正确．] 利用基本不等式证明不等式 [例3]　(1)证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； (2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3. [思路点拨]　利用基本不等式证明不等式，注意等号成立的条件． [证明]　(1)∵a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号) ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. (2)因为a，b，c全不相等， 所以与，与，与全不相等， 所以＋>2，＋>2，＋>2， 三式相加得，＋＋＋＋＋>6， 所以＋＋>3， 即＋＋>3. 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用． [变式训练] 3．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8. 证明：因为x，y，z是互不相等的正数， 且x＋y＋z＝1， 所以－1＝＝>，① －1＝＝>，② －1＝＝>，③ 又x，y，z为正数，由①×②×③，得 >8. 1．下列不等式成立的是(　　) A．ab≤　　　　　　 B．ab≥ C．a＋b≥2 D．a＋b≤2 解析：A　[a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤.] 2．若m＜n＜0，则下列不等式中正确的是(　　) A.＞ B．|n|＞|m| C.＋＞2 D．m＋n＞mn 解析：C　[因为＞0，＞0且≠， 所以＋＞2＝2.] 3．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是　________　. 解析：x2＝，y2＝a＋b＝. ∵a＋b>2(a>0，b>0且a≠b)，∴x2<y2. ∵x，y>0，∴x<y. 答案：x<y 4．若a>0，b>0.a＋b＝2.则下列不等式： ①ab≤1，②＋≤；③a2＋b2≥2； ④＋≥2. 对满足条件的a，b恒成立的是　________　(填序号)． 解析：因为ab≤2＝1.所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确． 答案：①③④ 5．已知x，y都是正数，且x≠y. 求证：(1)＋＞2； (2)＜. 证明：(1)∵x＞0，y＞0，∴＞0，＞0， ∴＋≥2＝2， 由于当且仅当＝，即x＝y时取等号， 但x≠y，因此不能取等号， ∴＋＞2. (2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y≥2， ∴≤＝， 当且仅当x＝y时取等号，但x≠y，因此不能取等号，∴＜. 学科网（北京）股份有限公司 $$