第1章 3.1 不等式的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 课程标准 素养解读 1.掌握不等式的性质及各自成立的条件 2．能利用不等式的性质比较大小或证明不等式 通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系、不等式的性质提升数学抽象素养．通过作差法、运用不等式的性质解决问题、提升数学运算素养和逻辑推理素养 [情境引入] 如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，，C的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等)． 1．你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？ 提示：x1＝50＋x3－55＝x3－5， x2＝x1－20＋30＝x1＋10， x3＝x2－35＋30＝x2－5. 2．你能判断出x1，x2，x3的大小吗？ 提示：由1知x1＝x3－5，x2＝x3＋5，则x1<x3<x2. [知识梳理] [知识点一]　比较两个实数a，b大小的依据　 文字语言 符号表示 如果a>b，那么a－b是正数，反之亦然 a>b⇔　a－b>0　 如果a<b，那么a－b是负数，反之亦然 a<b⇔　a－b<0　 如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然 a＝b⇔　a－b＝0　 1.在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 提示：是． 2．p⇔q的含义是什么？ 提示：p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推． [知识点二]　不等式的性质　 1．不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c a＋b>c⇔a>c－b 可逆 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒　ac>bc　 a>b，c<0⇒　ac<bc　 c的符号 性质5 同向可 加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 同正 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N， n≥1) 同正 2.本质：不等式的性质是由等式性质类比而得到的，是解决不等式问题的基本依据． 3．应用：判断证明不等式是否成立，解不等式问题时的依据． 3.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立． 4．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立． [预习自测] 1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 答案：C 2．下列命题正确的是(　　) A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2 B．a<b⇒< C．a>b且c<d⇒a＋c>b＋d D．a>b⇒a2>b2 答案：A 3．若a>b>0，n>0，则　________　.(填“>”“<”或“＝”) 答案：< 作差法比较大小 [例1] 设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)·(x＋y)的大小． [思路点拨]　作差，判断差与0的大小关系 [解]　(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2 ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2] ＝(x－y)(－2xy)． 由于x<y<0，所以x－y<0，－2xy<0， 所以(x－y)(－2xy)>0， 即(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． 比较大小最常用的是作差法，其步骤为： 第一步：作差并变形，其目的是应容易判断差的符号． 变形有两种情形： ①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． ②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系． 第三步：得出结论． [变式训练] 1．(1)已知x∈R，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小． (2)已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解：(1)(x2＋1)2－(x4＋x2＋1) ＝(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1)＝x2. 因为x2≥0，所以(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)≥0， 即(x2＋1)2≥x4＋x2＋1，当且仅当x＝0时取等号． (2)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1). 因为x＜1，所以x－1＜0， 又2＋＞0， 所以(x－1)＜0， 所以x3－1＜2x2－2x. 利用不等式的性质判断命题的真假 [例2] 下列命题中一定正确的是(　　) A．若a>b且>，则a>0，b<0 B．若a>b，b≠0，则>1 C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d D．若a>b且ac>bd，则c>d [思路点拨]　根据不等式的性质逐一判断． [解析]　对于A项，因为>，所以－>0，即>0.又a>b，所以b－a<0.所以ab<0，所以a>0，b<0，故A正确；对于B项，当a>0，b<0时，有<0<1，故B项错；对于C项，当a＝10，b＝3时，虽有10＋1>3＋2，但1<2，故C项错；对于D项，当a＝－1，b＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×7，但－1<7，故D项错． [答案]　A 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质． (2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． [变式训练] 2．(1)判断下列不等式的对错． ①<，且c>0⇒a>b.(　　) ②a>b，且c>d⇒ac>bd.(　　) ③a>b>0，且c>d>0⇒>.(　　) ④>⇒a>b.(　　) (2)若<<0，则下列结论中不正确的是(　　) A．a2<b2　　　　 B．ab<b2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b| 解析：(1)①⇒＜，当a<0，b>0时，此式成立，推不出a>b，所以①错． ②当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立．所以②错． ③⇒>>0⇒>成立． 所以③对． ④显然c2>0，所以两边同乘以c2，得a>b. 所以④对． (2)∵<<0，∴b<a<0， ∴b2>a2，ab<b2，a＋b<0， ∴A，B，C均正确，∵b<a<0， ∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误． 答案：(1)①×　②×　③√　④√　(2)D 利用不等式的性质证明不等式 [例3] 若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤. [思路点拨]　利用不等式的性质等价变形． 证明：因为bc－ad≥0，所以bc≥ad， 所以bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)． 又bd>0，两边同除以bd得，≤. (1)利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． [变式训练] 3．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， 则(a－c)2>(b－d)2>0， 即<. 又e<0，∴>. 用不等式性质求代数式的取值范围 [例4]　已知1<a<6,3<b<4，求a－b，的取值范围． [思路点拨]　a－b＝a＋(－b)，＝a×，正确使用不等式的性质． [解]　∵3<b<4，∴－4<－b<－3. ∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3. 又<<，∴<<， 即<<2.综上，a－b的取值范围为(－3,3)，的取值范围为. 1．运用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件．不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质． (2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 2．求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除． [变式训练] 4．已知1<a<4,2<b<8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． 解：∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又∴1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)． 1．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0　　　　 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 解析：A　[由－1<β<1，得－1<－β<1， 又－1<α<1，所以－2<α－β<2，而α<β， 所以－2<α－β<0.] 2．已知a>b，不等式：①a2>b2；②>；③>成立的个数是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 解析：A　[由题意可令a＝1，b＝－1，此时①不对，③中，此时a－b＝2，有<，故③不对，令a＝－1，b＝－2，此时②不对．] 3．(多选)已知a＞b＞1，c＜0，则下列四个不等式中，一定成立的是(　　) A.＜ B．ac＜bc C．a(b－c)＞b(a－c) D．a＞b－c 解析：BC　[对于A，a＞b＞1，则＜，则＞，A错误；对于B，a＞b＞1，则ac＜bc，B正确；对于C，a＞b＞1，则－a＜－b，则－ac＞－bc，则ab－ac＞ab－bc，则a(b－c)＞b(a－c)，C正确；对于D，a＞b＞1，则a－c＞b－c，又c＜0，则a－c＞a，故a与b－c的大小关系不确定，D错误．] 4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为　________　. 解析：∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6. 答案：[－1,6] 5．如果a>b>0，c<d<0，f<0，证明：>. 证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0， 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0. 不等式的两边同乘， 得>>0， 又因为f<0，所以<，即>. 学科网（北京）股份有限公司 $$