第1章 2.1 第2课时 充要条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

第2课时　充要条件 课程标准 素养解读 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识，提炼定义，感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养 [情境引入] 姚明大家都认识，他说过很多很经典的话，其中有一句给我留下了很深刻的印象，他说：“努力不一定成功，但放弃一定失败”． 话语中有两组关键词：“努力”和“成功”；“放弃”和“失败”．每组中的两个词之间有什么样的逻辑关系？ 提示：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q. [知识梳理] [知识点]　充要条件　 1．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的　充分必要　条件，简称　充要　条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q　互为充要　条件． 2．若p⇒q，但q⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件． 3．若q⇒p，但p⇒/ q，则称p是q的必要不充分条件． 4．若p⇒/ q，且q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 5．本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件和结论互为充要条件，是等价的． 6．应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容． 1.若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． [预习自测] 1．以下选项中p是q的充要条件的是(　　) A．p：3x＋2>5，q：－2x－3>－5 B．p：a>2，b<2，q：a>b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 解析：D　[对于A，p：x>1，q：x<1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p⇒/ q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件．] 2．已知条件甲：0<x<5，条件乙：－3<x－2<3，那么甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[条件乙：－1<x<5.∴0<x<5⇒－1<x<5，但－1<x<5⇒/ 0<x<5，∴甲是乙的充分不必要条件．] 3．不等式mx2－mx－2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈　__________　. 解析：当m＝0时，显然满足条件，当m≠0时， 由一元二次不等式恒成立得， 解得－8＜m＜0，综上可知，m∈(－8,0]， 所以不等式mx2－mx－2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈(－8,0]． 答案：(－8,0] 充要条件的判断 [例1] 判断下列各题中p是q的什么条件． (1)在△ABC中，p：A>B，q：a>b； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (4)p：a<b，q：<1. [思路点拨]　按充要条件的定义判断． [解]　(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则a>b，即p⇒q，反之，若a>b，则A>B，即q⇒p. 因此，p是q的充要条件． (2)由x>1可以推出x2>1即p⇒q；由x2>1，得x<－1或x>1，不一定有x>1即q⇒/ p. 因此，p是q的充分不必要条件． (3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3即p⇒/ q； 由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0即q⇒p. 因此p是q的必要不充分条件． (4)由于a<b，当b<0时，>1； 当b>0时，<1， 故若a<b，不一定有<1； 当a>0，b>0，<1时， 可以推出a<b； 当a<0，b<0，<1时，可以推出a>b. 因此p是q的既不充分也不必要条件． 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1．定义法(适用于较简单的命题) 若p⇒q，但q⇒/ p，则p是q的充分而不必要条件； 若q⇒p，但p⇒/ q，则p是q的必要而不充分条件； 若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件； 若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．集合法(适用于需对命题的条件或结论化简的命题)首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}；q：B＝{x|q(x)}． 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若B⊆A，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的充分而不必要条件； 若BA，则p是q的必要而不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A⃘B，B⃘A，则A是B的既不充分也不必要条件． 3．传递性法(适用于多个条件之间的关系推断) 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系． [变式训练] 1．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：a，b∈R，|a－b|＝|a|＋|b|，q：a，b∈R，ab<0； (3)p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两个实数根，q：x1＋x2＝－5； (4)p：A⊆B，q：A∩B＝A. 解：(1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0， 如x＝－1时，x＋|x|＝0，所以p⇒/ q， 所以p不是q的充要条件． (2)由|a－b|＝|a|＋|b|，两边平方得a2－2ab＋b2 ＝a2＋2|ab|＋b2，即|ab|＝－ab， 得ab≤0，即“|a－b|＝|a|＋|b|”等价于“ab≤0”． 所以p⇒/ q，所以p不是q的充要条件． (3)当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5， 而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根． 所以q⇒/ p，所以p不是q的充要条件． (4)由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件，即p是q的充要条件． 充要条件的证明 [例2] 求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0<m<. [思路点拨]　从充分性和必要性两个方面证明． [解]　设p：0<m<，q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根． (1)充分性(p⇒q)： 因为0<m<，所以Δ＝4－12m>0， 所以一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个不等的实根．设方程的两根为x1，x2， 当0<m<时，x1＋x2＝>0且x1x2＝>0， 故方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根． (2)必要性(q⇒p)： 若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根． 则有所以0<m<. 即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0<m<. 综上可知，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<. 充要条件的证明策略 (1)准确理解题意明确证明方向． ①条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性． ②“p是q的充分(必要)条件”常写为“q的充分(必要)条件是p”． (2)关注证明的两个环节． 一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明． [变式训练] 2．已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 证明：充分性： 若a＋b＝1， 则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0， 即充分性成立， 必要性： 若a2＋b2－a＋b＋2ab＝0， 则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0. ∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0， 即a＋b＝1，必要性成立， 综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 充要条件的应用 [例3]已知p：x∈{x|－2≤x≤10}，q：x∈{x|1－m≤x≤1＋m}，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [思路点拨]　由已知，{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，注意端点值的取舍． [解]　p：x∈{x|－2≤x≤10}， q：x∈{x|1－m≤x≤1＋m}． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3.又1－m<1＋m，所以m>0， 所以实数m的取值范围为0<m≤3. 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解． [变式训练] 3．已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：设A＝{x|x<－2，或x>3}， B＝， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－≤－2，即m≥8. 所以实数m的取值范围为m≥8. 1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立． ∴“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．] 2．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得a＝－b或a＝b，a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立，“a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．] 3．“x≠－1”是“x2－1≠0”的　________　条件． 解析：由x2－1≠0，x≠1且x≠－1， 因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件， 所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 4．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是　________　. 解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件， 则p⇒q，但q⇒/ p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1. 答案：{a|a<1} 5．已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围． 解：因为－a<x－1<a是p：－1<x<3的一个必要条件，且－a<x－1<a⇔1－a<x<1＋a， 所以{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a}， 所以解得a≥2， 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2. 学科网（北京）股份有限公司 $$