第1章 1.3 第1课时 交集与并集-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

1．3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 课程标准 素养解读 理解两个集合之间的并集和交集的含义，能求两个集合的交集与并集 能用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达集合的交集和并集运算，发展学生的数学抽象和数学运算素养 [情境引入] 某班有学生20人，他们的学号分别是1,2,3，…，20，现有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b. (1)问至少读过一本书的有哪些同学？ (2)同时读了a，b两本书的有哪些同学？ 提示：(1)至少读过一本书的有学号为2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20的同学． (2)同时读了a，b两本书的有学号为6,12,18的同学． [知识梳理] [知识点一]　交集的概念　 1．交集的概念 ①自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由　既属于　A又　属于B　的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集． ②符号语言：A与B的交集记作A∩B(读作“A交B”)，则A∩B＝　{x|x∈A，且x∈B}　. ③图形语言：如右图所示． ④我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解． 2．交集运算的性质 对于任意两个集合A，B，都有： ①A∩B＝　B∩A　； ②A∩A＝　A　； ③A∩∅＝∅∩A＝　∅　； ④(A∩B)　⊆　A，(A∩B)　⊆　B； ⑤如果A⊆B，则A∩B＝　A　，反之也成立． 1.当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？ 提示：有．交集为空集． [知识点二]　并集　 1．并集的概念 ①自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的　所有　元素组成的集合，称为A与B的并集． ②符号语言：A与B的并集记作A∪B(读作“A并B”)，则A∪B＝　{x|x∈A，或x∈B}　. ③图形语言：如图所示． ④我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解． 2．并集运算的性质 ①A∪B＝　B∪A　；②A∪A＝　A　； ③A∪∅＝∅∪A＝　A　； ④A　⊆　(A∪B)．B　⊆　(A∪B)； ⑤如果A⊆B，则A∪B＝　B　，反之也成立． 2.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 提示：不一定．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 3．若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)吗？反之，若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)吗？ 提示：若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)成立； 反之，若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)不一定成立． 4．若A∩B＝A，则A与B有何关系？若A∪B＝A，则A与B又有什么关系？ 提示：若A∩B＝A，则A⊆B； 若A∪B＝A，则B⊆A. [预习自测] 1．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B＝(　　) A．∅　　　　　　　　 B．{2} C．{－2,2} D．{－2,1,2,3} 答案：B 2．(2023·北京卷)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1＜0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－2≤x＜1} B．{x|－2＜x≤1} C．{x|x≥－2} D．{x|x＜1} 解析：A　[由题意，M＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，N＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，根据交集的运算可知，M∩N＝{x|－2≤x＜1}．] 3．若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝　________　. 解析：因为M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}， 所以M∪N＝{－1,0,1}∪{0,1,2}＝{－1,0,1,2}． 答案：{－1,0,1,2} 　 交集的运算 [例1] (1)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝(　　) A．{0}　　　　　　　　 B．{－2} C．{－2,0} D．{－2,0,2} (2)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|－2＜x＜1}，则M∩N＝(　　) A．{x|－2＜x＜1} B．{x|－1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|－2＜x＜3} [思路点拨]　(1)求出集合S，T的元素，再根据交集的定义求解． (2)借助数轴求解． [解析]　(1)(1)集合S＝{－2,0}，T＝{0,2}，则S∩T＝{0}． (2)由图知M∩N＝{x|－1＜x＜1}． [答案]　(1)A　(2)B (1)两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． (2)求涉及不等式表示的集合的交集时，借助数轴求解可化抽象为直观． [变式训练] 1．已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{y|y＝2x2－1，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{－1,1} B．{1} C．{－1,0,1} D．{0} 解析：A　[集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{y|y＝2x2－1，x∈A}＝{－1,1,7,17}，A∩B＝{－1,1}．] 　 并集的运算 [例2] (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2} (2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5，或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|3<x<5} D．{x|x<－3，或x>5} [思路点拨]　(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． [解析]　(1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}． (2)在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}． [答案]　(1)D　(2)A (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)若集合是实数集的子集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍． [变式训练] 2．已知集合P＝(－∞，3)，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝(　　) A．[1,3)　　　　　　　 B．[－1,4] C．(－∞，4] D．[－1，＋∞) 解析：C　[∵P＝(－∞，3)，Q＝{x|－1≤x≤4} ＝[－1,4]．∴如图，P∪Q＝(－∞，3)∪[－1,4]＝(－∞，4]． ] 集合并集、交集性质的应用 [例3]　(1)已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是　________　. (2)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝A，求a的取值范围． [思路点拨]　(1)由A∪B＝A，得B⊆A，可求出m的取值范围． (2)由于A∩B＝A，∴A⊆B.结合数轴分A＝∅与A≠∅两种情况分别求解． (1)[解析]　A∪B＝A，即B⊆A，所以m≥2. [答案]　m≥2 (2)[解]　∵A∩B＝A，∴A⊆B. ①若A＝∅，则2a＞a＋3，a＞3； ②若A≠∅，如图所示 则有或 解得a＜－4或＜a≤3. 综上所述，a的取值范围是. 1．交集的性质 (1)①(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B； ②A＝A∩A，A∩∅＝∅； ③A∩B＝B∩A. (2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之若A∩B＝A，则A⊆B.由于A∩∅＝∅，因此，A∩B＝A中的A可以为空集．空集的这一特殊性要特别注意． 2．并集的性质 (1)①A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； ②A＝A∪A，A＝A∪∅； ③A∪B＝B∪A. (2)若A⊆B，则A∪B＝B；反之若A∪B＝B，则A⊆B.由于A＝A∪∅，因此，A∪B＝B中的A可以为空集，这一点是要特别注意的． 3．利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉． [变式训练] 3．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}． (1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意可知：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，因为A∩B＝{2}，所以2∈B，将2代入集合B中， 得4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0， 解得a＝－5或a＝1. 当a＝－5时，集合B＝{2,10}，符合题意； 当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意． 综上所述：a＝－5或a＝1. (2)若A∪B＝A，则B⊆A， 因为A＝{1,2}，所以B＝∅或B＝{1}或{2}或{1,2}． ①若B＝∅，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5) ＝24－8a<0， 解得a>3， ②若B＝{1}，则 即不成立． ③若B＝{2}，则 即不成立，④若B＝{1,2}，则 即此时不成立，综上a>3. 1．设集合X＝{x∈Z|－3＜x＜2}，Y＝{y∈Z|－1≤y≤3}，则X∩Y＝(　　) A．{0,1}　　　　　　 B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2} 解析：B　[因为X＝{－2，－1,0,1}，Y＝{－1,0,1,2,3}，所以X∩Y＝{－1,0,1}．] 2．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∩B＝(　　) A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|－1≤x≤2} 解析：A　[如图，借助数轴可知A∪B＝{x|x≥－1}．] 3．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，集合B＝{x||x|≤2}，则(　　) A．A∩B＝{x|－2≤x＜3} B．A∪B＝{x|－2≤x＜3} C．A∩B＝{x|－1＜x＜2} D．A∪B＝{x|x＜3} 解析：B　[因为集合A＝{x|－1＜x＜3}，集合B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤2}，故AC均错误；A∪B＝{x|－2≤x＜3}，故B正确，D错误．] 4．已知A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为　________　. 答案：{a|－3≤a<－1} 5．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R，若A∪B＝A，求a的值． 解：∵A∪B＝A，∴B⊆A. ∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或B≠∅. 当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0. 当B≠∅时，此时a≠0，则B＝， ∴－∈A，即－＝－2，得a＝. 综上，a＝0或a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$