第一章 1.3 第2课时 全集与补集-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

第2课时　全集与补集 [学习目标]　1.了解全集的含义及其符号表示．2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．3.能用Venn图表示集合的关系及运算． 知识点一　全集与补集 U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}．集合U，A，B三者有什么关系？ 提示：集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系． 1．全集 (1)定义：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集 文字语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 [微提醒]　(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)∁UA的三层含义：①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 学生用书第11页 (1)全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{x|x≤4，x∈N*}，则∁UM等于(　　) A．{5，6} B．{4，5} C．{1，5} D．{1，3} (2)若集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求∁SA. ①S＝R； ②S＝{x|x≤2}； ③S＝{x|－4≤x≤1}． 解析：(1)因为M＝{x|x≤4，x∈N*}＝{1，2，3，4}，U＝{1，2，3，4，5，6}，所以∁UM＝{5，6}．故选A. (2)①把集合A表示在数轴上，如图所示． 因为S＝R，所以由图知∁SA＝{x|x＜－1或x≥1}． ②把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x＜－1或1≤x≤2}． ③把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|－4≤x＜－1或x＝1}． 答案：(1)A 　　方法技巧 求集合的补集的方法 即时练1.(2023·海南海口期末)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－2，1，3}，则∁UA＝(　　) A． B． C． D． C　[由题可知∁UA＝.故选C.] 即时练2.(2022·北京卷)已知全集U＝{－3＜x＜3}，集合A＝{－2＜x≤1}，则∁UA＝(　　) A．(－2，1] B．(－3，－2)∪[1，3) C．[－2，1) D．(－3，－2]∪(1，3) D　[由补集定义可知：∁UA＝{x|－3＜x≤－2或1＜x＜3}，∁UA＝(－3，－2]∪(1，3)，故选D.] 知识点二　补集的性质 观察下面的Venn图，集合U，A，∁UA三者有什么关系？ 提示：A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A. 补集的性质 1．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U． 2．∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U． 3．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． [微提醒]　在考虑补集的性质时，一定注意全集是哪个集合，全集不同，同一个集合在全集中的补集不相同． (链接教材P12习题3)某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数． 解析：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A，B，C.由题意可知， 集合A，B，C中元素个数分别为27，25，27, 集合A∩B，B∩C，A∩C，A∩B∩C中的元素个数分别为10，7，11，4，画出Venn图，如图． 故全班人数为10＋13＋12＋6＋4＋7＋3＝55. 　　本例的数量关系比较复杂，利用Venn图分析，求解比较直观、清晰，当利用Venn图解决生活中的问题时，应先把生活中的问题转化成集合问题．　　方法技巧 即时练3.(2023·陕西西安期末)设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{2，4}，则(∁UA)∪(∁UB)＝(　　) A． B． C． D． C　[由题意可知(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，因为A∩B＝∅， 所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝U＝{0，1，2，3，4，5}．故选C.] 学生用书第12页 集合交、并、补的综合运算 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜