第1章 1.1 第2课时 集合的表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

第2课时　集合的表示 课程标准 素养解读 1.了解空集的含义 2．会正确选用列举法与描述法表示集合 3．掌握区间的含义 通过列举法和描述法表示集合、发展学生的数学抽象和逻辑推理素养 [情境引入] “今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何日相会”．(选自《孙子算经》)则三女前三次相会的天数你能一一列举出来吗？ [知识梳理] [知识点一]　列举法　 1．方案：把集合中的元素　一一　列举出来写在花括号“{　}”内． 2．一般形式：{a，b，c，…}． 3．关注点：元素的排列　顺序　可以不同． 1.一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？ 提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合． [知识点二]　描述法　 1．定义：通过描述元素　满足的条件　表示集合的方法． 2．形式：{x及x的范围|　x满足的条件　.} 3．方法：在花括号内先写出集合中元素的一般　符号　及　范围　，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的　共同特征　. 2.集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？ 提示：A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合． [知识点三]　有限集、无限集和空集　 1．有限集：含有　有限个　元素的集合叫作有限集． 2．无限集：含有　无限个　元素的集合叫作无限集． 3．空集：不含　任何　元素的集合叫作空集，记作∅. 3.列举法与描述法在表示形式上有何区别． 提示：列举法与描述法在表示形式上的最大区别是“{　}”内是否含有“|” [知识点四]　区间　 1．区间的概念：设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 2.无穷区间表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 3.特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} 　[a，＋∞)　 {x|x>a} 　(a，＋∞)　 {x|x≤b} 　(－∞，b]　 {x|x<b} 　(－∞，b)　 [预习自测] 1．将集合A＝{x|1<x≤3}用区间表示正确的是(　　) A．(1,3)　 B．(1,3]　 C．[1,3)　 D．[1,3] 解析：B　[A＝{x|1<x≤3}＝(1,3]．] 2．给出下列说法： ①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中，不是有理数的所有数能构成一个集合；③{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合． 其中正确说法的个数是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　 　　　D．3 解析：B　[①中说法是错误的，因为“周围”是个模糊的概念，不满足集合中元素的确定性．②中说法是正确的，虽然满足条件的数有无数多个，但任意给出一个元素都能判断出其是否属于这个集合．③中说法是错误的，因为集合中的元素具有无序性．] 3．方程x2＝0的解组成的集合为(　　) A．{0}　　　　　　　 B．{0,0} C．{(0,0)} D．∅ 解析：A　[∵x2＝0的解为x1＝x2＝0，∴x2＝0的解集中只有一个元素0.] 　 列举法表示集合 [例1] 用列举法表示下列集合． (1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合； (2)不大于10的非负偶数组成的集合； (3)方程x3＝x的实数解组成的集合； (4)一次函数y＝x－2与y＝－x的图象的交点组成的集合． [思路点拨]　把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内． [解]　(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合是{《三国演义》，《西游记》，《水浒传》，《红楼梦》}． (2)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意义，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}． (3)方程x3＝x的实数解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的实数解组成的集合为{0,1，－1}， (4)解方程组得 即交点是(1，－1)，故两函数图象的交点组成的集合是{(1，－1)}． 1．用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点 (1)明确集合中的元素是什么，如例1(4)是点集，而非数集，集合的所有元素用有序数对表示，并用“{　}”括起来，元素间用分隔号“，”． (2)元素不重复，元素无顺序．如{1,1,2}为错误表示．又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合． [变式训练] 1．用列举法表示下列集合： (1)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； (2)直接y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； (3)由所有正整数构成的集合． 解：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}． (2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}． (3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}． 　描述法表示集合 [例2] 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． [思路点拨]　依据描述法的结构特征写出集合． [解]　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈N表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋，所以正偶数可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． 1．描述法表示集合的两个步骤 2．用描述法表示集合应注意的四点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x＜1}不能写成{x＜1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解组成的集合可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． [变式训练] 2．用描述法表示下列集合： (1){2,4,6,8,10,12}； (2)； (3){1,22,32,42，…}． 解：(1)可表示为{x|x＝2n，n∈N＋且n≤6}． (2)可表示为. (3)可表示为{x|x＝n2，n∈N＋}． 集合中各元素为正整数的平方，故各元素可表示为x＝n2，n∈N＋，也可以写成{x|x＝(n＋1)2，n∈N}． 区间表示集合 [例3] 用区间表示下列集合： (1)不等式2x－6＜0的所有实数解组成的集合； (2)使有意义的所有实数x组成的集合． [思路点拨]　“∞”是一个符号，不是数． [解]　(1)因为2x－6＜0， 所以x＜3，用区间表示为(－∞，3)． (2)由题意得x＋5≥0，故x≥－5， 用区间表示为[－5，＋∞)． 区间表示集合的适用情况和注意点 (1)适用情况：表示一定范围内的所有实数所构成的集合，也就是数轴上某一“段”所有点所对应的实数． (2)注意点：①区间的两个端点必须保证左小右大； ②“∞”是一个符号，不是数，以－∞或＋∞为区间一端时，这一端必须是小括号． [变式训练] 3．用区间表示不等式1＜2x＋1＜2的解集． 解：由1＜2x＋1＜2，得0＜x＜， ∴原不等式的解集为. 集合表示方法的综合应用 [例4] 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合． [思路点拨]　分k＝0和k≠0两种情况讨论． [解]　①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； ②当k≠0，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}． (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想． [变式训练] 4．本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合． 解：由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根， 故k≠0，且Δ＝64－64k＞0，解得k＜1，且k≠0. 所以实数k的值组成的集合为{k|k＜1，且k≠0}． 1．集合{x∈N＋|x－2＜4}用列举法可表示为(　　) A．{0,1,2,3,4}　　　　 B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 解析：D　[此集合由小于6的正整数组成．] 2．已知A＝{x|5－5x＞0}，则有(　　) A．5∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A 解析：C　[因为集合A＝{x|5－5x＞0}＝{x|x＜1}，所以5∉A,1∉A,0∈A，－1∈A.] 3．下列集合为∅的是(　　) A．{0} B．{x|x2＋4＝0} C．{x|x2－1＝0} D．{x|x＜0} 解析：B　[集合{0}中有一个元素0；集合{x|x2－1＝0}＝{－1,1}；集合{x|x＜0}表示小于0的实数组成的集合；集合{x|x2＋4＝0}表示方程x2＋4＝0的实数解组成的集合，而方程x2＋4＝0无实数解，因此该集合是空集．] 4．若(2a,3a－2]为一确定区间，则实数a的取值范围是　________　. 解析：因为(2a,3a－2]为一确定区间，所以2a＜3a－2，解得a＞2，所以实数a的取值范围是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 5．选择适当的方法表示下列集合； (1)能整除12的正整数组成的集合； (2)方程(2x－1)(x＋1)＝0的解组成的集合； (3)一次函数y＝2x＋5的图象上所有点组成的集合． 解：(1)能整除12的正整数有1,2,3,4,6,12，用列举法可以表示为{1,2,3,4,6,12}． (2)方程(2x－1)(x＋1)＝0的解为x1＝，x2＝－1，故用列举法可以表示为. (3)点用有序实数对(x，y)表示，故一次函数y＝2x＋5的图象上所有点组成的集合用描述法可以表示为{(x，y)|y＝2x＋5}. 学科网（北京）股份有限公司 $$