第5章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§1　方程解的存在性及方程的近似解 1．1　利用函数性质判定方程解的存在性 课程标准 素养解读 1.理解函数零点的概念，会求简单函数的零点 2．理解二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系，能借助二次函数的图象求一元二次不等式的解集 1.通过求函数的零点，培养数学运算素养 2．通过二次函数的图象、零点、方程、不等式解集之间关系的对应，培养联系、转化的思想观点，提升逻辑推理、直观想象素养 [情境引入] (1)观察下列一元二次方程与对应的二次函数： ①方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3. ②方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1. ③方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3. 结合下面的表格，完成填空 函数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3 图象 与x轴交 点的坐标 　(－1,0)，(3,0)　 　(1,0)　 　无　 　－1,3　 　1　 　无　 (2)结合问题1，你认为方程f(x)＝0的根与对应函数y＝f(x)的图象有什么关系？ 提示：方程f(x)＝0的根与函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标相等． [知识梳理] [知识点一]　函数的零点　 1．概念：使f(x)＝0的　实数x　. 零点、图象与x轴交点、方程实数解的关系： 2．本质：方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标． 3．应用：利用零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系，实现三种问题的相互转化． 1.函数的零点是点吗？ 提示：不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根． [知识点二]　函数零点存在定理　 1．若函数y＝f(x)的闭区间[a，b]上的图象是一条　连续　的曲线，并且在区间端点的函数值　一正一负，即f(a)·f(b)＜0　，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 2．本质：利用函数的性质判断零点的存在性． 3．应用：判断零点的存在性、求参数的范围等． 2.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？ 提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数． 3．函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0? 提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0. [预习自测] 1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　) A.；　　　　 B.； C.；－ D.；－ 答案：B 2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则(　　) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实数解 D．方程f(x)＝0可能无实数解 解析：D　[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有零点，即方程f(x)＝0可能无实数解．] 3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)＜0，f(2)＜0，f(3)＞0，则可以确定零点所在区间为　________　. 解析：∵y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(2)·f(3)＜0，∴函数零点所在区间为(2,3)． 答案：(2,3) 求函数的零点 [例1] 求下列函数的零点： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝－x2－x＋20； (3)f(x)＝x4－1. [思路点拨]　根据函数零点与相应方程的根之间的关系，可知求函数的零点就是求相应方程的根． [解]　(1)令f(x)＝0，即＝0， 即x－1＝0或ln x＝0，所以x＝1， 故函数f(x)的零点为1. (2)f(x)＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20) ＝－(x＋5)(x－4)，方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4. 故函数的零点是－5,4. (3)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， 所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1. 1．准确理解函数的零点 函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0. [变式训练] 1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点为　__________　. 解析：当x≤0时，令y＝f(x)－3＝－3＝0，解得x＝－8；当x＞0时，则y＝f(x)－3＝x＋log2x－3在(0，＋∞)上单调递增，且y|x＝2＝0，故y＝f(x)－3在(0，＋∞)内有且仅有一个零点2；综上所述，函数y＝f(x)－3的零点为－8和2. 答案：－8和2. 　　　确定函数零点所在的区间 [例2] 函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A．(1,2)　　　　　 B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞) [思路点拨]　通过选项逐个验证f(a)·f(b)＜0是否成立． [解析]　∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0， ∴在(1,2)内f(x)无零点，A错； 又f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0， ∴f(x)在(2,3)内有一个零点．] [答案]　B 1．确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断． 2．判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断． (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． [变式训练] 2．函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　　) A．(0,1)　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析： B　[由f(x)＝0，得log2x＝，函数y＝log2x和y＝(x>0)的图象(如图所示)的交点的横坐标在(1,2)内．] 　　　判断函数零点个数 [例3]　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数． [思路点拨]　可通过判断f(x)的单调性和零点的存在性判断确定f(x)的零点个数；也可以构造两个函数，通过作图，观察它们图象的交点个数，从而确定f(x)的零点个数． [解]　法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0， f(2)＝4＋lg 3－2>0， ∴f(x)在(0,2)上必定存在零点， 又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点． 法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图． 由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点， 即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点． 根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根． 要注意的是同一个实数在方程中叫解或根，而在函数中称为零点，但不可以称为方程的零点或函数的根． 1．确定函数零点个数的方法 (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)图象法：指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决． (4)单调性法：常规方法不易判断时，可利用函数的单调性来判断函数零点的个数． 2．判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法 (1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数． (2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断． (3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数． [变式训练] 3．若f(x)的值域为{0,1,2}，则g(x)＝[f(x)－x]·[f(x)－2x]至多有　______　个零点． 解析：当f(x)＝0时，g(x)＝2x2，由g(x)＝0可得，x＝0；当f(x)＝1时，g(x)＝(x－1)(2x－1)，由g(x)＝0，可得x＝1或x＝；当f(x)＝2时，g(x)＝2(x－1)(x－2)，由g(x)＝0，可得x＝1或x＝2.综上所述，g(x)的零点可能是x＝0或x＝1或x＝或x＝2.所以g(x)的零点至多有4个． 答案：4 1．函数f(x)＝x3－4x的零点为(　　) A．(0,0)，(2,0) B．(－2,0)，(0,0)，(2,0) C．－2,0,2 D．0,2 解析：C　[令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2.] 2．若x0是方程2x＝12－3x的解，则x0∈(　　) A．(0,1)　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：C　[因为函数f(x)＝2x＋3x－12在定义上单调递增，又f(2)＝22＋6－12＝－2＜0，f(3)＝23＋9－12＝5＞0，所以函数f(x)的零点所在区间是(2,3)，即x0∈(2,3)．] 3．函数f(x)＝x－的零点是　______　. 解析：令f(x)＝0，即x－＝0. ∴x2－2＝0.解得x1＝，x2＝－， 所以函数的零点是，－. 答案：，－ 4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的有　________　. ①若f(a)·f(b)＞0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0； ②若f(a)·f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0； ③若f(a)·f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0； ④若f(a)·f(b)＜0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0. 解析：根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)＜0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故②④错．若f(a)·f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)＞0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点，故①错，③正确． 答案：③ 5．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，求函数g(x)＝bx2＋3ax的零点． 解：∵函数f(x)＝ax－b的一个零点是3， ∴x＝3是方程ax－b＝0的根， ∴b＝3a. 于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)， 令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1， ∴函数g(x)的零点是x＝0或x＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$