精品解析：福建省泉州市泉港区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

泉港区2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 七年级数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程的根为的是( ) A. B. C. D. 2. 用代入法解二元一次方程组时，得到结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A B. C. D. 4. 一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 中国汉字形美如画以感目，意美如诗以感心．下列四个汉字中，用数学眼光来观察，可以近似看作是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 国 C. 敬 D. 业 6. 如图，点在线段上，沿射线方向平移到，如果，，那么平移距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有张白铁皮，假设用张制作盒身，用张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．根据题意，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10. 某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，7本日记本，共50元；若购买7支铅笔，4块橡皮，10本日记本，共69元．则购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要的钱数为（ ） A. 24元 B. 31元 C. 38元 D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 方程的解为______. 12. 将“的3倍与的差大于5”用不等式表示，则列出的不等式为_____． 13 已知，，，则_____度． 14. 已知四边形中，，，则_____度． 15. 冰裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，并被广泛应用于建筑装饰和瓷器．小明研究一个青花瓷表面时，发现一个有趣的冰裂图案，它由五个图形组成一个有规律的图案．如图，、、、分别是、、、关于、、、的对称点，设表示四边形的面积，表示四边形的面积，则_____． 16. 如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为_____． 三、解答题（共86分） 17. 解方程：． 18. 解不等式组：． 19. 如图，将绕着点逆时针旋转至，点落在点处． （1）请写出图中的一个旋转角； （2）若，，试求的度数； 20. 学校为丰富图书馆藏书，提高学生的阅读能力，计划购买一批科普类和文学类的书籍．书店给出优惠价：科普类书籍每本按30元，文学类书籍每本按40元．若学校计划购买这两类书籍共100本，在预算不超过3600元的前提下，学校至少要购买多少本科普类书籍？ 21. 如图，将正六边形的边与正五边形的边在同一直线上，点为公共顶点．试求出的度数． 22. 滴滴快车是一种便捷出行工具，属于共享经济理念的出行服务．某地滴滴快车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：1．车费=里程费+时长费+远途费，其中里程费按行车的实际里程计算； 2．时长费按行车的实际时间计算； 3．远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收元． （1）已知小张从学校乘坐滴滴快车回家，乘车时长为10分钟，没有产生远途费的情况下支付了元车费．试求小张家到学校的里程． （2）星期六早上，小张和聪聪两人从该地出发，各自乘坐滴滴快车去省城参加无人机航展大赛，行车时间分别为分钟、分钟．已知聪聪比小张的行车里程多8公里，两人所付车费、计费项目都相同．设，试求出的值． 23. 阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正 （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） （1）若，求证：； （2）已知有理数，，满足：，，．试求最小值． 24. 生活中，常用储物箱收纳物品．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高．现计划用该储物箱收纳甲、乙两种物品，已知每件甲物品的尺寸为长，宽，高，每件乙物品的尺寸为长，宽，高．甲物品可选择方式①、②进行摆放，乙物品只按方式③进行摆放．收纳时要求收纳物品的高度不能超过储物箱的高度，同一层按同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式与物品． 阅读以上材料，完成下列问题： （1）若以方式①摆放收纳甲物品，试求出储物箱每一层最多收纳甲物品的数量； （2）通常以空间利用率（空间利用率）来衡量收纳效果． i）若储物箱同时收纳甲、乙两种物品，甲物品只以方式①摆放，判断储物箱的空间利用率是否能达到？若能，试求出收纳甲、乙两种物品的数量；若不能，请说明理由； ii）已知每个甲物品重，每个乙物品重．若储物箱同时收纳甲、乙两种物品，摆放方式可以选择方式①、方式②、方式③中的若干种进行组合．请直接写出一种空间利用率最大，收纳物品的总重量尽量多的组合方式． 友情提示 ii）答题要求：如“一层①和两层②组合，总重量为***”或“一层①、两层②和一层③组合，总重量***”；得分方式：不同答案得不同分值，空间利用率最大且总重量最多的答案才能得满分． 25. 如图，已知等腰中，．过点作射线，上取一动点，连结．过点作平分交的延长线于点． （1）若，当时，请求出的度数； （2）当点与点恰好关于对称，且时，求证：； （3）在点运动的过程中，与是否存在某一不变的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉港区2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 七年级数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程的根为的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解出每一个方程的根,判断即可. 【详解】A、，解得x=0，故本项错误； B、，解得x=2，故本项正确； C、，解得x=-2，故本项错误； D、，解得，故本项错误； 故选择：B. 【点睛】本题考查了方程的解．题目难度不大，用代入检验法比较简便． 2. 用代入法解二元一次方程组时，得到结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 把①代入②，得， ， 故选：A． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集，直接根据解一元一次不等式的步骤计算即可求解并用数轴表示解集，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 将解集表示在数轴上如图： 故选：D． 4. 一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和是180°是解题的关键．根据三角形三个内角的和是计算即可． 【详解】解：一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是， 故选：C． 5. 中国汉字形美如画以感目，意美如诗以感心．下列四个汉字中，用数学眼光来观察，可以近似看作是轴对称图形是（ ） A. 爱 B. 国 C. 敬 D. 业 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选不项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，点在线段上，沿射线方向平移到，如果，，那么平移距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移前后对应点连线的长度等于平移的距离．根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：平移的距离为， 故选：A． 7. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、是边上的高，故此选项符合题意； C、不是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项不符合题意； 故选：B． 8. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有张白铁皮，假设用张制作盒身，用张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．根据题意，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设用张白铁皮制盒身，则可用张制盒底，根据题意列方程，即可求解． 【详解】解：设用张白铁皮制盒身，则可用张制盒底， 根据题意列方程得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解答本题的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 9. 关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将2个方程相加得出，根据不等式的解集的情况，得出，进而即可求解． 【详解】解： 由得： ∴， ∵， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出的表达式是解答此题的关键． 10. 某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，7本日记本，共50元；若购买7支铅笔，4块橡皮，10本日记本，共69元．则购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要的钱数为（ ） A. 24元 B. 31元 C. 38元 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组问题，代入消元法等知识点，熟练掌握代入消元是解题的关键．设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元，根据题意，列出方程组，解得，，代入，计算即可． 【详解】解：设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元， 根据题意，列出方程组， 得， 得， ∴代入①式， ∴， 解得， ∴， ∴， 所以购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要24元． 故选A． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 方程的解为______. 【答案】x=-2 【解析】 【分析】根据一元一次方程的解法即可得到答案. 【详解】解：， 两边同时除以3，得：， 故答案为. 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键正确进行计算. 12. 将“的3倍与的差大于5”用不等式表示，则列出的不等式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算的3倍为，再计算与b的差为，最后选择不等号连接起来，构造不等式即可． 本题考查了列代数式，不等式的应用，熟练掌握列代数式，不等式的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 13. 已知，，，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据全等三角形对应角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：30． 14. 已知四边形中，，，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，角的计算． 根据多边形内角和公式可得四边形的内角和为：，即，再根据已知，即可得出，再根据，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形的内角和为：， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 冰裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，并被广泛应用于建筑装饰和瓷器．小明研究一个青花瓷表面时，发现一个有趣的冰裂图案，它由五个图形组成一个有规律的图案．如图，、、、分别是、、、关于、、、的对称点，设表示四边形的面积，表示四边形的面积，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了点对称的性质与三角形的中线与面积，正确理解与运用三角形的面积公式是解题的关键．根据C是的中点，则根据三角形面积公式得，则，，，再进一步即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵、、、分别是、、、关于、、、的对称点， ∴是的中点， ， 同理：， ， 同理：，， ， ． 故答案： 16. 如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为_____． 【答案】##26度 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设的交点为M，延长交于点N，根据，得，代入解答即可． 【详解】解：设的交点为M，延长交于点N， ∵，的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程基本步骤是解题的关键．利用去分母法解答即可． 【详解】解： 去分母，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 19. 如图，将绕着点逆时针旋转至，点落在点处． （1）请写出图中的一个旋转角； （2）若，，试求的度数； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，三角形的内角和定理的应用； （1）根据旋转的性质可得答案； （2）先求解，可得，再结合旋转的性质可得答案． 【小问1详解】 解：由旋转角的定义可得：旋转角为：或 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． ． 20. 学校为丰富图书馆藏书，提高学生的阅读能力，计划购买一批科普类和文学类的书籍．书店给出优惠价：科普类书籍每本按30元，文学类书籍每本按40元．若学校计划购买这两类书籍共100本，在预算不超过3600元的前提下，学校至少要购买多少本科普类书籍？ 【答案】40本 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与一元一次不等式，列出正确的不等式是解题的关键． 根据题意列出不等式进行计算． 【详解】解：设学校购买科普类书籍本，则购买文学类书籍本， 依题意，得： ， ， ， ， 解得：． 答：学校至少要购买40本科普类书籍． 21. 如图，将正六边形的边与正五边形的边在同一直线上，点为公共顶点．试求出的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角，三角形内角和，先求出正五边形和正六边形的一个内角和一个外角的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，最后求出结果即可． 【详解】解：正五边形的内角和：， ， 正五边形的外角：， 正六边形的内角和： 正六边形的外角：， ， ． 22. 滴滴快车是一种便捷的出行工具，属于共享经济理念的出行服务．某地滴滴快车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：1．车费=里程费+时长费+远途费，其中里程费按行车的实际里程计算； 2．时长费按行车的实际时间计算； 3．远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收元． （1）已知小张从学校乘坐滴滴快车回家，乘车时长为10分钟，没有产生远途费的情况下支付了元车费．试求小张家到学校的里程． （2）星期六早上，小张和聪聪两人从该地出发，各自乘坐滴滴快车去省城参加无人机航展大赛，行车时间分别为分钟、分钟．已知聪聪比小张的行车里程多8公里，两人所付车费、计费项目都相同．设，试求出的值． 【答案】（1）3公里 （2）52分钟 【解析】 【分析】（1）设小张的乘车里程为公里，根据题意得，，解方程即可． （2）根据聪聪比小张的行车里程多8公里，大于7公里了，判定二人都有远途费，设小张行车里程为公里，则聪聪行车里程为公里，根据两人所付车费、计费项目都相同．建立等式解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握分层计价问题的计算方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：设小张的乘车里程为公里，根据题意得， ， ， 解得， 答：小张家到学校的里程为3公里． 【小问2详解】 解：聪聪比小张的行车里程多8公里，两人计费项目也相同 两人均是远途乘车，都产生远途费， 设小张行车里程为公里，则聪聪行车里程为公里， 依题意得 ， ， ， 答：的值为52分钟． 23. 阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正 （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） （1）若，求证：； （2）已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． （2）由条件可得，而，进一步可得，结合可得答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 即， 又， ， ， ， ， 最小值是． 24. 生活中，常用储物箱收纳物品．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高．现计划用该储物箱收纳甲、乙两种物品，已知每件甲物品的尺寸为长，宽，高，每件乙物品的尺寸为长，宽，高．甲物品可选择方式①、②进行摆放，乙物品只按方式③进行摆放．收纳时要求收纳物品的高度不能超过储物箱的高度，同一层按同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式与物品． 阅读以上材料，完成下列问题： （1）若以方式①摆放收纳甲物品，试求出储物箱每一层最多收纳甲物品的数量； （2）通常以空间利用率（空间利用率）来衡量收纳效果． i）若储物箱同时收纳甲、乙两种物品，甲物品只以方式①摆放，判断储物箱的空间利用率是否能达到？若能，试求出收纳甲、乙两种物品的数量；若不能，请说明理由； ii）已知每个甲物品重，每个乙物品重．若储物箱同时收纳甲、乙两种物品，摆放方式可以选择方式①、方式②、方式③中的若干种进行组合．请直接写出一种空间利用率最大，收纳物品的总重量尽量多的组合方式． 友情提示 ii）的答题要求：如“一层①和两层②组合，总重量为***”或“一层①、两层②和一层③组合，总重量***”；得分方式：不同答案得不同分值，空间利用率最大且总重量最多的答案才能得满分． 【答案】（1）4件 （2）i）甲物品有8件，乙物品有96件；甲物品有16件，乙物品有48件；ii）二层①，六层③组合，空间利用率最大，收纳物品总重量最多． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用、阅读理解以及方案选择等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据储物箱的长与宽结合甲物品的摆放方式计算即可； （2）i）求解每一层以方式③摆放16件乙物品，刚好无空隙由（1）得，每一层以方式①摆放4件甲物品，刚好无空隙设以方式①摆放甲物品层，以方式③摆放乙物品层，依题意得，再利用方程的正整数解解决问题即可； ii）由i）的两种摆放方式的空间利用率为，再从空间利用率出发例举摆放方式，再依次计算重量，再比较即可． 【小问1详解】 解： ，， 答：储物箱每一层最多收纳甲物品的数量为4件 【小问2详解】 解：i）空间利用率可以达到，理由如下： 每一层以方式③摆放16件乙物品，刚好无空隙 由（1）得，每一层以方式①摆放4件甲物品，刚好无空隙 设以方式①摆放甲物品层，以方式③摆放乙物品层，依题意得 、均为正整数，解得，或 当时，甲物品有8件，乙物品有96件 当时，甲物品有16件，乙物品有48件 ii）由i）得： 四层①，三层③组合， 总重量为， 二层①，六层③组合， 总重量为， 增加②的摆放方式： 一层②，四层③组合， 总重量为， 一层②，二层①，一层③组合， 总重量为， 综上：二层①，六层③组合，空间利用率最大，收纳物品的总重量最多． 25. 如图，已知等腰中，．过点作射线，上取一动点，连结．过点作平分交的延长线于点． （1）若，当时，请求出的度数； （2）当点与点恰好关于对称，且时，求证：； （3）在点运动的过程中，与是否存在某一不变的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，，解答即可； （2）先根据点与点恰好关于对称，且，计算，再根据平行线的性质，等腰三角形的性质，确定，根据平行线的判定即可得证； （3）根据平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，变形证明即可． 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：点与点恰好关于对称， ， ∵平分， ∴， 又， ，， ， 等腰中，， 又， ， ． 【小问3详解】 解：，理由如下： ， ， 又， 设， 则 平分， 设， 则 在中， 由为的外角，得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $