第2章 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用 第二章 函数 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 课堂 互动学案 随堂 步步夯实 02 03 课后 素养提升 04 课前 预习学案 01 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数 数学·必修第一册 课程标准 素养解读 1.掌握函数奇偶性的简单应用 2．了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件 1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养 2．通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养 [情境引入] 1．图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图象，你能结合奇偶函数图象的特征画出相应图象的另一部分吗？ 提示：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． 2．就图(1)而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图(2)而言，函数在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))与eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))上的单调性是否相同？ 提示：(1)单调性相反，(2)单调性相同． [知识梳理] [知识点]　函数的性质　 1．函数的奇偶性与单调性的性质 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为　增函数　(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性　相同　. (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为　减函数　(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性　相反　. 2．奇偶函数的运算性质 　在公共定义域内： (1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； (2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； (3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． 3．函数的对称轴与对称中心 (1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝　T　是f(x)的对称轴． (2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则　(a，b)　是f(x)的对称中心． 1.若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？ 提示：不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数． 2．函数y＝eq \f(x,x－1)的图象有对称中心吗？若有，指出对称中心． 提示：y＝eq \f(x,x－1)＝1＋eq \f(1,x－1)，对称中心为(1,1)． [预习自测] 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　) A．y＝x＋1　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝eq \f(1,x) D．y＝x|x| 答案：D 2．已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋eq \f(1,x)，则f(－1)＝(　　) A．2　　　 B．1 C．0　　　D．－2 答案：D 3．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)，f(1)，f(－3)从小到大的关系是　________________　. 答案：f(1)＜f(－2)＜f(－3) 根据函数奇偶性求函数解析式 [例1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋3x－1，求f(x)的解析式． [思路点拨]　思路如图 [解]　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∵当x＜0时，－x＞0， ∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)－1] ＝－x2＋3x＋1. 又∵奇函数f(x)在原点有意义，∴f(0)＝0. ∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋3x－1，　x＞0，,0，　x＝0，,－x2＋3x＋1，x＜0.)) 根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)转化代入已知区间的解析式． (3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． [变式训练] 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x－eq \f(2,x)＋2. (1)求f(x)在R上的解析式； (2)当x∈[－2，－1]时，求f(x)的值域． 解：(1)∵函数f(x)为奇函数， 则有：当x＜0时，则－x＞0， 故f(x)＝－f(－x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x－\f(2,－x)＋2)) ＝x－eq \f(2,x)－2； 当x＝0时，则f(0)＝0； 所以f(x)在R上的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)＋2，x＞0，,0，x＝0，,x－\f(2,x)－2，x＜0.)) (2)当x∈[－2，－1]时，则f(x)＝x－eq \f(2,x)－2， 对∀x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，则eq \f(1,x1)＞eq \f(1,x2)， 故－eq \f(2,x1)＜－eq \f(2,x2)， ∴x1－eq \f(2,x1)－2＜x2－eq \f(2,x2)－2，即f(x1)＜f(x2)， 故f(x)＝x－eq \f(2,x)－2在[－2，－1]上为增函数， 且f(－2)＝－3，f(－1)＝－1， 则－3≤f(x)≤－1， 所以当x∈[－2，－1]时，f(x)的值域为[－3，－1]． 函数单调性与奇偶性的关系 [例2] (1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围． (2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [思路点拨]　奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反． [解]　(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0， 得f(1－a2)<－f(1－a)． ∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数， ∴－f(1－a)＝f(a－1)， ∴f(1－a2)<f(a－1)． 又∵f(x)在[－1,1]上单调递减， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤1－a2≤1，,－1≤1－a≤1，,1－a2>a－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤a2≤2，,0≤a≤2，,－2<a<1.)) ∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0,1)． (2)∵函数f(x)是偶函数， ∴f(x)＝f(|x|)． ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)． ∴原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,|1－m|>|m|，))解得－1≤m<eq \f(1,2)， ∴实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). 1．比较大小的求解策略 看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 2．解不等式的策略 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． [变式训练] 2．(1)若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有(　　) A．最小值6　　　　　 B．最小值－6 C．最大值－6 D．最大值6 (2)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　) A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10) C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定 解析：(1)C　[因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.] (2)A　[∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)． 又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10， ∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．] 　 奇偶性、单调性的综合应用 [例3]　已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5). (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0. [思路点拨]　若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. [解]　(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f0＝0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝\f(2,5)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，)) 故f(x)＝eq \f(x,1＋x2). (2)任取－1<x1<x2<1， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,1＋x\o\al(2,1))－eq \f(x2,1＋x\o\al(2,2)) ＝eq \f(x1－x21－x1x2,1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2)). 因为－1<x1<x2<1， 所以x1－x2<0,1＋xeq \o\al(2,1)>0,1＋xeq \o\al(2,2)>0. 又－1<x1x2<1，所以1－x1x2>0. 所以f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x)在(－1,1)上是增函数． (3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)． 因为f(x)在(－1,1)上是增函数， 所以－1<t－1<－t<1，解得0<t<eq \f(1,2). 所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(t|0<t<\f(1,2))). 奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值．解题时，一定要特别注意函数的定义域． [变式训练] 3．已知函数f(x)＝x2＋2ax－1. (1)若f(1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值； (2)若f(x)为偶函数，求实数a的值； (3)若f(x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意可知，f(1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1，此时函数f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，故当x＝－1时， f(x)min＝－2. (2)若f(x)为偶函数，则对任意x∈R， f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f(x)＝x2＋2ax－1，即4ax＝0，故a＝0. (3)因为函数f(x)＝x2＋2ax－1的单调递减区间是(－∞，－a]，而f(x)在(－∞，4]上单调递减，所以4≤－a，即a≤－4，故实数a的取值范围为(－∞，－4]． 1．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 答案：A 2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　) A．a>1　　　　　　　　 B．a<－2 C．a>1或a<－2 D．－1<a<2 答案：C 3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　) A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3) C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2) 答案：A 4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为　____________　. 答案：f(x)＝x＋1 5．若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，求不等式f(x)≥0的解集． 解：若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(－x)＝f(x)，因为f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0，综上当x≤－1或x≥1时，f(x)≥0，即f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥1}． $$