第1章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

章末归纳提升 第一章 预备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 [网络构建] [归纳提升] 集合的基本概念 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． [例1]　 (1)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 [解析]　∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素． [答案]　C (2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 [解析]　当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个． [答案]　C [变式训练] 1．(1)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．6 解析：C　[易知A＝{1,2}，又A∪B＝(0,1,2}，所以集合B可以是：{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．] (2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为　________　. 解析：当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13)，符合题意； 当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1，若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1. 答案：3或1 集合的基本关系 　集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． [例2]　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． [答案]　D (2)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝　________　. [解析]　由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2(舍)， 综上所述，x＝－2或x＝0. [答案]　0或－2 (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是　________　. [解析]　当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4. 综上，m的取值范围为(－∞，4]． [答案]　(－∞，4] [变式训练] 2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3　　　　　　　 B．2 C．2或3 D．0或2或3 解析：D　[当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝∅，满足B⊆A；当m≠0时，B＝eq \f(6,m)，因为B⊆A，所以eq \f(6,m)＝2或eq \f(6,m)＝3，解得m＝3或m＝2.] 集合的基本运算 　集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用维恩图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． [例3]　(1)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　) A．{1，－3}　　　　　 B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} [解析]　由A∩B＝{1}，得1∈B， 所以m＝3，B＝{1,3}． [答案]　C (2)若集合A＝{x|－2<x<1)，B＝{x|x<－1，或x>3)，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－1} B．{x－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} [解析]　A∩B＝{x|－2<x<－1}． [答案]　A (3)已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}． ①求A∪B，(∁RA)∩B； ②若A∩C≠∅，求a的取值范围． [解]　①因为A＝{x|2≤x<7}， B＝{x|3<x<10}， 所以A∪B＝{x|2≤x<10}． 因为A＝{x|2≤x<7}， 所以∁RA＝{x|x<2，或x≥7}， 则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}． ②因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}， 且A∩C≠∅， 所以a>2， 所以a的取值范围是{a|a>2}． 3．(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 解析：D　[由题意得，B＝{1,4,7,10}， 所以A∩B＝{1,4}．] (2)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{2,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4} D．{2,3,4,5} 解析：A　[由题意知∁UA＝{2,5}， 所以(∁UA)∪B＝{2,4,5}．] 全称量词命题与存在量词命题 　已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制． [例4] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集； (2)∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2； (3)∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2； (4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． [解]　(1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集． (2)该命题是全称量词命题，是假命题． 因为4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1 ＝(x－1)2≥0， 所以当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2. 该命题的否定：∃x∈R,4x2≤2x－1＋3x2. (3)该命题是存在量词命题，是真命题． 因为当x＝1时，|x－2|＝1<2. 该命题的否定：∀x∈{－2，－1,0,1,2}， |x－2|≥2. (4)该命题是全称量词命题，是假命题． 当a≠0时，方程ax＋b＝0才恰有一解． 该命题的否定：∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解或至少有两解． [变式训练] 4．(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 解析：B　[量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．] (2)(多选)在下列命题中，真命题有(　　) A．∃x∈R，x2＋x＋3＝0 B．∀x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数 C．∃x，y∈Z，使3x－2y＝10 D．∀x∈R，x2>|x| 解析：BC　[A中，x2＋x＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(11,4)>0，故A是假命题；B中，x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1一定是有理数，故B是真命题；C中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故C是真命题；对于D，当x＝0时，左边＝右边＝0，故D为假命题．] 充分条件与必要条件 　充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断． [例5]　若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出满足下列条件的式子，用序号填空： (1)使a，b都为0的必要条件是　________　； (2)使a，b都不为0的充分条件是　________　； (3)使a，b至少有一个为0的充要条件是　________　. [解析]　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数； ④ab>0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0，))即a，b同为正数或同为负数． 综上可知：(1)使a，b都为0的必要条件是①②③. (2)使a，b都不为0的充分条件是④. (3)使a，b至少有一个为0的充要条件是①. [答案]　(1)①②③　(2)④　(3)① [变式训练] 5．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若命题p的否定是命题q的否定的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 解：由题意知p：－2≤x－3≤2， 即1≤x≤5，∴命题p的否定：x＜1或x＞5. ∵命题q：m－1≤x≤m＋1， ∴命题q的否定：x＜m－1或x＞m＋1. 又∴命题p的否定是命题q的否定的充分不必要条件， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－1＞1，,m＋1≤5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－1≥1，,m＋1＜5，))∴2≤m≤4. ∴实数m的取值范围是[2,4]． 不等式的性质及应用 不等关系与不等式的解法是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用． [例6] (1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　) A．ab>ac　　　　　　　B．c(b－a)>0 C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0 [解析]　因为c<a.且ac<0，所以c<0，a>0. A成立，因为c<b，所以ac<ab，即ab>ac. B成立，因为b<a，b－a<0， 所以c(b－a)>0. C不一定成立，当b＝0时，cb2<ab2不成立． D成立，因为c<a，所以a－c>0， 所以ac(a－c)<0. [答案]　C (2)对于实数a，b，c，下列命题中正确的是(　　) A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b(ab≠0)，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b [解析]　对于A，由a＞b，取a＝2，b＝－3，则a2＞b2不成立，故A错误；对于B，由a＞b(ab≠0)，取a＝1，b＝－1，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)不成立，故B错误；对于C，当c＝0时，ac2＞bc2不成立，故C错误；对于D，因为ac2＞bc2，所以c2＞0，故ac2×eq \f(1,c2)＞bc2×eq \f(1,c2)，则a＞b，故D正确． [答案]　D (3)已知2<a<3，－2<b<－1，求ab，eq \f(b2,a)的取值范围． [解]　因为－2<b<－1，所以1<－b<2. 又因为2<a<3，所以2<－ab<6， 所以－6<ab<－2. 因为－2<b<－1，所以1<b2<4. 因为2<a<3，所以eq \f(1,3)<eq \f(1,a)<eq \f(1,2)， 所以eq \f(1,3)<eq \f(b2,a)<2. 所以ab的取值范围为－6<ab<－2，eq \f(b2,a)的取值范围为eq \f(1,3)<eq \f(b2,a)<2. [变式训练] 6．(1)(多选)下列命题正确的有(　　) A．若a>1，则eq \f(1,a)<1 B．若a＋c>b，则eq \f(1,a)<eq \f(1,b) C．对任意实数a，都有a2≥a D．若ac2>bc2，则a>b 解析：AD　[因为a>1，所以eq \f(1,a)<1，所以A正确；若a＋c>b，可令a＝1，c＝1，b＝－1，则有eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故B错误；对于C，可取a＝eq \f(1,2)，则a2<a，故C错误；因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，故D正确．] (2)已知a>0，b>0，且a≠b，比较eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)与a＋b的大小． 解：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋\f(b2,a)))－(a＋b)＝eq \f(a2,b)－b＋eq \f(b2,a)－a ＝eq \f(a2－b2,b)＋eq \f(b2－a2,a) ＝(a2－b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,a))) ＝(a2－b2)eq \f(a－b,ab)＝eq \f(a－b2a＋b,ab)， 因为a>0，b>0，且a≠b， 所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋\f(b2,a)))－(a＋b)>0， 即eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)>a＋b. 解一元二次不等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法及其根与系数的关系的应用． [例7]　解下列关于x的不等式： (1)－1<x2＋2x－1≤2； (2)m2x2＋2mx－3<0. [解]　(1)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1>－1，,x2＋2x－1≤2，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x>0，　　　　　①,x2＋2x－3≤0， ②)) 由①得x(x＋2)>0， 所以x<－2或x>0； 由②得(x＋3)(x－1)≤0， 所以－3≤x≤1. 将①②的解集在数轴上表示出来，如图． 求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2，或0<x≤1}． (2)当m＝0时，－3<0恒成立，解集为R. 当m≠0时，二次项系数m2>0，Δ＝16m2>0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0. 当m>0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,m)<x<\f(1,m)))； 当m<0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,m)<x<－\f(3,m))). [变式训练] 7．解下列不等式(组)： (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xx＋2>0，,x2<1；)) (2)6－2x≤x2－3x<18. 解：(1)原不等式组可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<－2或x>0，,－1<x<1，)) 即0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}． (2)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6－2x≤x2－3x，,x2－3x<18，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x－6≥0，,x2－3x－18<0，)) 因式分解，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3x＋2≥0，,x－6x＋3<0，)) 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤－2，或x≥3，,－3<x<6，)) 所以－3<x≤－2或3≤x<6. 所以不等式的解集为{x|－3<x≤－2，或3≤x<6}． 利用基本不等式求最值 基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． [例8]　(1)设a>0，b>0,2a＋b＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为　________　. (2)已知a，b都是正数，且a2＋eq \f(b2,2)＝1，则y＝aeq \r(1＋b2)的最大值为　________　. [解析]　(1)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b) ＝4＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥4＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1，,\f(b,a)＝\f(4a,b)，))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)))时等号成立． ∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为8. (2)∵a2＋eq \f(b2,2)＝1，∴2a2＋b2＝2. 又∵a是正数，b也是正数， ∴y＝aeq \r(1＋b2)＝eq \r(a2·1＋b2) ＝eq \f(1,\r(2))·eq \r(2a21＋b2)≤eq \f(1,\r(2))·eq \f(2a2＋1＋b2,2) ＝eq \f(3,4) eq \r(2)， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a2＝1＋b2，,a2＋\f(b2,2)＝1，,a>0，b>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(3),2)，,b＝\f(\r(2),2)))时取等号， ∴y＝aeq \r(1＋b2)有最大值eq \f(3,4) eq \r(2). [答案](1)8　(2)eq \f(3,4) eq \r(2) [变式训练] 8．若x>0，y>0，且x＋2y＝5，求eq \f(9,x)＋eq \f(2,y)的最小值，并求出取得最小值时x，y的值． 解：因为x>0，y>0，且x＋2y＝5， 所以eq \f(9,x)＋eq \f(2,y)＝eq \f(1,5)(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,x)＋\f(2,y))) ＝eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(13＋\f(18y,x)＋\f(2x,y)))≥eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(13＋2\r(\f(18y,x)·\f(2x,y))))＝5， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝5，,\f(18y,x)＝\f(2x,y)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))时等号成立． 所以eq \f(9,x)＋eq \f(2,y)的最小值为5，此时x＝3，y＝1. 恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元． (2)分离参数法 若m<y恒成立，则m<y的最小值． 若m>y恒成立，则m>y的最大值． (3)数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． [例9]　设函数y＝mx2－mx－1，(1≤x≤3)，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解]　y<－m＋5恒成立． 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝(x－eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)>0， 又m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<eq \f(6,x2－x＋1). ∵y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在1≤x≤3上的最小值为eq \f(6,7)，∴只需m<eq \f(6,7)即可． ∴m的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m<\f(6,7))). [变式训练] 9．设x＞0，y＞0，不等式eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(m,x＋y)≥0恒成立，则实数m的最小值是(　　) A．－2　　　B．2　　　C．1　　　D．－4 解析：D　[∵x＞0，y＞0，不等式eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(m,x＋y)≥0恒成立，即m≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋y)恒成立，∴只需m≥eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))x＋y))max，∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋y)＝2＋eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2＋2eq \r(\f(x,y)·\f(y,x))＝4，当且仅当x＝y时取等号． 所以－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋y)≤－4.∴实数m≥－4， ∴实数m的最小值为－4.] 构建不等式模型解决实际问题 数学建模是应用数学实际问题的基本手段，在本章中体现在：(1)基本不等式的实际应用；(2)一元二次不等式的实际应用． [例10]　 某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． [解]　y＝112eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(160,x)×2))＋96eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(160,x)×3))＋100×160＝320×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(256,x)))＋16 000≥26 240. 此时，x＝eq \f(256,x)，即x＝16时，取得最小值． 最小值为26 240元．故最低造价为26 240元． [变式训练] 10．某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加eq \f(8,5)x成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少10 260元，求x的取值范围． 解：(1)依题意y＝100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,10)))·100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(8,50)x))， 又售价不能低于成本价， 所以100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,10)))－80≥0，解得x≤2， 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2)． (2)20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得：8x2－30x＋13≤0，解得eq \f(1,2)≤x≤eq \f(13,4). 又x∈[0,2]，所以x的取值范围为eq \f(1,2)≤x≤2. $$