第1章 3.2 第1课时 基本不等式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 3 不等式 3.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 第一章 预备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 随堂 步步夯实 02 03 课后 素养提升 04 课前 预习学案 01 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 预备知识 数学·必修第一册 课程标准 素养解读 掌握基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a，b都是正数)．能用基本不等式解决问题 通过学习基本不等式及其简单应用，重点培养数学运算、逻辑推理素养 [情境引入] (1)对∀a、b∈R.a2＋b2与2ab的大小如何？ (2)在图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.可得到CD＝eq \r(ab)，eq \f(1,2)AB＝eq \f(a＋b,2)，由CD小于或等于圆的半径，可得出什么样的不等关系？ 提示：(1)a2＋b2≥2ab　(2)eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) [知识梳理] [知识点一]　重要不等式与基本不等式　 1．重要不等式 ∀a，b∈R，有　a2＋b2≥2ab　，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式 如果a>0，b>0，有eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当　a＝b　时，等号成立． 其中，eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的　算术平均数　，eq \r(ab)叫做正数a，b的　几何平均数　. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数　不小于　它们的几何平均数． 1.基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 2．基本不等式成立的条件“a，b>0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如eq \f(－3＋－4,2)≥eq \r(－3×－4)是不成立的． [知识点二]　基本不等式与最值　 　已知x，y都是正数，则 (1)如果和x＋y等于定值s(和为定值)，那么当　x＝y　时，积xy有最大值eq \f(1,4)s2. (2)如果积xy等于定值p(积为定值)，那么当　x＝y　时，和x＋y有最小值　2eq \r(p)　. 3.x＋eq \f(1,x)上的最小值是2吗？ 提示：当x>0时，x＋eq \f(1,x)的最小值是2； 当x<0时，x＋eq \f(1,x)没有最小值． [预习自测] 1．(多选)下列结论正确的是(　　) A．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq \r(ab)均成立 B．若a，b同号，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 C．若a>0，b>0，则ab≤eq \f(a＋b,2)恒成立 D．若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2eq \r(ab) 答案：BD 2．已知x>0，则3x＋eq \f(2,x)的最小值为(　　) A．3　　B．2eq \r(3)　　C．3eq \r(2)　　D．2eq \r(6) 解析：D　[因为x>0，所以3x＋eq \f(2,x)≥2eq \r(6)， 当且仅当3x＝eq \f(2,x)，即x＝eq \f(\r(6),3)时取等号．] 3．不等式(x－2y)＋eq \f(1,x－2y)≥2成立的前提条件为　________　. 解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正， 所以x－2y>0，即x>2y. 答案：x>2y 利用基本不等式比较大小 [例1] 设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)　B．a<eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)<b C．a<eq \r(ab)<b<eq \f(a＋b,2) D.eq \r(ab)<a<eq \f(a＋b,2)<b [思路点拨]　当a>0，b>0时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时取等号，注意等号成立的条件． [解析]　[法一　∵0<a<b，∴a<eq \f(a＋b,2)<b，排除A，C两项． 又eq \r(ab)－a＝eq \r(a)(eq \r(b)－eq \r(a))>0，即eq \r(ab)>a，排除D项． 法二　取a＝2，b＝8，则eq \r(ab)＝4，eq \f(a＋b,2)＝5， 所以a<eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)<b.] [答案]　B 利用基本等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. [变式训练] 1．(多选)已知b＜a＜0，则下列不等式正确的是(　　) A．b2＞ab B．a＋eq \f(1,b)＜b＋eq \f(1,a) C.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＞2 D．a2＋eq \f(1,a)＜b2＋eq \f(1,b) 解析：ACD　[b2－ab＝b(b－a)＞0，则b2＞ab，A正确；a＋eq \f(1,b)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,a)))＝(a－b)＋eq \f(a－b,ab)＝(a－b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))，而a－b＞0，1＋eq \f(1,ab)＞0，所以a＋eq \f(1,b)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,a)))＞0，即a＋eq \f(1,b)＞b＋eq \f(1,a)，B错误；eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2且eq \f(b,a)，eq \f(a,b)＞0，当且仅当a＝b时等号成立，而b＜a＜0，故eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＞2，C正确；a2＋eq \f(1,a)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,b)))＝a2－b2＋eq \f(b－a,ab)＝(a－b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b－\f(1,ab)))，而a－b＞0，a＋b－eq \f(1,ab)＜0，所以a2＋eq \f(1,a)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,b)))＜0，即a2＋eq \f(1,a)＜b2＋eq \f(1,b)，D正确．] 利用基本不等式判断不等式的成立 [例2] (1)下列不等式中正确的是(　　) A．a＋eq \f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab C.eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3) (2)给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0； ④a<0，b<0，其中能使eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立的条件有(　　) A．1个　　B．2个 C．3个　　D．4个 [思路点拨]　根据基本不等式成立的条件判断． [解析]：(1)a<0，则a＋eq \f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)，故C错．由基本不等式可知D项正确． (2)当eq \f(b,a)，eq \f(a,b)均为正数时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以． [答案]　(1)D　(2)C 不等式a2＋b2≥2ab与a＋b≥eq \r(ab)的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． [变式训练] 2．(多选)若a＞0，b＞0.且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A．0＜eq \f(1,ab)≤eq \f(1,4) B.eq \r(ab)＜2 C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥1 D.eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,8) 解析：CD　[ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2＝4或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)，则eq \f(1,ab)≥eq \f(1,4)，eq \r(ab)≤2，a2＋b2≥8，eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,8)，即AB错误，D正确；eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(4,ab)≥4×eq \f(1,4)＝1，C选项正确．] 利用基本不等式证明不等式 [例3]　(1)证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； (2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(a＋c－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)>3. [思路点拨]　利用基本不等式证明不等式，注意等号成立的条件． [证明]　(1)∵a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号) ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. (2)因为a，b，c全不相等， 所以eq \f(b,a)与eq \f(a,b)，eq \f(c,a)与eq \f(a,c)，eq \f(c,b)与eq \f(b,c)全不相等， 所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)>2，eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)>2，eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)>2， 三式相加得，eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)>6， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(c,a)－1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(a,b)－1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)＋\f(b,c)－1))>3， 即eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(a＋c－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)>3. 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用． [变式训练] 3．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,z)－1))>8. 证明：因为x，y，z是互不相等的正数， 且x＋y＋z＝1， 所以eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)＝eq \f(y＋z,x)>eq \f(2\r(yz),x)，① eq \f(1,y)－1＝eq \f(1－y,y)＝eq \f(x＋z,y)>eq \f(2\r(xz),y)，② eq \f(1,z)－1＝eq \f(1－z,z)＝eq \f(x＋y,z)>eq \f(2\r(xy),z)，③ 又x，y，z为正数，由①×②×③，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,z)－1))>8. 1．下列不等式成立的是(　　) A．ab≤eq \f(a2＋b2,2)　　　　　　 B．ab≥eq \f(a2＋b2,2) C．a＋b≥2eq \r(ab) D．a＋b≤2eq \r(ab) 解析：A　[a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤eq \f(a2＋b2,2).] 2．若m＜n＜0，则下列不等式中正确的是(　　) A.eq \f(1,n)＞eq \f(1,m) B．|n|＞|m| C.eq \f(n,m)＋eq \f(m,n)＞2 D．m＋n＞mn 解析：C　[因为eq \f(n,m)＞0，eq \f(m,n)＞0且eq \f(n,m)≠eq \f(m,n)， 所以eq \f(n,m)＋eq \f(m,n)＞2eq \r(\f(n,m)·\f(m,n))＝2.] 3．已知a，b是不相等的正数，x＝eq \f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq \r(a＋b)，则x，y的大小关系是　________　. 解析：x2＝eq \f(a＋b＋2\r(ab),2)，y2＝a＋b＝eq \f(a＋b＋a＋b,2). ∵a＋b>2eq \r(ab)(a>0，b>0且a≠b)，∴x2<y2. ∵x，y>0，∴x<y. 答案：x<y 4．若a>0，b>0.a＋b＝2.则下列不等式： ①ab≤1，②eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)；③a2＋b2≥2； ④eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2. 对满足条件的a，b恒成立的是　________　(填序号)． 解析：因为ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1.所以①正确；因为(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝2＋2eq \r(ab)≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥eq \f(a＋b2,2)＝2，所以③正确；eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(2,ab)≥2，所以④正确． 答案：①③④ 5．已知x，y都是正数，且x≠y. 求证：(1)eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＞2； (2)eq \f(2xy,x＋y)＜eq \r(xy). 证明：(1)∵x＞0，y＞0，∴eq \f(x,y)＞0，eq \f(y,x)＞0， ∴eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2eq \r(\f(y,x)·\f(x,y))＝2， 由于当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝y时取等号， 但x≠y，因此不能取等号， ∴eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＞2. (2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y≥2eq \r(xy)， ∴eq \f(2xy,x＋y)≤eq \f(2xy,2\r(xy))＝eq \r(xy)， 当且仅当x＝y时取等号，但x≠y，因此不能取等号，∴eq \f(2xy,x＋y)＜eq \r(xy). $$