第24章《圆》第15课时与圆相关的阴影面积 暑假预习课 2025--2026学年人教版九年级数学上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第24章《圆》第15课时与圆相关的阴影面积 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 圆中求阴影部分面积的常用方法： (1)公式法：所求图形是规则图形，如扇形、圆等，可直接利用公式计算. (2)和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差. ①直接和差法；　　　　　　　　　　　　　　②构造和差法. (3)等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形等积变换，为公式法或和差法创造条件. ①全等法；　　　　　　　　　　　　　　 ②对称法； ③平移法；　　　　　　　　　　　　　　　　 ④旋转法. 类型一：用公式法求规则图形的面积 1. 如图，某数学兴趣小组将边长为10的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD的面积为　 　. 2. 如图，在 ABCD中，E为BC的中点，以点E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F.若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为　　 　. 类型二：用和差法求不规则图形的面积 3. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4.分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为　　 　. 4. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以点O，E为圆心，OA，ED长为半径画和，连接AD，则图中阴影部分面积是　　 　. 5. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为　　 . 6. 如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为O.以点C为圆心，BC为半径作，过点O作AC的平行线交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是　　 　. 类型三：用等积变换法求较复杂图形的面积 7. 如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为　　 　. 8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为　　 . 9. 如图，AB是⊙O的直径，E为BC的中点，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分的面积之和为　　 . 10. 如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　　 . 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在半径为的中，点，，都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为，，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 4.如图，点，，在上，，连接，若的半径为，则扇形阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 5.如图，正方形的边长为，以为直径的半圆交对角线于点，则图中阴影部分的面积为  (    ) A. B. C. D. 6.如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，则阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 8.如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在▱中，，的半径为，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 10.如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，半圆的直径，点在半圆上，，则阴影部分的面积为          结果保留． 12.如图，将沿弦折叠，恰经过圆心，若，则阴影部分的面积为          ． 13.如图所示的扇形中，，，为上一点，，连接，过作的垂线交于点，则图中阴影部分的面积为______． 14.如图，在扇形中，，正方形的顶点是弧的中点，点在上，点在的延长线上，当扇形的半径为时，阴影部分的面积为          ．   15.如图，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为          ． 16.如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是          结果用含的式子表示． 17.如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为          ． 18.如图，已知，，将绕着点逆时针旋转，使点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为          ． 19.如图，等腰中，，以为圆心，以为半径作；以为直径作则图中阴影部分的面积是          结果保留 20.如图，点、分别是半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是，则半圆的半径的长为______． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，是的直径，点是上一点，与的延长线相交于点，平分，于点． 求证：是的切线． 若，，求阴影部分的面积．结果保留根号及 22.如图，为直径，切于点，交于点，为中点． 求证：是的切线； 若，，求阴影部分的面积． 23.如图，点，，都在半径为的上，过点作交的延长线于点，连接，已知． 求证：是的切线 求弦的长 求图中阴影部分的面积． 24.如图，在中，，，点在上，经过点的与相切于点，交于点． 求证：平分； 若，求图中阴影部分的面积结果保留． 25.如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，． 试判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，，求阴影部分的面积． 26.如图，在中，，，，与相切于点． 求图中阴影部分的面积． 上有一动点，连接、当的长最大时，求的长． 27.如图，是的切线，为切点，直线交于，两点，连接，过圆心作的平行线，分别交的延长线、及于点，，． 求证：； 若是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 28.在等腰中，，以为直径的分别与，相交于点，，过点作，垂足为点． 求证：是的切线； 分别延长，，相交于点，，的半径为，求阴影部分的面积． 29.如图，中，点是边上一点，以为直径的与相切于点，，点为与的交点，连接． 求证：是的切线； 若，，求图中阴影部分的面积． 30.如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为上一点，于点，连接交于，． 求证：是的切线． 若，，求的半径． 若，，则阴影部分的面积为________． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第24章《圆》第15课时与圆相关的阴影面积 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 圆中求阴影部分面积的常用方法： (1)公式法：所求图形是规则图形，如扇形、圆等，可直接利用公式计算. (2)和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差. ①直接和差法；　　　　　　　　　　　　　　②构造和差法. (3)等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形等积变换，为公式法或和差法创造条件. ①全等法；　　　　　　　　　　　　　　 ②对称法； ③平移法；　　　　　　　　　　　　　　　　 ④旋转法. 类型一：用公式法求规则图形的面积 1. 如图，某数学兴趣小组将边长为10的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD的面积为　100　. 2. 如图，在 ABCD中，E为BC的中点，以点E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F.若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为　　. 类型二：用和差法求不规则图形的面积 3. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4.分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为　4－π　. 4. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以点O，E为圆心，OA，ED长为半径画和，连接AD，则图中阴影部分面积是　8－π　. 5. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为　2π－4　. 6. 如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为O.以点C为圆心，BC为半径作，过点O作AC的平行线交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是　－2　. 类型三：用等积变换法求较复杂图形的面积 7. 如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为　10π cm2　. 8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为　　. 9. 如图，AB是⊙O的直径，E为BC的中点，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分的面积之和为　　. 10. 如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　－　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键． 由半圆面积扇形的面积空白处半圆的面积即可得出阴影部分的面积． 【解答】 解：半圆，绕点顺时针旋转， ， 故选D． 2.如图，在半径为的中，点，，都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：连接， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 故选A． 本题考查扇形面积的计算，平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质． 连接，根据平行四边形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论． 3.如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为，，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  4.如图，点，，在上，，连接，若的半径为，则扇形阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  5.如图，正方形的边长为，以为直径的半圆交对角线于点，则图中阴影部分的面积为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  6.如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  7.如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，则阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  8.如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 连接，如图，利用折叠性质得扇形的面积减去由弧、线段和所围成的图形的面积的倍等于阴影部分的面积，，则，，从而得到，，然后根据扇形面积公式，利用由弧、线段和所围成的图形的面积，进而求出答案． 本题考查了扇形面积的计算：求阴影部分的面积主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式，也考查了折叠的性质，注意：圆心角是，半径为的扇形的面积． 【解答】 解：连接，如图， 扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为， ， ， ， ，， 由弧、线段和所围成的图形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 9.如图，在▱中，，的半径为，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查平行四边形的性质，扇形面积的计算，先根据平行四边形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【解答】 解： 在▱中，， ． 的半径为， ． 故选C． 10.如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 连接，，根据旋转的性质得到，推出是等边三角形，得到，推出是等边三角形，得到，得到，在底角为的等腰中，求得，到的距离为，则图中阴影部分的面积，即可求解． 【解答】 解：连接，， 将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转， ， 是等边三角形， ，， 点在上， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 又， 在底角为的等腰中，，到的距离为， 图中阴影部分的面积 ． 故选：． 二、填空题： 11.如图，半圆的直径，点在半圆上，，则阴影部分的面积为          结果保留． 【答案】  【解析】解：连接、，作于点， 直径，点在半圆上，， ，， ， ， ， 阴影部分的面积是：， 故答案为：． 根据题意，作出合适的辅助线，即可求得和的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去和扇形的面积． 本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12.如图，将沿弦折叠，恰经过圆心，若，则阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 过点作的垂线并延长，垂足为，交于点，连结，，根据垂径定理得：，根据将沿弦折叠，恰经过圆心，得到，得到，得到，进而证明是等边三角形，得到，在中根据勾股定理求出半径，证明≌，可以将补到上，得到阴影部分的面积，即可得出答案． 本题考查了扇形面积的计算，垂径定理，翻折变换折叠问题，在中，根据，得到是解题的关键． 【解答】 解：如图，过点作的垂线并延长，垂足为，交于点，连结，， 根据垂径定理得：， 将沿弦折叠，恰经过圆心， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 设圆的半径为， 在中，， ， 解得：， ，，， 即在和中， ≌， 阴影部分的面积． 故答案为：． 13.如图所示的扇形中，，，为上一点，，连接，过作的垂线交于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】  【解析】解：，， ， 扇形中，， ， 是等边三角形， 过作的垂线交于点， ， ， ，， 图中阴影部分的面积 ． 故答案为． 根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 本题考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等边三角形的判定和性质． 14.如图，在扇形中，，正方形的顶点是弧的中点，点在上，点在的延长线上，当扇形的半径为时，阴影部分的面积为          ． 【答案】  15.如图，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  16.如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是          结果用含的式子表示． 【答案】  17.如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  18.如图，已知，，将绕着点逆时针旋转，使点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  19.如图，等腰中，，以为圆心，以为半径作；以为直径作则图中阴影部分的面积是          结果保留 【答案】  【解析】【分析】 如图，取的中点，连接根据，求解即可． 本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用割补法求阴影部分的面积． 【解答】 解：如图，取的中点，连接． ，， ， ， ． 故答案为：． 20.如图，点、分别是半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是，则半圆的半径的长为______． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查扇形的面积，解题的关键是理解阴影部分的面积等于扇形的面积． 连接、，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，列式计算就可． 【解答】 解：连接、、． 点，为半圆的三等分点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 和等底等高， ． 阴影部分的面积， 阴影部分的面积是， ， ， 故答案为． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，是的直径，点是上一点，与的延长线相交于点，平分，于点． 求证：是的切线． 若，，求阴影部分的面积．结果保留根号及 【答案】证明：连接， 平分， ， 又， ， ， ， 又， ， 是半径， 是圆的切线． 解：， ， ， ，   【解析】连接，推出，，求出，得出，推出，根据切线的判定判断即可； 由直角三角形的性质求出，，由扇形的面积公式可得出答案． 本题考查了切线的判定，平行线的性质、直角三角形的边角关系，扇形的面积，掌握直角三角形的边角关系以及切线的判定、等腰三角形的性质是解题的关键． 22.如图，为直径，切于点，交于点，为中点． 求证：是的切线； 若，，求阴影部分的面积． 【答案】证明：连接，， 是的直径，为的切线， ， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 是的切线． ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ．  【解析】【分析】 本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形全等的判定，解此题的关键是求出，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 先连接和，根据切线的性质求出，根据三角形中位线性质求出，根据平行线的性质推出，，进而求得，然后根据求得≌，证得，根据切线的判定推出即可． 先求得是等边三角形，从而求得，根据三角形全等的性质求得，进而求得，根据的直角三角形的性质求得，，然后根据就可求得． 23.如图，点，，都在半径为的上，过点作交的延长线于点，连接，已知． 求证：是的切线 求弦的长 求图中阴影部分的面积． 【答案】证明：如图，连接交于， ， ． ， ， 又， ， 又是的半径， 是的切线． 解：由得， ， 在中， ，， ， 由勾股定理，得， ． 解：， 且，， ≌， 阴影部分的面积等于扇形的面积， 阴影部分的面积为．   【解析】本题考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算．关键是连接，利用内角和定理，三角形全等的知识解题． 连接，交于，由可知，进而可证，再由可证，即可证明是的切线； 利用中的切线的性质和垂径定理以及解直角三角形来求的长度； 证明≌，将阴影部分面积问题转化为求扇形的面积． 24.如图，在中，，，点在上，经过点的与相切于点，交于点． 求证：平分； 若，求图中阴影部分的面积结果保留． 【答案】证明：连接，． 相切于点， ． 为直径， ． ， ． ． 平分； 在中，，， ． 相切于点， ． ． ． 设，则， ． ， ． ， ． 图中阴影部分的面积．  【解析】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键． 连接，利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相等证明，进而得出结论； 根据等腰三角形的性质得到，由切于点，得到，求得，，设，则，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 25.如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，． 试判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，，求阴影部分的面积． 【答案】解：与相切． 证明：连接． 是的平分线， ． 又， ． ． ． ，即． 又为半径， 与相切． 设，则， 根据勾股定理得：，即， 解得：，即， ， 中，， ， ， ， 则阴影部分的面积为． 故阴影部分的面积为．  【解析】本题考查了切线的判定，扇形面积的计算，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线； 在直角三角形中，设，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形的面积减去扇形面积即可确定出阴影部分面积． 26.如图，在中，，，，与相切于点． 求图中阴影部分的面积． 上有一动点，连接、当的长最大时，求的长． 【答案】(1)如图，连接AD．∵AC2＋AB2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠CAB＝90°．∵⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BC．∴．∴．∴  (2)如图，当P为CA的延长线与⊙A的交点时，CP的长最大．∵， AB＝3，∠BAP＝180°-∠BAC＝90°，∴在Rt△ABP中，有AP2＋AB2＝BP2，即，∴   27.如图，是的切线，为切点，直线交于，两点，连接，过圆心作的平行线，分别交的延长线、及于点，，． 求证：； 若是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】证明：连接， 是的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ，， ， ，， ，， ．  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 连接，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论； 先求出，，再求出，，进而求出，利用 可得出答案． 28.在等腰中，，以为直径的分别与，相交于点，，过点作，垂足为点． 求证：是的切线； 分别延长，，相交于点，，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】证明：连接，如图所示： ，， ，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积的面积扇形的面积 ．  【解析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等． 连接，由等腰三角形的性质证出，得出，证出，即可得出结论； 证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，阴影部分的面积的面积扇形的面积，即可得出答案． 29.如图，中，点是边上一点，以为直径的与相切于点，，点为与的交点，连接． 求证：是的切线； 若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)解：连接，是的切线，.，，，，，，，，，.是半径，是的切线.  (2)，，，.  30.如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为上一点，于点，连接交于，． 求证：是的切线． 若，，求的半径． 若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 即是的切线． 解：设的半径为， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得：或不符合题意，舍去， 故的半径为． ．  【解析】【分析】 本题主要考查知识点为：切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式．证明切线的辅助线，一般为连接圆心和切点，在证明垂直．求阴影部分面积，思路是用我们已知得几何图形面积来表示阴影部分面积．熟练掌握切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式，是解决本题的关键． 连接由，可得由，可得由，可得，所以结合，，，可得所以，即是的切线． 设的半径为，所以由，可得在中，由勾股定理得，结合，可得，解得或不符合题意舍，故的半径为． 由于，，在，由勾股定理得，解得，所以的半径为由，可得可求出由于，可得所以在中，由，可得即可求出：，，故． 【解答】 解：解：，，， 在，由勾股定理得， 解得， 即的半径为， ， ， ， ， ， 在中，． ， ， ，， ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$