圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练 圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明 专项训练 考点目录 扇形的弧长与面积相关计算 以圆为背景的阴影面积的计算 切线的证明 考点一 扇形的弧长与面积相关计算 例1.(25-26九年级上江苏无锡月考)如图：四边形ABCD内接于O0,LA0C=LABC,AC=2W5,则4C的 长度是() D A.2 B智 C.2π D. 8π 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD内接于OO, .∠B+∠D=180°， .AC=AC, ∠A0C=2∠D, :∠AOC=∠ABC, .∠ABC=2∠D, :∠D+2∠D=180°， ∠D=60°， ∠A0C=2∠D=120°， :0A=0C, ∠0AC=∠0CA=30°， 如下图所示，过点O作OE⊥AC, AC=2√5， 圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练 AE=5, 设0E=x,则AO=2x, 在RtaA0E中，AE2+OE2=OA2, (5+x2=(2x)2, 解得：x=1, 0A=2x=2, =120×2w=120 4 1360 2元×2 360 37. B 故选：B. 例2.(25-26九年级上·河北石家庄·月考)如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的 底面圆的半径为() 3 3 A. 4元 B.2元 D. 3 2 【答案】C 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为？， 由题意2r 90元×3· 180 3 解得r=4 故选C 例3.(25-26九年级上·江西南昌月考)若一个圆锥的侧面积为4πcm,母线长为4cm,则该圆锥的底面圆的半径 为() 1 A.Icm B. C.2cm D. 【答案】A 【详解】圆锥侧面积公式为S侧=πrl,S侧=4π，1=4， 圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练 .4π=πr×4. 两边除以刀，得4=4r, ×r=1. 故圆锥底面圆的半径为1cm· 故选：A. 例4.(25-26九年级上山东济宁·月考)用一个圆心角为90°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面 圆的半径为 【答案】1 【详解】由题意知扇形的弧长为 2a×4-m=2 360 设圆锥的底面半径为”， 则2πr=2π， 解得r=1. 故答案为：1. 例5.(25-26九年级上·天津武清·月考)已知圆锥的侧面积是8π，母线长是3，则底面半径为 【容】号 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r, 由题意得，πr×3=8π， 解得，r=8 · 故答案为：3 8 例6.(25-26九年级上·云南怒江月考)中国扇文化底蕴深厚，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼 墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无穷.如图，当折扇展开后的扇形的圆心角为120°时，折扇的外观看上去是比较美 观的，若此扇形的半径OA=25cm,则AB的长为 _cm.(结果保留刀) 【答案】50r50 33n 【详解】解：n=120°，r=25cm, 1=nr-120xx25-50E(em）. 180 180 3 圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练 故答案为：50mr 3 例7.(24-25九年级上江苏苏州月考)草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统 草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面半径为15cm的锥形草帽.粘贴 时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠. (1)这顶锥形草帽的高为 cm,侧面积为 cm2,(结果保留刀) (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数。 【答案】(1)20,375元 (2)216° 【详解】(1)解：如图所示： Bn° 在RtaB0C中，∠B0C=90°，0C=15cm,BC=25cm, 则由勾股定理可得B0=√BC2-0C2=V252-152=20(cm): 圆锥底面圆的周长为2π×15=30m(cm), :圆锥面积为2×30×25=375cm): 故答案为：20,375π； (2)解：由(1)知侧面积为375πcm2, 设所需扇形卡纸的圆心角的度数°， .”×元×252=375元， 360 解得n=216, 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216°. 圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练 变式1.(25-26九年级上·天津武清·月考)将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底 面半径为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】解：~扇形的弧长=144° 3600×2π×5=4r, 又~圆锥底面周长=2πr, 2πr=4π， r=2. 故选：B 变式2.(25-26九年级上·北京·月考)若扇形的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为() B.2π C.3π D.6n 【答案】B 【详解】解：1=120πx3=2元 180 故该扇形的弧长为2π， 故选：B. 变式3.(25-26九年级上·河北沧州期中)如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部 分示意图如图2所示，它是0为圆心，0A,0B长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，。m，着 0A=5m,0B=3m,则扇面宣传板所对的圆心角的度数为() 官强民主文明和谐 自由平等公正法治 爱国敏业诚信友善 0 图1 图2 A.60° B.90° C.120° D.150° 【答案】C 【详解】解：设扇面宣传板所对的圆心角为°， 则S限号0D二TX5” 360,0形0c=mx32 360 16 S:面宜传板=S扇形1OD-S偏形80C= 元， 3 mx52 mx3 16 360 3603π， 圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练 解得n=120, 即扇面宣传板所对的圆心角为120°， 故选：C 变式4.(25-26九年级上甘肃张掖月考)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接OA、0C,若00的半径为3， ∠B=120°，则AC的长为 (结果保留π) B 【答案】2π 【详解】解：~四边形ABCD内接于O0,LB=120°， .∠B+∠D=180°， ∠D=180°-120°=60°， ∠A0C=2∠D=2×60°=120°， 7c的长=120rx3=2元， 180 故答案为：2π. 变式5.(25-26九年级上·江苏苏州月考)如图，小丽同学用纸板制作一个高为12cm、底面半径为5cm的圆锥 形漏斗模型（无底面），若不计接缝和损耗，则她所用纸板的面积是cm?· 【答案】65π 【详解】解：圆锥的母线长=V22+52=13cm,1=2π×5=10πcm, ∴=5lR =1×10mx13=65(cm2). 故答案为：65π. 变式6.(2024浙江绍兴模拟预测)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的 “会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA长为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD1AB,“会圆术” 6 圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练 给出☑B的长1的近似值5的计算公式：s=AB+CD,当OA=2,∠A0B=90°时，11-3 (结果保留列 OA 0 B 0 【答案】元-3 【详解】解：0A=0B=2,∠A0B=90°， ·AB=2V2, ~C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB, 延长DC可得0在DC上，0C=4B=, D B C O ∴CD=0D-0C=2-√2， 六S=AB+ CD2 -2-3 =2√2+ OA 2 又1=90x2x2r 360 l-=π-3=π-3. 故答案为：π-3. 变式7.(25-26九年级上·江西赣州月考)如图，△AB0中，0A=0B,以0为圆心的圆经过AB中点C,且分别交 OA、OB于点E、F. B (I)求证：AB是O0切线： (2)若∠B=30°，且AB=4V3,求ECF的长（结果保留π） 【答案】(1)见详解 圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练 @号 【详解】(1)证明：连接0C, 0A=OB,点C为AB的中点， 0C⊥AB, 点C在⊙0上， ·AB是O0切线. (2)解：0A=0B,∠B=30°， ∴∠B=∠A=30°， ∠E0F=120°， C为AB的中点，AB=4V5, ∴BC=2V5. 在RtA0CB中，OC2+BC2=OB2, 令0C=r,∠B=30°，则0B=2r, r2+(25=(2r2, 解得r=2, ECF=120r×2-240元-4 1801803 圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练 考点二 以圆为背景的阴影面积的计算 例1.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，在ABC中，∠A=90°，AB=AC=4.以BC的中点0为圆心的圆 弧分别与AB、AC相切于点D、E,则图中阴影部分的面积是() B A.4-π B.刀 C.π-2 D.元-3 【答案】A 【详解】解：连接OD,OE,OA,如图， B D ~以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E, OD⊥AB,OE⊥AC, ∠BAC=90°，0E=0D, 四边形OEAD为正方形， ∴.∠E0D=90°， ~AB=AC=4,O为BC的中点， :0C=0A=0B=BC,∠A0C=∠40B=90°， 2 ..CE=AE=2,AD=BD=2, ∠A0C=∠A0B=90°， 0D=0E= 4C=2, 六S能每分=S生方0D-S月50eD=2×2-元×2兰 =4-元 4 故选：A. 例2.(25-26九年级上·湖北武汉·月考)如图，以等边三角形ABC的边AB为直径作半圆交AC于点D,交BC于 点E，若等边三角形的边长为4，则图中阴影部分的面积是() 0 圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练 B. c.5+号 D. 【答案】A 【详解】解：如图，取AB的中点O,连接OD、DE、OE、AE, E ~以边长为4的等边三角形ABC的边AB为直径作半圆交AC于点D,交BC于点E, 4=∠B=∠C=60,48=8C=4C=4,0B=01=0E=0D-4B=2,0C14B, ∴△B0E和△A0D为等边三角形，OC=VBC2-OB2=V42-22=2√5， ∠B0E=∠AOD=60°，OB=BE=0A=AD ∠D0E=180°-∠B0E-∠A0D=60°，CD=CE, ∴△DOE和aCDE为等边三角形，且S.AoD≌S.oBE≌S.DEC≌S.EOD, 1 S.0D=S.OE=S.DFC=S.ODE=AC 5m4B0c-4x25=45. 2 SNOSDE=6 2xx2=2, 360 3 调影部分面积=5c-Soe+SaE.c)片Sa.n） 2 4 )×45-2x+2-x 1 3 4 (3π-×4V5 4 2 3 故选：A. 例3.(25-26九年级上山西忻州·月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接CD,O为CD 的中点，以点O为圆心，0C的长为半径作O0,交AC于点E,若∠BAC=30°，AC=6,则图中阴影部分的面积 10圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明专项训练 圆：扇形的弧长与面积相关计算、以圆为背景的阴影面积的计算、切线的证明 专项训练 考点目录 扇形的弧长与面积相关计算 以圆为背景的阴影面积的计算 切线的证明 考点一 扇形的弧长与面积相关计算 例1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图：四边形内接于，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·江西南昌·月考）若一个圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·山东济宁·月考）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ． 例5．（25-26九年级上·天津武清·月考）已知圆锥的侧面积是，母线长是3，则底面半径为 ． 例6．（25-26九年级上·云南怒江·月考）中国扇文化底蕴深厚，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无穷．如图，当折扇展开后的扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则的长为 ．（结果保留） 例7．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 变式1．（25-26九年级上·天津武清·月考）将半径为5，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 变式2．（25-26九年级上·北京·月考）若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，四边形内接于，连接、，若的半径为3，，则的长为 ．（结果保留） 变式5．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，小丽同学用纸板制作一个高为 、底面半径为 的圆锥形漏斗模型 (无底面)，若不计接缝和损耗，则她所用纸板的面积是 ． 变式6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留) 变式7．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，中，，以为圆心的圆经过中点，且分别交、于点、． (1)求证：是切线； (2)若，且，求的长（结果保留） 考点二 以圆为背景的阴影面积的计算 例1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，．以的中点为圆心的圆弧分别与相切于点、，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，以等边三角形的边为直径作半圆交于点，交于点，若等边三角形的边长为4，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·山西忻州·月考）如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）． 例5．（2025·吉林·三模）如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分图形的面积是 ． 例6．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在正六边形中，以点为圆心，长为半径画弧，连结、．若，则图中阴影部分的面积是 ． 例7．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，为的直径，为上一点，交于点，且垂直于过点的直线，垂足为，且平分． (1)若的半径为，，求线段的长； (2)在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积． 变式1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（   ） A． B． C．1 D．2 变式3．（2025·山西临汾·二模）如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·陕西商洛·月考）如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 变式5．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在扇形AOB中，，半径，点是AO的中点过点作交于点，过点作，垂足为点．图中阴影部分的面积是 ． 变式6．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，为的直径，交于点，点是弧的中点，连接．若，，则阴影部分的面积是 ． 变式7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，AB是直径，点C，D在圆上，． (1)求证：． (2)若，． ①求AD的长． ②求阴影部分的面积（结果保留） 考点三 切线的证明 例1．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 例2．（25-26九年级上·北京西城·月考）如图，在中，，为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 例3．（25-26九年级上·山东济宁·月考）在中，，以为直径作交于点D，过点D作垂直，垂足为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径的长． 例4．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，点在上，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 例5．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，是的直径，点是延长线上一点，点在上，连接，，，． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点作，交于点．若点是的中点，且，求的半径． 变式1．（25-26九年级上·广东惠州·月考）如图，为的直径，四边形是圆内接四边形，点、点在上，，交延长线于点，连接，且． (1)证明：为的切线； (2)若，求的长． 变式2．（25-26九年级上·北京大兴·月考）如图，在等腰三角形中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 变式3．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E． (1)求证：直线是的切线 (2)若，的半径为5，求的长． 变式4．（25-26九年级上·内蒙古通辽·月考）如图，在以为直径的中，点为上一点，连接，，延长至点、使得、过点作交的延长线于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)若点是的中点，，求的长． 变式5．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是的直径，是弦，是弧的中点，与交于点，是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $