第24章《圆》第10课时 正多边形和圆 暑假预习课- 2025-2026学年人教版九年级上册数学

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第10课时正多边形和圆 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 正多边形和圆 (1)各边相等，各角也相等的多边形是正多边形； (2)正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距； (3)正n边形的一个内角度数为，一个外角为， 一个中心角为. 知识点1：正多边形与圆的相关计算 【例1】填空： 正多边形 每个内 角度数 每个外 角度数 中心角度数 半径 边长 边心距 周长 面积 知识点2：圆内接正多边形的尺规作图 【例2】如图，已知⊙O的半径是5. (1)作⊙O的内接正方形ABCD(尺规作图，不写作法)； (2)正方形ABCD的边长是　 　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为(    ) A. 两角互余 B. 两角互补 C. 两角互余或互补 D. 不能确定 2.如图，正六边形内接于，连接，已知，则圆的半径是(    ) A. B. C. D. 3.半径为的圆内接正十二边形的面积为(    ) A. B. C. D. 4.若正方形的边长为，则其外接圆的半径为(    ) A. B. C. D. 5.如图，正六边形内接于，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 7.若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的中心角为(    ) A. B. C. D. 8.如图，正六边形内接于，连接则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，等边三角形和正方形都内接于，则等于  (    ) A. B. C. D. 10.如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 无法确定 二、填空题： 11.分别求半径为的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积直接写出结果 边长 边心距 周长 面积 圆内接正三角形                                                    圆内接正方形                                                     圆内接正六边形                                                     12.一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是          ． 13.已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是          ． 14.圆内接正六边形的边长为，它的边心距等于          ． 15.中心角为的正多边形边数为          ． 16.如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为          ． 17.如图，点是正五边形的中心，则的度数为          ． 18.如图，正方形的外接圆的半径为，则它的内切圆的半径为          ． 19.如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是          ． 20.如图，五边形是的内接正五边形，直线与相切于点，则 ______ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积   22.尺规作图：已知，求作：的内接正方形要求：不写作法，保留作图痕迹． 23.如图，已知五边形是正五边形，连接、证明：． 24.如图，正方形内接于，，求证：． 25.如图，在圆内接正八边形中，的面积为求正八边形的面积． 26.如图，在正六边形中，是的中点，点在上，且，，求的度数． 27.如图，已知内接正六边形的边长为，求这个正六边形的边心距、面积． 28.如图，正方形的外接圆为，点在劣弧上不与点重合． 求的度数； 若的半径为，求正方形的边长． 29.如图，正方形的外接圆为，点在劣弧上不与点重合． 求的度数； 若的半径为，求正方形的边长． 30.如图，正五边形中，对角线与交于点． 求的度数； 求证：四边形为菱形； 求四边形的面积与的面积比． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第10课时正多边形和圆 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 正多边形和圆 (1)各边相等，各角也相等的多边形是正多边形； (2)正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距； (3)正n边形的一个内角度数为，一个外角为， 一个中心角为. 知识点1：正多边形与圆的相关计算 【例1】填空： 正多边形 每个内 角度数 每个外 角度数 中心角度数 半径 边长 边心距 周长 面积 60° 120° 120° 2 1 90° 90° 90° 2 8 120° 60° 60° 2 2 12 知识点2：圆内接正多边形的尺规作图 【例2】如图，已知⊙O的半径是5. (1)作⊙O的内接正方形ABCD(尺规作图，不写作法)； (2)正方形ABCD的边长是　5　. 解：(1)如答图1－24－47－1，正方形ABCD即为所作.　　 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为(    ) A. 两角互余 B. 两角互补 C. 两角互余或互补 D. 不能确定 【答案】B  2.如图，正六边形内接于，连接，已知，则圆的半径是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.半径为的圆内接正十二边形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  4.若正方形的边长为，则其外接圆的半径为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  5.如图，正六边形内接于，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  6.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  7.若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的中心角为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  8.如图，正六边形内接于，连接则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：在正六边形中， ，， ， 故选：． 根据正六边形的内角和求得，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键． 9.如图，等边三角形和正方形都内接于，则等于  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  10.如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】B  二、填空题： 11.分别求半径为的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积直接写出结果 边长 边心距 周长 面积 圆内接正三角形                                                    圆内接正方形                                                     圆内接正六边形                                                     【答案】   12.一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是          ． 【答案】  13.已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是          ． 【答案】六  14.圆内接正六边形的边长为，它的边心距等于          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是正多边形与圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键． 根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理直接计算即可． 【解答】 解：如图所示，连接、，过作于， 此多边形是正六边形， 是等边三角形， ， ，， 根据勾股定理可得：边心距， 故答案为：． 15.中心角为的正多边形边数为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正多边形的计算，掌握多边形中心角的度数与边数之间的关系是解题关键． 由一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是度，用度除以中心角的度数，即可得出正多边形的边数． 【解答】 解：由题意可得： 边数为， 则它的边数是． 故答案为． 16.如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为          ． 【答案】  17.如图，点是正五边形的中心，则的度数为          ． 【答案】  18.如图，正方形的外接圆的半径为，则它的内切圆的半径为          ． 【答案】  19.如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是          ． 【答案】  20.如图，五边形是的内接正五边形，直线与相切于点，则 ______ 【答案】  【解析】解：连接，， ， ， ， 直线与相切于点， ， ． 故答案为：． 连接，，多边形是正五边形，可求出的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键． 本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线的性质定理等知识点，正确进行计算是解题关键． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 【答案】 正多边 形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积   22.尺规作图：已知，求作：的内接正方形要求：不写作法，保留作图痕迹． 【答案】解：如图 正方形即为所求作的图形．  【解析】根据垂径定理即可作的内接正方形． 本题考查了作图复杂作图、正方形的性质、正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的关系． 23.如图，已知五边形是正五边形，连接、证明：． 【答案】证明：正五边形中， ，， 在和中， ， ≌， ， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.如图，正方形内接于，，求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ， ， ， ，即， ．  【解析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可． 本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键． 25.如图，在圆内接正八边形中，的面积为求正八边形的面积． 【答案】  26.如图，在正六边形中，是的中点，点在上，且，，求的度数． 【答案】解：正六边形， ，， 点是的中点， ， 在与中， ，， ， 又， ∽， ，， ， ， ．  【解析】根据正六边形的性质，相似三角形的判定和性质以及平角的定义进行计算即可． 本题考查正多边形和圆，相似三角形以及平角，掌握正六边形的性质，相似三角形的判定和性质以及平角定义是正确解答的关键． 27.如图，已知内接正六边形的边长为，求这个正六边形的边心距、面积． 【答案】解：连接，于， ，， 是等边三角形， ， 即， ，， ， 在中，，   【解析】连接，于，易得是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径，然后由勾股定理求得边心距，又由求得答案． 此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 28.如图，正方形的外接圆为，点在劣弧上不与点重合． 求的度数； 若的半径为，求正方形的边长． 【答案】解：连接，， 四边形为正方形， ， ； 过点作于点， ，， ， ， ， ． 解法二：如图，连接． 四边形是正方形， ，， ， ．  【解析】连接，，由正方形的性质知，是等腰直角三角形，根据，由圆周角定理可以求出； 过点作于点，由等腰直角三角形的性质可知，由垂径定理可知，故可得出结论． 本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键． 29.如图，正方形的外接圆为，点在劣弧上不与点重合． 求的度数； 若的半径为，求正方形的边长． 【答案】(1)解：连接，    由题意得：， ∴；   (2)由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：．   【解析】  本题考查圆与正多边形，圆周角定理： 连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可；   勾股定理求出的长即可． 30.如图，正五边形中，对角线与交于点． 求的度数； 求证：四边形为菱形； 求四边形的面积与的面积比． 【答案】；   见解析；  ．  【解析】解：是正五边形， 每一个内角度数为：， ， ， ， ； 由可得：， ， ， 同理可求， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形； 四边形为菱形， ， ， 由知：， ， ， ， ∽， ：：， 设，则：：， 解得：或舍去， ， ， ，， ， 设与间的距离为， ， ． 先求出正五边形每一个内角度数，结合求出即可求解； 先根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，结合即可求解； 证∽可得：：，设，则：：，解得：；根据：可得，根据：可得，即可求解． 本题考查了正多边形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相关结论是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$