第24章《圆》第12课时扇形面积 暑假预习课 2025--2026学年人教版九年级数学上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第12课时扇形面积 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 已知⊙O的半径为R. 图形 圆心角 360° 180° 90° 1° n° 扇形面积 πR2 ·πR2(可看作的圆的面积) ·πR2(可看作的圆的面积) ·πR2(可看作的圆的面积) ·πR2(可看作的圆的面积) 半径为R，圆心角为n°的扇形面积公式为S扇形＝. ∵l＝，∴S＝·πR2＝··R＝lR. ∴扇形的面积也可以记为S扇形＝lR. 知识点1：已知半径和圆心角，求扇形面积 【例1】若扇形的圆心角为120°，半径长为2，则该扇形的面积是　　　　　　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　 变式练习1. 已知扇形的圆心角为60°，半径为3 cm，则这个扇形的面积为　　　　　　　　　cm2.　　 知识点2：已知弧长和半径，求扇形面积 【例2】一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为( ) A. 4π B. 6π C. 8π D. 12π 变式练习2. 已知扇形的半径长为4，所对的弧长为，则此扇形的面积是　　　　　　　　　.　　　　　　 知识点3：扇形面积公式的变形 【例3】已知扇形所在的圆的半径为6 cm，扇形的面积为6π cm2，则该扇形的圆心角的度数为　　　　. 变式练习3. 扇形的弧长为20π cm，面积为120π cm2，那么这个扇形的半径是( ) A. 6 cm B. 12 cm C. 24 cm D. 28 cm　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点4：已知圆心角和弧长，求扇形面积 【例4】一个扇形的圆心角为120°，扇形的弧长等于4π，则该扇形的面积为( ) A.2π B.π C.12π D.24π 变式练习4. 一个扇形的圆心角是60°，扇形的弧长是2π，则该扇形的面积是( ) A.2π B.4π C.6π D.8π　　　　　　　　　 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在▱中，，的半径为，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 3.一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是(    ) A. B. C. D. 4.如图所示，边长为的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 5.如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 6.如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，点在以为直径的半圆上，为圆心．若，，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 8.一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为(    ) A. B. C. D. 9.如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是(    ) A. B. C. D. 10.若一个扇形的半径是，圆心角为，则此扇形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，在中，，，，为的中点，以点为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积为          ． 12.如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为          结果保留与根号 13.如图，点，分别是半圆上的三等分点若阴影部分的面积是，则半圆的半径的长为          ． 14.如图，为半圆的直径，，半圆绕的中点顺时针旋转，直径与交于点，连接，则图中阴影部分的面积为          ． 15.如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是          ． 16.如图，在中，，是边上的点，，以为直径的与相切于点若弧的长为，则阴影部分的面积______保留 17.如图，已知半圆的直径，点在半圆上，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接若，则图中阴影部分的面积为______结果不取近似值 18.如图，等边三角形的边长为，以为圆心，为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为______． 19.如图，正三角形的边长为，，，分别为，，的中点，分别以，，三点为圆心、为半径作圆，则图中阴影部分的面积为          ． 20.若一个扇形的圆心角为，面积为，则这个扇形的半径为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，是的直径，弦于，，，求阴影部分的面积． 22.如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点，连接，若， 求的半径； 求图中阴影部分的面积． 23.如图，扇形的圆心角是，半径长为，以为直径在扇形内部画半圆，求图中阴影部分的周长和面积结果保留 24.如图，是的直径，，是上两点，平分，交的延长线于点． 求证：是的切线； 若，求图中阴影部分的面积． 25.如图，在中，，，以为直径的与边交于点． 判断直线与的位置关系，并说明理由． 若，求图中阴影部分的面积． 26.如图，已知等腰中，，以为直径的与底边交于点，过点作，垂足为，连接． 求证：为的切线； 若，求图中阴影部分的面积． 27.如图，内接于，为的直径，于点，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为，延长交的延长线干点． 求证：是的切线 若，，求图中阴影部分的面积． 28.如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点，的延长线交的延长线于点． 求证：是的切线； 若，，求图中阴影部分的面积． 29.如图，直线经过上的点，直线交点，交于点，连接交于点，连接，若点是的中点，平分． 求证：是的切线； ，，求图中阴影部分面积． 30.如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点点为边的中点，连接并延长交的延长线于点． 求证：直线是的切线； 若，，求阴影部分的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第24章《圆》第12课时扇形面积 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 已知⊙O的半径为R. 图形 圆心角 360° 180° 90° 1° n° 扇形面积 πR2 ·πR2(可看作的圆的面积) ·πR2(可看作的圆的面积) ·πR2(可看作的圆的面积) ·πR2(可看作的圆的面积) 半径为R，圆心角为n°的扇形面积公式为S扇形＝. ∵l＝，∴S＝·πR2＝··R＝lR. ∴扇形的面积也可以记为S扇形＝lR. 知识点1：已知半径和圆心角，求扇形面积 【例1】若扇形的圆心角为120°，半径长为2，则该扇形的面积是　π　.　　　　　　　　　　　　　　　　 变式练习1. 已知扇形的圆心角为60°，半径为3 cm，则这个扇形的面积为　π　cm2.　　 知识点2：已知弧长和半径，求扇形面积 【例2】一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为( C ) A. 4π B. 6π C. 8π D. 12π 变式练习2. 已知扇形的半径长为4，所对的弧长为，则此扇形的面积是　　.　　　　　　 知识点3：扇形面积公式的变形 【例3】已知扇形所在的圆的半径为6 cm，扇形的面积为6π cm2，则该扇形的圆心角的度数为　60°　. 变式练习3. 扇形的弧长为20π cm，面积为120π cm2，那么这个扇形的半径是( B ) A. 6 cm B. 12 cm C. 24 cm D. 28 cm　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点4：已知圆心角和弧长，求扇形面积 【例4】一个扇形的圆心角为120°，扇形的弧长等于4π，则该扇形的面积为( C ) A.2π B.π C.12π D.24π 变式练习4. 一个扇形的圆心角是60°，扇形的弧长是2π，则该扇形的面积是( C ) A.2π B.4π C.6π D.8π　　　　　　　　　 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】 解：扇形的面积是：． 2.如图，在▱中，，的半径为，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，扇形面积的计算，先根据平行四边形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【解答】解： 在▱中，，． 的半径为，． 故选C． 3.一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  4.如图所示，边长为的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，设与交于点，中点。 ，， ， 同理，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积 ， 故选：． 根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 5.如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键． 由半圆面积扇形的面积空白处半圆的面积即可得出阴影部分的面积． 【解答】 解：半圆，绕点顺时针旋转， ， 故选D． 6.如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了旋转的基本性质，扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或其中为扇形的弧长；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 利用旋转的性质得到，的面积的面积，则阴影部分的面积等于扇形的面积，然后根据扇形的面积公式计算． 【解答】 解：绕点逆时针旋转得到， ，的面积等于的面积， ． 故选A． 7.如图，点在以为直径的半圆上，为圆心．若，，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  8.一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  9.如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  10.若一个扇形的半径是，圆心角为，则此扇形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  二、填空题： 11.如图，在中，，，，为的中点，以点为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  12.如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为          结果保留与根号 【答案】  13.如图，点，分别是半圆上的三等分点若阴影部分的面积是，则半圆的半径的长为          ． 【答案】  14.如图，为半圆的直径，，半圆绕的中点顺时针旋转，直径与交于点，连接，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  15.如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是          ． 【答案】  16.如图，在中，，是边上的点，，以为直径的与相切于点若弧的长为，则阴影部分的面积______保留 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质，弧长的计算和扇形面积的计算，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，得垂直． 首先由弧长公式求得；然后利用直角得到线段的长度，易得与的长度；最后根据解答． 【解答】 解：如图，连接， 以为直径的与相切于点， ． 设， ，弧的长为， ， ． ，． ，． ． ． ． 故答案是． 17.如图，已知半圆的直径，点在半圆上，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接若，则图中阴影部分的面积为______结果不取近似值 【答案】  【解析】解：是直径， ， ， ， ，， ， ， 扇形的面积， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 根据特殊角求出和，再算出的面积，根据扇形面积公式求出扇形的面积，再用三角形的面积减去扇形面积即可． 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，圆和扇形面积的结合，关键在于利用圆周角的性质找到直角三角形并结合扇形面积公式解出． 18.如图，等边三角形的边长为，以为圆心，为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为______． 【答案】  【解析】解：过作于，于， 等边三角形的边长为，， ， ， ，， ，， ，， 图中阴影部分的面积， 故答案为：． 过作于，于，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论． 本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 19.如图，正三角形的边长为，，，分别为，，的中点，分别以，，三点为圆心、为半径作圆，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  20.若一个扇形的圆心角为，面积为，则这个扇形的半径为          ． 【答案】  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，是的直径，弦于，，，求阴影部分的面积． 【答案】解：连接，，，  故，扇形，  又，，，  故，即阴影部分的面积为．  22.如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点，连接，若， 求的半径； 求图中阴影部分的面积． 【答案】解：弦垂直平分半径，， ，， ， ， 解得：， 的半径 解：如图，连接， ，， ， ，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 23.如图，扇形的圆心角是，半径长为，以为直径在扇形内部画半圆，求图中阴影部分的周长和面积结果保留 【答案】，．  【解析】解：阴影部分的周长为， 面积为 根据弧长公式及扇形面积公式，结合图形求解即可． 本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握弧长公式和扇形的面积公式． 24.如图，是的直径，，是上两点，平分，交的延长线于点． 求证：是的切线； 若，求图中阴影部分的面积． 【答案】见解析；  ．  【解析】证明：连接，则， ， 平分， ， ， ， 交的延长线于点， ， 是的半径，且于点， 是的切线； 解：连接，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，是等边三角形， ，， ，， ， ， ，， ， 图中阴影部分的面积． 连接，则，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据切线的判定定理得到是的切线； 连接，，，根据角平分线的定义得到，求得，根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算，角平分线的定义，正确的添加辅助线是解题的关键． 25.如图，在中，，，以为直径的与边交于点． 判断直线与的位置关系，并说明理由． 若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)解：直线AC与⊙O相切．  理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°，  又AB为直径，∴直线AC与⊙O相切．  (2)连结OM，∵∠ABC＝45°，∠AOM＝2∠ABC＝90°，∴∠BOM＝90°．∵AB＝4，∴OA＝2， ，， ，S阴影＝8-2-π＝6-π．  26.如图，已知等腰中，，以为直径的与底边交于点，过点作，垂足为，连接． 求证：为的切线； 若，求图中阴影部分的面积． 【答案】证明：如图，连接， 是的直径，点在圆上， ， 即， ， ， 又， 是的中位线， ， ， ， 又是半径， 是的切线； 解：，， ，， ， ， ， 又， 是等边三角形，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 27.如图，内接于，为的直径，于点，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为，延长交的延长线干点． 求证：是的切线 若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】证明：连接，如图 ， ， ， ， 将沿所在的直线翻折，得到， ，， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：，， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积面积．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 28.如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点，的延长线交的延长线于点． 求证：是的切线； 若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】见解析；  ．  【解析】证明：连接． ， ． 由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 解：连接过点作于点． ， ， ， ， 又， ，． ，， ， ． ． 连接，由点是的中点，得到，根据圆周角定理得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； 连接过点作于点，先证明是等边三角形，，从而求得，即可由求解． 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积．正确地作出辅助线是解题的关键． 29.如图，直线经过上的点，直线交点，交于点，连接交于点，连接，若点是的中点，平分． 求证：是的切线； ，，求图中阴影部分面积． 【答案】证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ，， 阴影部分面积扇形的面积的面积， 阴影部分面积为．  【解析】连接，根据垂径定理可得，从而可得，再利用角平分线的性质和圆周角定理可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答； 利用等腰三角形的性质，再结合的结论可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用垂径定理可求出的长，然后利用的结论可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，最后根据阴影部分面积扇形的面积的面积，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，切线的判定，扇形面积的计算，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握切线的判定，以及垂径定理是解题的关键． 30.如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点点为边的中点，连接并延长交的延长线于点． 求证：直线是的切线； 若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接OD，CD． ​​​​​​​ ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC． 又∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=∠ADC=90°， ∴△ACD是直角三角形． 又∵E是AC的中点， ∴EC=ED， ∴∠ECD=∠EDC． 又∵∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°， ∴∠EDC+∠ODC=∠ODE=90°， ∴直线DE是⊙O的切线．  (2)解：由（1）可知∠ODF=90°． ∵∠B=30°， ∴∠DOF=60°， ∴∠F=30°． 在Rt△ABC中，AC=4，∠B=30°， ∴AB=8， ∴BC==， ∴OD=， 在Rt△ODF中，∠F=30°， ∴OF=2OD=， ∴DF==6， ∴阴影部分的面积为××6-=.  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$