第22章二次函数第16课时二次函数与线段最值问题 暑假预习课-2025-2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第16课时二次函数与线段最值问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 本课时涉及知识点分类：平面直角坐标系中的线段有如下三种位置关系： 若AB∥x轴 若AB∥y轴 若AB不平行于x轴 、y轴 则 则 模型总条件 分类分析 抛物线与轴交与，，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点，连接． 类型一  横竖线最值 如图，轴交于点求的最大值． 解： 类型二  斜线最值 条件：，，作轴交于点． 结论：． 如图，于点求的最大值． 解： 1.如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． 求抛物线的解析式； 点为抛物线与轴的交点；设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 2.如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点． 求这个二次函数的表达式； 若是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，轴于点，与交于点，连接求线段的最大值． 3.如图，平面直角坐标系中，，，连结和，抛物线经过点． 求的值和直线的解析式； 若为抛物线上位于第一象限的一个动点，过作轴的垂线，交折线段于当点在线段上时，求的最大值． 4.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为点． 求抛物线的解析式； 已知点是第二象限内抛物线上一动点，过点作平行于轴，交直线于点，求线段的最大值；  5.如图，直线与抛物线交于点，． 点是线段上的动点，轴，在抛物线上，若点的横坐标为，请用含的代数式表示的长； 求的最大值． 6.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点若点在线段上，求线段的最大值． 7.如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，． 若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； 点为上一动点，过作轴垂线交抛物线于点点在第二象限，求线段长度最大值． 8.如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． 求点的坐标； 求二次函数的解析式； 已知为抛物线与轴的交点，设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 9.如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，对称轴为直线． 求二次函数的解析式； 点是线段上一点，轴，与抛物线交于点，当线段取得最大值时，求点的坐标． 10.如图，抛物线交 轴于，两点点在的右边，与轴交于点，连接，点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点． 求、两点坐标； 过点作，垂足为点，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ 11.如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，直线经过，两点，点的坐标为，点是第一象限抛物线上的一个动点，于点，设点的横坐标为． 求抛物线的函数表达式； 求线段的最大值，并求此时的值；  12.如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． 求抛物线的表达式； 过点作，垂足为点设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少此时的值是多少 13.如图，抛物线过原点和点，矩形的边在线段上点在点的左边，点，在抛物线上．设，当时，． 求抛物线的函数表达式．    当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？    第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第16课时二次函数与线段最值问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 本课时涉及知识点分类：平面直角坐标系中的线段有如下三种位置关系： 若AB∥x轴 若AB∥y轴 若AB不平行于x轴 、y轴 则 则 模型总条件 分类分析 抛物线与轴交与，，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点，连接． 类型一  横竖线最值 如图，轴交于点求的最大值． 类型二  斜线最值 条件：，，作轴交于点． 结论：． 如图，于点求的最大值． 【答案】(1)解：由可得，，. 设.则， ， 当时，.   (2)解：过点作轴交于点.由可得，， ，，，. 设，同上得，.   1.如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． 求抛物线的解析式； 点为抛物线与轴的交点；设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】解：抛物线的对称轴为直线， 又点与在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 设点坐标为，， 则点坐标为， ， 当时，线段的长度有最大值．  【解析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质和二次函数的最值，以及三角形面积． 因为抛物线的对称轴为直线，点与在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； 先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 2.如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点． 求这个二次函数的表达式； 若是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，轴于点，与交于点，连接求线段的最大值． 【答案】解：将，，代入函数的解析式，得， ，解得， 这个二次函数的表达式． 设的解析式为， 将，的坐标代入函数解析式，得， ，解得 的解析式为． 设，， 则， 当时，．  【解析】本题考查了二次函数综合题，解的关键是利用待定系数法求函数解析式，解的关键是利用平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质； 根据待定系数法，可得答案； 根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 3.如图，平面直角坐标系中，，，连结和，抛物线经过点． 求的值和直线的解析式； 若为抛物线上位于第一象限的一个动点，过作轴的垂线，交折线段于当点在线段上时，求的最大值． 【答案】解：把代入抛物线中得：， 解得， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为； 设，则， ， 由可知，当时，有最大值为．  【解析】把代入抛物线抛物线中，即可解出可得的值，然后设直线的解析式为，可把，代入利用待定系数法即可求得直线的解析式； 设点的坐标，并表示点的坐标，根据垂直高度表示的长，并配方可得的最大值． 此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的解析式．解题的关键是表示线段的长度． 4.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为点． 求抛物线的解析式； 已知点是第二象限内抛物线上一动点，过点作平行于轴，交直线于点，求线段的最大值； 【答案】(1)解：在y＝x＋3中，令x＝0，得y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，得x＝－3， ∴A（－3，0）． 将A（－3，0），B（0，3）代入y＝－x2＋bx＋c中， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；   (2)如解图①，∵点P在第二象限内抛物线上， ∴设点P的坐标为（p，－p2－2p＋3）（－3＜p＜0）， 由（1）得直线AB的解析式为y＝x＋3， 则P′（p，p＋3）， ∴PP′＝－p2－2p＋3－（p＋3）＝－p2－3p， ∵－1＜0，－3＜p＜0， ∴当时，线段 PP′有最大值；   5.如图，直线与抛物线交于点，． 点是线段上的动点，轴，在抛物线上，若点的横坐标为，请用含的代数式表示的长； 求的最大值． 【答案】解：点坐标为，点坐标为， ． ． ， 当时，取最大值为．   6.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点若点在线段上，求线段的最大值． 【答案】解：由可得，， 点与点关于轴对称， ， 设直线：，将点代入， 可得，解得， 直线：， ， ，， 点在线段上， 点在轴下方， ， ， 当时，有最大值，最大值为．   7.如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，． 若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； 点为上一动点，过作轴垂线交抛物线于点点在第二象限，求线段长度最大值． 【答案】解：依题意得： ， 解之得：， 抛物线解析式为， 对称轴为直线，且抛物线经过， ， 把，分别代入直线， 得， 解之得：， 直线的解析式为； 设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小． 把代入直线得，， ， 即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为； 设，此时， ． 当时，取最大值．  【解析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数二次函数和一次函数的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 先把点，的坐标分别代入抛物线解析式得到和，的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得和的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出，，的值即可得到抛物线解析式；把、两点的坐标代入直线，解方程组求出和的值即可得到直线解析式； 设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小．把代入直线得的值，即可求出点坐标； 设，此时，利用两点间的距离公式列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值． 8.如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． 求点的坐标； 求二次函数的解析式； 已知为抛物线与轴的交点，设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点， 、两点关于直线对称， 点的坐标为， 点的坐标为； 抛物线的对称轴为直线， ，解得， 将代入， 得，解得， 则二次函数的解析式为； 设直线的解析式为，将，代入 得 ， ， 即直线的解析式为； 设点坐标为， 则点坐标为， ， 当 时，有最大值．  【解析】利用抛物线的对称性求出点的坐标； 利用待定系数法求出抛物线解析式； 先求出直线的解析式，进而设出点的坐标，进而表示出的坐标，得出，即可得出结论． 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，建立与点的横坐标之间的函数关系式是解本题的关键． 9.如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，对称轴为直线． 求二次函数的解析式； 点是线段上一点，轴，与抛物线交于点，当线段取得最大值时，求点的坐标． 【答案】解：函数的对称轴为， ， 将代入解析式得：， ， 二次函数的解析式为； 当时，， ， 设直线的解析式为，则 ， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为，此时  【解析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值． 根据对称轴确定，再将点代入求解即可； 待定系数法求直线的解析式，设，则，表示出，根据二次函数的性质判断即可． 10.如图，抛物线交 轴于，两点点在的右边，与轴交于点，连接，点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点． 求、两点坐标； 过点作，垂足为点，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ 【答案】解：当，，解得，， ，， ， 的解析式为：， 设点，则点， ， ， ， ， ， 有最大值， 当时，的最大值为． 【解析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，最后一问分类讨论是解本题的关键． 由二次函数交点式表达式，即可求解． 由即可求解． 11.如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，直线经过，两点，点的坐标为，点是第一象限抛物线上的一个动点，于点，设点的横坐标为． 求抛物线的函数表达式； 求线段的最大值，并求此时的值； 【答案】(1)解：当x＝0时，y＝4， ∴点C的坐标为（0，4）， 将C（0，4）代入y＝－x＋k中，得k＝4， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4， 当y＝0时，－x＋4＝0， ∴x＝4，∴点B的坐标为（4，0）， 将A（－2，0），B（4，0）代入y＝ax2＋bx＋4中， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为；   (2)∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°， 如解图，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F， ∴PE // OC， ∴∠PFQ＝∠OCB＝45°， ∵∠PQF＝90°， ∴， ∵点P的横坐标为n， ∴， F（n，－n＋4）， ∴， ∴， ∵且点 P在第一象限的抛物线上， ∴当n＝2时，线段PQ有最大值， ∴；   12.如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． 求抛物线的表达式； 过点作，垂足为点设点的坐标为 ，请用含的代数式表示线段的长，并求 出当为何值时有最大值，最大值是多少此时 的值是多少 【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为：； 解：当时，，则， 设直线的表达式为， 将代入，得，则， 直线的表达式为， 由题意，，，， ，， 当时，取得最大值，最大值为 此时，， ， ，，即， 【解析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、解直角三角形、二次函数的性质、等腰三角形的性质、两点间的距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，数形结合和分类讨论思想的运用是解答的关键． 将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解； 先求出的函数解析式，表示出，的坐标，表示出，求出其最值，得出的值，再根据，即可求解； 13.如图，抛物线过原点和点，矩形的边在线段上点在点的左边，点，在抛物线上．设，当时，． 求抛物线的函数表达式．    当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？    【答案】解：设抛物线解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点坐标代入解析式得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 由抛物线的对称性得， ， 当时，， 矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为； 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$