第二十二章 二次函数（单元测试·提升卷）数学人教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十二章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若二次函数的图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D．5 3．若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 6．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象与轴的一个交点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 7．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．抛物线经过，两点，且，则下列结论错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B． C．抛物线与x轴有2个交点 D．若为抛物线上任意一点，则 9．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．若小球刚接触弹簧时的速度，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为 D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 10．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于x的方程一定有两个不相等的实数根； ⑤． 其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将化成的形式为 ． 12．若是关于的二次函数，则的值为 ． 13．已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则 ． 14．经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 15．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 16．已知抛物线与x轴负半轴交于点A，且经过，． （1）n的值为 ． （2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且，则点P的坐标为 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)求该二次函数的与轴的交点坐标． 18．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 19．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 20．在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 21．第九届亚洲冬季运动会于年月日日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天的销售量将增加个．设每个吉祥物降价元（为整数），每天的销售量为个． (1)写出与之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为元，求出与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 22．二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”． ①求这个函数“倍值点”的坐标； ②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 23．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 24．已知抛物线与轴交于两点（点位于点左侧），与轴交于点．    (1)求直线的解析式； (2)将抛物线进行平移得到抛物线，抛物线的顶点为． （i）如图1，若点是抛物线的对称轴与直线的交点，求抛物线的解析式； （ii）如图2，若点为直线上方抛物线上任意一点，抛物线与轴交于点，作轴交于点，若，求的值． 25．如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十二章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若二次函数的图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D．5 3．若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 6．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象与轴的一个交点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 7．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．抛物线经过，两点，且，则下列结论错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B． C．抛物线与x轴有2个交点 D．若为抛物线上任意一点，则 9．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．若小球刚接触弹簧时的速度，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为 D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 10．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于x的方程一定有两个不相等的实数根； ⑤． 其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将化成的形式为 ． 12．若是关于的二次函数，则的值为 ． 13．已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则 ． 14．经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 15．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 16．已知抛物线与x轴负半轴交于点A，且经过，． （1）n的值为 ． （2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且，则点P的坐标为 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)求该二次函数的与轴的交点坐标． 18．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 19．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 20．在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 21．第九届亚洲冬季运动会于年月日日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天的销售量将增加个．设每个吉祥物降价元（为整数），每天的销售量为个． (1)写出与之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为元，求出与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 22．二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”． ①求这个函数“倍值点”的坐标； ②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 23．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 24．已知抛物线与轴交于两点（点位于点左侧），与轴交于点．    (1)求直线的解析式； (2)将抛物线进行平移得到抛物线，抛物线的顶点为． （i）如图1，若点是抛物线的对称轴与直线的交点，求抛物线的解析式； （ii）如图2，若点为直线上方抛物线上任意一点，抛物线与轴交于点，作轴交于点，若，求的值． 25．如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十二章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练的掌握二次函数的定义是解题的关键． 先把关系式整理成二次函数的一般形式，再根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：①是二次函数；②不是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数． 综上，二次函数有①③，共2个． 故选B． 2．若二次函数的图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，掌握整体思想的利用是解题的关键． 将代入得到，那么再将变形为，整体代入即可求值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，即可得出答案． 【详解】对于二次函数，其二次项系数， ∴该函数图象开口向上， 对称轴为， ∴点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， 点就在对称轴上，到对称轴距离为， ∵二次函数图象开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大 ，且， ∴． 故选：D． 4．已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式及一元二次方程根的判别式．根据二次函数的性质得出顶点坐标，再根据一元二次方程无实根得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 又关于的一元二次方程无实数根， ， 解得：， ， 抛物线的顶点所在象限是第一象限． 故选：A． 5．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴的交点问题，先得出，再结合二次函数的图象与轴有交点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 故选：D． 6．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象与轴的一个交点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，先利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可得， ，解得：， ∴二次函数解析式为， 、∵， ∴图象的开口向上，不符合题意； 、当时，， 解得：，， ∴图象与轴的一个交点坐标为，符合题意； 、图象的对称轴是直线，不符合题意； 、∵，图象的开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 故选：． 7．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数得性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 8．抛物线经过，两点，且，则下列结论错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B． C．抛物线与x轴有2个交点 D．若为抛物线上任意一点，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数的图象与性质的相关知识． 根据二次函数解析式的二次项系数的符号，可以判断A； 将，两点的横坐标代入抛物线解析式中，结合，得到关于的不等式求解，可判断B； 取，得到关于的一元二次方程，求出判别式，根据判别式的符号，可判断C； 将点的横坐标代入，配方后，可判断D． 【详解】解：抛物线中， 二次项系数为，，所以抛物线开口向上，故A正确，但不符合题意； ∵抛物线经过，两点，且， ∴，解得，故B错误，符合题意； 当时，， ， 所以抛物线与x轴有2个交点，故C正确，但不符合题意； 为抛物线上任意一点， 所以， 故D正确，但不符合题意， 故选： B． 9．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．若小球刚接触弹簧时的速度，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为 D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 小球从刚开始接触弹簧速度并未减速，该选项错误，故不符合题意； B. 当弹簧被压缩了时，小球的速度最大，该选项错误，故不符合题意； C.抛物线的对称轴为直线， 所以的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， 所以，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为， 该选项正确，符合题意； D.当弹簧的长度为9cm时，被压缩了，此时，小球速度为0，与刚接触弹簧时的速度不相同，该选项错误，故不符合题意； 故选：C． 10．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于x的方程一定有两个不相等的实数根； ⑤． 其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系．由抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，结合点的坐标特点逐一分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴，，故①②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故④正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故⑤错误， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将化成的形式为 ． 【答案】 【分析】考查二次函数一般式和顶点式之间的转化，掌握它们的转化方法是解题的关键． 首先提取二次项系数，进而利用配方法写出顶点式形式． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义易得，且，解得的值即可得到答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得， 故答案为：． 13．已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程，由一元二次方程根的判别式可得，再利用二次函数解析式可得，点到轴的距离为，由为直角三角形，点关于对称轴对称，可得为等腰直角三角形，即得，列出方程解答即可求解，由二次函数的性质判断出为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∵抛物线， ∴抛物线与轴交点的横坐标为，顶点的纵坐标为， ∴，点到轴的距离为， ∵为直角三角形，点关于对称轴对称， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 14．经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得点的横坐标，计算即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过，两点， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线与轴有交点， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 15．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 16．已知抛物线与x轴负半轴交于点A，且经过，． （1）n的值为 ． （2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且，则点P的坐标为 【答案】 4 或 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）把把代入求出抛物线解析式为，然后把代入得； （2）先求出．再根据①当时，，根据直线与抛物线解析式求出交点坐标，或 ②当直线经过的中点M时，，求出直线 抛物线解析式求出交点坐标． 【详解】解：（1）把代入得， ∴抛物线解析式为，把代入得； （2）令，得，解得，． ∵点A位于x负半轴上，∴． 由，得直线． ①当时，， 设，，得，即， 由得，， 把代入得，∴． ②当直线经过的中点M时，， 由，得， 由，，得直线 由解得，， 把代入得 ∴ 故答案为：（1）4；（2）或. 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)求该二次函数的与轴的交点坐标． 【答案】(1)；直线 (2)二次函数的与轴的交点坐标为， 【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，确定抛物线的表达式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）令，得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； 对称轴为直线； （2）令，则， 解得或， 该二次函数的与轴的交点坐标为，． 18．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 【详解】（1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 19．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． （1）将代入，求出相应的a的值即可； （2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； 【详解】（1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米； 20．在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分两种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当平移后抛物线的对称轴在直线左侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，n的值为或． 21．第九届亚洲冬季运动会于年月日日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天的销售量将增加个．设每个吉祥物降价元（为整数），每天的销售量为个． (1)写出与之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为元，求出与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)； (3)定价为元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了列函数关系式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据每天的销售量等于原来的销售量加上降价后增加的销售量即可解答； （2）根据总利润等于单个利润与总数量的乘积成为列出函数关系式即可； （3）利用（2）的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：由题可得：与之间的函数关系式为，即． （2）解：由题可得：，即． （3）解：由（2）得：， ， 当时，随的增大而增大， 为整数， 当时，，此时定价元， 定价为元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润是元． 22．二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”． ①求这个函数“倍值点”的坐标； ②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 【答案】(1)； (2)①，；② 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①把代入（）所得函数解析式，求出的值即可求解；②由①可得，再根据二次函数的性质求出的最大值与最小值，进而相减即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴二次函数的解析式解析式为； （2）解：①把代入，得， 解得或， ∴或， ∴这个函数“倍值点”的坐标为，； ②由①可得，， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，有最小值为；当时，有最大值为， 即的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 23．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 24．已知抛物线与轴交于两点（点位于点左侧），与轴交于点．    (1)求直线的解析式； (2)将抛物线进行平移得到抛物线，抛物线的顶点为． （i）如图1，若点是抛物线的对称轴与直线的交点，求抛物线的解析式； （ii）如图2，若点为直线上方抛物线上任意一点，抛物线与轴交于点，作轴交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及到求二次函数的解析式以及二次函数与不等式的应用，熟练掌握相关概念和性质是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出，进一步即可得出直线的解析式； （2）（i）利用抛物线，得出点，进一步即可得出抛物线的解析式； （ii）利用点为抛物线的顶点，得出抛物线的解析式，有点的坐标为以及点，然后分当时，点在点的上方以及当时，点在点的下方，两种情况进行分析计算即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，解得，，即抛物线， 点，令，解得，，即点， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：（i）抛物线， 其对称轴为，把代入得， 即点，抛物线的解析式为：；     （ii）点在抛物线上， ， 点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式为：， 点的坐标为； 把代入得， 点， 点在第一象限， ， 当时，点与点重合，不成立； 当时，如图1，点在点的上方， ， ，， 解得（舍去），； 当时，如图2，点在点的下方， ， ，即， 解得（舍去），， 的值为或． 25．如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最大值为，此时； (3)存在，． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，再求出直线表达式为，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； （）当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，求出，则，证明，所以，又，，故有，则，可得点与点重合，从而求解． 【详解】（1）解：由题意知，解得， ∴解析式为； （2）解：∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线表达式为：， ∴，解得， ∴直线表达式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在，理由如下： 当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，点与点重合， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十二章 二次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A D B A B C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．/ 14． 15．或 16． 4 或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； 对称轴为直线；...............................3分 （2）令，则， 解得或， 该二次函数的与轴的交点坐标为，．...............................6分 18． 【详解】（1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为；...............................3分 （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ．...............................6分 19． 【详解】（1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为．...............................3分 （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米；..............................6分 20． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为；..............................2分 （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， ...............................4分 （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当平移后抛物线的对称轴在直线左侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，n的值为或．...............................6分 21． 【详解】（1）解：由题可得：与之间的函数关系式为，即．.........................2分 （2）解：由题可得：，即．...............................5分 （3）解：由（2）得：， ， 当时，随的增大而增大， 为整数， 当时，，此时定价元， 定价为元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润是元．...............................8分 22． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴二次函数的解析式解析式为；...............................3分 （2）解：①把代入，得， 解得或， ∴或， ∴这个函数“倍值点”的坐标为，； ②由①可得，， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，有最小值为；当时，有最大值为， 即的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为．...............................8分 23． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． ...............................3分 （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； ...............................5分 （3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．...............................8分 24． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，解得，，即抛物线， 点，令，解得，，即点， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为；...............................4分 （2）解：（i）抛物线， 其对称轴为，把代入得， 即点，抛物线的解析式为：；    ...............................8分 （ii）点在抛物线上， ， 点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式为：， 点的坐标为； 把代入得， 点， 点在第一象限， ， 当时，点与点重合，不成立； 当时，如图1，点在点的上方， ， ，， 解得（舍去），； 当时，如图2，点在点的下方， ， ，即， 解得（舍去），， 的值为或．...............................12分 25． 【详解】（1）解：由题意知，解得， ∴解析式为；...............................3分 （2）解：∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线表达式为：， ∴，解得， ∴直线表达式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时；...............................7分 （3）解：存在，理由如下： 当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，点与点重合， ∴．...............................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$