专题2.3 圆与圆的位置关系（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题2.3 圆与圆的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 2 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 3 【题型3 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 3 【题型4 两圆的公切线长】 5 【题型5 求两圆的公切线方程】 5 【题型6 两圆的公切线条数问题】 6 【题型7 相交圆的公共弦方程】 7 【题型8 两圆的公共弦长问题】 8 知识点1 圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·江苏常州·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1-2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【变式1-3】（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（24-25高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（     ） A． B． C．或 D．或 【题型3 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例3】（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式3-2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 【变式3-3】（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 知识点2 两圆的公切线 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型4 两圆的公切线长】 【例4】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【变式4-1】（2025高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【变式4-3】（24-25高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【题型5 求两圆的公切线方程】 【例5】（24-25高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式5-1】（24-25高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【变式5-3】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【题型6 两圆的公切线条数问题】 【例6】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A．15 B．23 C．21 D．17 【变式6-2】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点3 两圆的公共弦 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以 .即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 【题型7 相交圆的公共弦方程】 【例7】（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·云南·期中）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型8 两圆的公共弦长问题】 【例8】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式8-2】（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 【变式8-3】（24-25高二上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 圆与圆的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 2 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 4 【题型3 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 6 【题型4 两圆的公切线长】 8 【题型5 求两圆的公切线方程】 11 【题型6 两圆的公切线条数问题】 14 【题型7 相交圆的公共弦方程】 16 【题型8 两圆的公共弦长问题】 17 知识点1 圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·江苏常州·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解题思路】根据两圆圆心距与两圆的半径差、半径和的大小关系即可判断. 【解答过程】圆的圆心为,半径， 圆的圆心为,半径， 因为，， 所以， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解题思路】根据题意可得圆心和半径，进而可得，即可判断两圆位置关系. 【解答过程】圆：和圆：， 可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 因为，即， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【解题思路】根据圆的方程写出圆心和半径，由圆心距与半径和差关系判断两圆的位置关系. 【解答过程】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为， 即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【解题思路】先将化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置关系判断即可. 【解答过程】因为，所以， 故的圆心为，半径且， 而的圆心为，半径， 因为关于直线对称，所以直线经过圆心， 故，解得，由两点间距离公式得， 所以，则圆与圆外切，故B正确. 故选：B. 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【解答过程】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值. 【解答过程】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【解答过程】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】根据的方程求出的取值范围，再将两圆方程化为标准式，得到圆心坐标与半径，分两圆外切或内切两种情况讨论，分别计算可得. 【解答过程】由圆得，解得． 圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径． 因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆外切或内切． ①若两圆内切，则，解得，符合， ②若两圆外切，则，解得，符合． 综合①②得实数 或． 故选：C． 【题型3 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例3】（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【解答过程】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 【答案】B 【解题思路】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【解答过程】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【解答过程】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A. 知识点2 两圆的公切线 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型4 两圆的公切线长】 【例4】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【解题思路】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【解答过程】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D. 【变式4-1】（2025高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【解答过程】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【解题思路】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【解答过程】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 【变式4-3】（24-25高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【答案】(1)两圆相交，，； (2). 【解题思路】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长； （2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解. 【解答过程】（1）圆A：，圆：， 两圆心距， ∵， ∴两圆相交， 将两圆方程左、右两边分别对应相减得：， 此即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为、，则垂直平分线段， ∵A到的距离， ∴. （2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形. ∴， ∴. 【题型5 求两圆的公切线方程】 【例5】（24-25高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解答过程】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 【变式5-1】（24-25高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【解答过程】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程. （2）利用公共切线斜率与圆心连线斜率相等，再利用圆心到直线距离等于半径求解即可. 【解答过程】（1）由题意设圆心为， ，得， 故圆心为，， 圆M的标准方程为：， 圆M的一般方程为：. （2） 由于圆M和圆O的半径均为2， 公切线与OM平行，则，设公切线方程为， 则，得或， 故公切线方程为或. 【变式5-3】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 【题型6 两圆的公切线条数问题】 【例6】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用两圆的位置关系来确定公切线的条数. 【解答过程】由圆可得：， 所以该圆心，半径， 又由圆可得：， 所以该圆心，半径， 由于圆心距，而， 所以，即两圆相外切， 所以两圆的公切线有3条， 故选：C. 【变式6-1】（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A．15 B．23 C．21 D．17 【答案】B 【解题思路】将圆的方程化为标准方程形式，确定圆，圆的圆心和半径，根据条件可得两圆外切，结合圆的位置关系列方程求. 【解答过程】的标准形式为. 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以，解得. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用圆与圆位置关系的判断方法，得到两圆的位置关系，即可求解. 【解答过程】由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 又，所以， 故圆与圆外切，所以圆与圆的公切线条数是条， 故选：B. 【变式6-3】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两圆的公切线条数确定两圆相交，由圆心距计算即可. 【解答过程】由，， 则可得，且两圆的半径分别为， 又两圆只有两条公切线，故该两圆相交， 即，显然， 则，解之得. 故选：A. 知识点3 两圆的公共弦 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以 .即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 【题型7 相交圆的公共弦方程】 【例7】（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【解答过程】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A. 【变式7-1】（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设，将两圆方程作差即可得公共线方程. 【解答过程】由题设，将两圆作差，有， 整理可得，即公共弦所在直线为. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二上·云南·期中）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【解答过程】由题设公共弦的方程为：， 整理得到：即， 故选：B. 【变式7-3】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两圆方程相减可得答案. 【解答过程】，① ，② ①②得. 故选：B. 【题型8 两圆的公共弦长问题】 【例8】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两圆方程相减求得直线方程，然后求得一个圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【解答过程】由已知，两圆方程相减得，这是两圆公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 故选：B． 【变式8-1】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】判断出两圆相交，两圆相减求得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求得公共弦长. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， ，所以两圆相交， 由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由线段的中垂线与圆心所在的直线的交点求出圆心坐标，再由两点间距离公式求出半径，可得圆的标准方程； （2）两圆相减得到圆的公共弦方程，再由点到直线的距离公式求出圆心M到直线的距离，最后由勾股定理求弦长即可； 【解答过程】（1）记点，线段的中垂线方程为：， 圆C经过A，B，所以圆心C在直线上，又因为圆心C在直线上， 所以圆心C的坐标为（2，－2）， 半径，所以圆C的方程为：. （2）设圆C与圆M相交与E，F两点，则直线EF的方程为： ， 即：， 圆心M到直线的距离， 所以，，即公共弦长为. 【变式8-3】（24-25高二上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 【答案】(1) (2)相交， 【解题思路】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程； （2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长. 【解答过程】（1）因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,   则由，解得，        ∴圆心，半径,                     ∴圆的方程为； （2）由圆得：    ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得， ∴直线的方程为， ∴ 圆心到直线的距离， ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$