精品解析：安徽省黄山市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题

2024—2025学年度第一学期期末质量检测 高一数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2. 化简得（ ） A B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（ ） A. 或4 B. 或4 C. 或2 D. 或2 5. 命题“”为真命题的充要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，已知该扇形面积，其圆心角为，在直角坐标系中，以为的顶点，轴正半轴为的始边，此时终边与单位圆交点，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的图象为，则（ ） A. 此函数的一个对称中心为 B. 此函数在上的最小值为 C. 为了得到的图象，只要把上所有点向左平移个单位 D. 为了得到的图象，只要把上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值域为 B. 若时，的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 设为正实数，则的最小值为 11. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 __________． 13. 已知函数的两个零点分别为和，则不等式的解集为__________________． 14. 定义在上的函数，满足，，且函数 为偶函数，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 我市为打造世界级旅游胜地，方便游客游玩，预建设旅游轻轨．经调研测算，每辆列车的载客数量（单位：人）与发车时间间隔（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，每辆列车均为满载状态，载客量为600人；当时，每辆列车的载客数量与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）． （1）求关于函数表达式； （2）当发车时间间隔为何值时，每辆列车日均车票收入最大？并求出该最大值． 17. 已知 （1）求证：； （2）若，在上最小值为． ①求的值； ②求的单调递减区间． 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围． （3）令，对于定义域内的，，，若且，求的最大值． 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． （1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由． ①； ②． （2）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围．（用含字母的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末质量检测 高一数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】应用集合交补混合运算求新集合即可. 【详解】由题设， 所以或. 故选：C 2. 化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得到答案. 【详解】. 故选：A 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，解对数不等式可求得的定义域. 【详解】由，得，所以，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 4. 已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（ ） A. 或4 B. 或4 C. 或2 D. 或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据区间单调性得，即，结合幂函数的奇偶性确定参数值. 【详解】由幂函数在区间上是增函数，则， 所以，可得. 由，则， 若，则为奇函数，满足题意， 若，则为偶函数，不满足题意， 所以或2. 故选：D. 5. 命题“”为真命题的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，再由函数的最大值解出. 【详解】由，得，所以，. 由恒成立，所以，即. 故选：A 6. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，已知该扇形面积，其圆心角为，在直角坐标系中，以为的顶点，轴正半轴为的始边，此时终边与单位圆交点，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边与单位圆交点求出，再结合扇形面积求出扇形的半径，从而可求出扇形的弧长. 【详解】因为终边与单位圆交点， 所以， 因为，所以， 设扇形的半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：C 7. 已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是偶函数，得，及在上是增函数.再通过分析得到，进而利用的单调性比较即得结果. 【详解】∵是偶函数，∴. ∴， ∵偶函数在上是减函数，∴在上是增函数. 又∵，即. ∴, 即 故选：A. 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过计算，可得，则将转化为，再判断的单调性，利用其单调性可求得结果. 【详解】的定义域为，因为， 所以 ， 所以，所以， 所以由，得， 因为在上为增函数，在定义域内为增函数， 所以在上为增函数， 因为在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的图象为，则（ ） A. 此函数的一个对称中心为 B. 此函数在上的最小值为 C. 为了得到的图象，只要把上所有点向左平移个单位 D. 为了得到的图象，只要把上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，求出即可判断；B选项，，由正弦函数的单调性求出函数的最小值不为即可判断；C选项，根据平移变换得到C错误；D选项，根据伸缩变换得到D正确. 【详解】A选项，因，即函数的一个对称中心为，A正确； B选项，时，， 由于在上单调递增，在上单调递减，且， 故当时，取得最小值，故函数在上的最小值不为，B错误； C选项，上所有点向左平移单位长度，得到的图象，C错误； D选项，把上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，D正确. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值域为 B. 若时，的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 设为正实数，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式的运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，， 当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，，则， 所以， 即，所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的值域为，故A错误； 对于B，由可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 则，所以的最大值为，故B正确； 对于C，由可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，故C正确； 对于D，令，则，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：BCD 11. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将方程的根的问题转化为图象交点问题，由一元二次方程解得或，要想有个交点，则两条直线与图象各有个交点，根据图象得到的范围，进而得到可能的取值. 【详解】由得或， 根据二次函数和指数函数图象得到图象，当时，， 并在同一坐标系中画出，与图象有个交点， 要使得关于的方程有4个不同的实根，则直线与图象有个交点，且两条直线不重合， 根据图象可知且，解得且，所以ACD符合， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用对数换底公式及其运算性质、指数的负幂运算对式子进行化简. 【详解】原式 . 故答案为： 13. 已知函数的两个零点分别为和，则不等式的解集为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理求出参数与的关系，由分式不等式的解法求解即可. 【详解】由函数的两个零点分别为和等价于一元二次方程的根为和， 由韦达定理可得：，即， 所以不等式的解集等价于的解集，即的解集， 由于，所以，其解为：，所以不等式的解集为 故答案为： 14. 定义在上的函数，满足，，且函数 为偶函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可推导函数为周期函数，周期为4，且为偶函数，根据即可得到，则即可求解. 【详解】因为函数 为偶函数，所以， 即 又，即 所以，即， 两式相减得，即， 所以为周期函数，周期为4， 又，，， 所以，即为偶函数， 又，所以， ，即， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用集合的并集运算求结果； （2）由题设，讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 时，， ∴. 【小问2详解】 由，得， ， 若，则，可得，满足题设； 若，则，无解； 综上，. 16. 我市为打造世界级旅游胜地，方便游客游玩，预建设旅游轻轨．经调研测算，每辆列车的载客数量（单位：人）与发车时间间隔（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，每辆列车均为满载状态，载客量为600人；当时，每辆列车的载客数量与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）． （1）求关于的函数表达式； （2）当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值． 【答案】（1） （2）当时， 【解析】 【分析】（1）由题可知当时，，，当时，根据时，即可得到，即可得到关于的函数表达式； （2）由，进行分段求最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，， 当时，每辆列车的载客数量与成正比， 设，当时，， 所以，即， 所以 【小问2详解】 当时，， 所以，此时当时，， 当时，单调递减，当时，， 综上，当时，. 17 已知 （1）求证：； （2）若，在上的最小值为． ①求的值； ②求的单调递减区间． 【答案】（1）证明见解析； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）需要利用两角和的正弦公式、二倍角公式以及辅助角公式对进行化简，以证明等式； （2）①先将化简，再根据给定区间求最值即可得到； ②根据正弦函数性质求解单调区间. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ①由 ， 当时，， 则，即时，取得最小值， 则. ②由①知，则， 令， 解得， 因此的单调递减区间为. 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围． （3）令，对于定义域内的，，，若且，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义化简即可得到答案. （2）令，把原不等式转化为关于的不等式恒成立，然后分离参数即可得到答案. （3）先化简得到，再令，，，由题意可得到，再令，代入可得到关于，的方程，进而可得到关于的函数，可求出的最大值，即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得：， ， 因为函数为奇函数 ， 所以； 所以， 所以， ， ， ， ， ， 故. 【小问2详解】 由（1）知 ，故 . 令 （因 ，故 ），则：， 代入不等式：， ，  ，， ， ， 又， ， ， ， 即：， 令 ， 因为，由基本不等式可得，当且仅当“”时取等， 所以 对  恒成立， 要使 对任意  成立，只需 ， 故. 【小问3详解】 由（1）知 ，. ，，， 由 ，得； 由 ，得 再令 ，代入， 得，即， 其中 ，由 ，， 为方程  的实根， 判别式 ，因 ，得 ， 则：， 当 ， 随  增大而减小：当 时 取到最大值 ， 又由得，随 增大而增大， 当取到最大值时，也取到最大值， 故的最大值为. 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． （1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由． ①； ②． （2）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围．（用含字母的式子表示） 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案； （2）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围. 【小问1详解】 由可得， 由可得， 当时，存在很多使得，所以不具有性质； 由可得， 对于任意的，恒成立，所以具有性质. 【小问2详解】 由于，函数的定义域为R. 易得. 若函数具有性质，则对于任意实数， 有 ，即. 即， 由于函数在上递增，得. 即. 当时，得，对任意实数恒成立. 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即， 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即， 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$