精品解析： 江苏省宿迁市宿城区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省宿迁市宿城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列调查活动适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某班学生的身高 B. 调查某品牌手机电池的使用寿命 C. 调查某市居民的环保意识 D. 调查全国中学生心理健康状况 2. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列四幅纹样图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 使代数式有意义的的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形是（ ） A B. C. D. 6. 顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线垂直的四边形 7. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的大致图象是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 若分式值为0，则x的值为____． 10. 一个布袋里装有只有颜色不同的5个球，其中3个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，是红球的概率为________． 11. 已知长方形的宽是，它的面积是，则它的长是_____________ 12. 如图，过y轴正半轴上一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象相交于点A和点B，C是x轴上一点．若的面积为4，则k的值为____． 13. 如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点B恰好落在BC边上，和CD交于点P，则的度数是______． 14. 已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为______． 15. 点，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 16. 已知，则______． 17. 如图，点是矩形对角线上一点，过点作分别交，于点、，连接，．若，，，则______． 18. 如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为__________． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 19. 计算：． 20. 解方程：． 四、解答题：本题共8小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简，再代入求值：，其中． 22. 某学校想了解学生家长对“双减”政策的认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制出两幅不完整的统计图（A：不太了解，B：基本了解，C：比较了解，D：非常了解）．请根据图中提供的信息回答以下问题： （1）请求出这次被调查的学生家长共有多少人？ （2）该扇形统计图中“比较了解”部分中，m的值为______，所对应的圆心角度数为______； （3）请补全条形统计图； （4）该学校共有3000名学生家长，估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有多少？ 23. 如图，是的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 24. 为培养学生的数学阅读习惯，激发学生学习数学的兴趣，某校计划购买甲、乙两种数学课外读物供学生阅读．已知乙种数学课外读物单价是甲种数学课外读物单价的2倍，用720元购买甲种书的数量比用720元购买乙种书的数量多10本． （1）求甲、乙两种数学课外读物的单价； （2）该校计划购买甲、乙两种数学课外读物共50本，总费用不超过2520元，那么至少可购买甲种数学课外读物多少本？ 25. 如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． （1）求反比例函数的解析式； （2）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； （3）如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 26. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求的值． 27. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第二象限内的图象相交于点，与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点． （1）求的度数； （2）若轴上一点的纵坐标是4，且，求点A的坐标； （3）在（2）的条件下，若点在轴上，点是平面直角坐标系中的一点，当以点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标． 28. 在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省宿迁市宿城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列调查活动适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某班学生的身高 B. 调查某品牌手机电池的使用寿命 C. 调查某市居民的环保意识 D. 调查全国中学生心理健康状况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A、调查某班学生的身高适合全面调查；符合题意； B、调查某品牌手机电池的使用寿命适合抽样调查；不符合题意； C、调查某市居民的环保意识适合抽样调查；不符合题意； D、调查全国中学生心理健康状况适合抽样调查；不符合题意； 故选A． 2. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列四幅纹样图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 使代数式有意义的的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的有意义的条件，求不等式的解集，掌握以上知识是关键． 根据二次根式有意义的条件得到，由此解不等式即可求解． 【详解】解：代数式有意义， ∴， 解得，， 故选：C ． 4. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断． 【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，正确，该选项符合题意； 故选；D． 5. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：， 四边形是平行四边形 只有C选项符合题意，其他的不成立． 故选：C． 6. 顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线垂直的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到矩形． 【详解】解：如图， 根据题意得，是的中点， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形． 故选：D． 7. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，从而得出，证明，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据图象与解析式的关系找出图象上的特殊点进行判断．掌握图象与解析式的关系是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴图象与轴交于点， 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 若分式的值为0，则x的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意根据分式值为0的条件即分子为0且分母不为0进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-1=0， ∴x=1. 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 10. 一个布袋里装有只有颜色不同的5个球，其中3个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的知识，用红球的数量除以球的总数即可求得答案． 【详解】解：∵共有5只球，其中红球有3个， ∴从中任意摸出1个球，是红球的概率为， 故答案为：． 11. 已知长方形的宽是，它的面积是，则它的长是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的除法法则计算得出答案． 【详解】长方形的长为：÷=6， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 12. 如图，过y轴正半轴上一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象相交于点A和点B，C是x轴上一点．若的面积为4，则k的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．由此即可得到，即可求出的值． 【详解】解：连接，， 轴， 的面积的面积， 的面积，的面积， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的特征，关键是掌握反比例函数的几何意义． 13. 如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点B恰好落在BC边上，和CD交于点P，则的度数是______． 【答案】42°##42度 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转以及三角形的内角和，求出的度数是解决本题的关键． 先由图形旋转，边长不变，角度不变，可得，再结合三角形的内角和的度数求解即可． 【详解】解：平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转，得到平行四边形， ，，，， ， ，， ， ， 故答案为： 14. 已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得到结论． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解为正数， ∴， ∴且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查解分式方程，分式方程的解、解一元一次不等式组，解分式方程是解答的关键，注意不能产生增根所以要使． 15. 点，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，一元一次不等式的解法，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．先利用反比例函数的增减性得出点，在同一象限，再得出或，求解即可． 【详解】解：由可知图象位于一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， ∵点，在反比例函数的图象上，且，， ∴点，在同一象限， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 16. 已知，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、分式的加减运算等知识点，灵活对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，由可得，然后整体代入计算即可． 详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为8． 17. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点、，连接，．若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．过点作于，交于，得出四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，根据矩形的性质得出，，，推得，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于，交于，如图， 则四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， 故， 解得， 故答案为：． 18. 如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，使，连接，，得到，．根据菱形的边长为2，得到．证明 ．得到．得到．推出．得到．得到．即得的最小值为． 【详解】解：如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形边长为2， ∴．， ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴． 即． ∴最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形，全等三角形．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，是解决问题的关键． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 19. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式． 20. 解方程：． 【答案】x=0 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解. 【详解】去分母得：3x﹣5=2(x﹣2)-(x+1)， 去括号得：3x﹣5=2x﹣4﹣x﹣1， 移项合并得：2x=0， 解得：x=0， 经检验x=0是分式方程的解． 【点睛】解分式方程的步骤：（1）去分母：在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程； （2）解方程：解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，若结果为零，则舍去；若结果不为零，则是原方程的根； （4）得到分式方程的解. 四、解答题：本题共8小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 某学校想了解学生家长对“双减”政策的认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制出两幅不完整的统计图（A：不太了解，B：基本了解，C：比较了解，D：非常了解）．请根据图中提供的信息回答以下问题： （1）请求出这次被调查的学生家长共有多少人？ （2）该扇形统计图中“比较了解”部分中，m的值为______，所对应的圆心角度数为______； （3）请补全条形统计图； （4）该学校共有3000名学生家长，估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有多少？ 【答案】（1）50人 （2）40， （3）见解析 （4）600人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体： （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A所占的百分比求解即可； （2）用C的人数除以参与调查的人数即可求出C的人数占比，即可求出m的值，用乘以“比较了解”所占的百分比求解即可； （3）先求出B的人数，进而求出D的人数，再补全统计图即可； （4）用总人数乘以“非常了解”所占的百分比求解即可． 【小问1详解】 解：人； ∴这次被调查的学生家长共有50人； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 扇形统计图中“比较了解”部分中，所对应的圆心角度数为； 故答案为：40，； 【小问3详解】 解：人， ∴B的人数为15人， ∴D的人数为人， 补全统计图如下： 【小问4详解】 解：人； ∴该学校共有300名学生家长，估计对“双减”政策“非常了解”的学生家长大约有600人． 23. 如图，是的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据四边形是平行四边形得，，再证明，得，可得，，即可得，，即可证明； （2）根据题意得，，在中，利用勾股定理可得，，，再利用平行四边形的面积公式即可计算． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，， ， ，， 在中，， ， ，， ． 24. 为培养学生的数学阅读习惯，激发学生学习数学的兴趣，某校计划购买甲、乙两种数学课外读物供学生阅读．已知乙种数学课外读物单价是甲种数学课外读物单价的2倍，用720元购买甲种书的数量比用720元购买乙种书的数量多10本． （1）求甲、乙两种数学课外读物的单价； （2）该校计划购买甲、乙两种数学课外读物共50本，总费用不超过2520元，那么至少可购买甲种数学课外读物多少本？ 【答案】（1）甲种数学课外读物的单价是元，乙种数学课外读物的单价是元 （2）至少可购买甲种数学课外读物本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种数学课外读物的单价是x元，则乙种数学课外读物的单价是y元，根据“用720元购买甲种书的数量比用720元购买乙种书的数量多10本”列出方程，求解即可； （2）设购买m本甲种数学课外读物，则购买本乙种数学课外读物，根据“总费用不超过2520元”列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可解答． 【小问1详解】 解：设甲种数学课外读物的单价是x元，则乙种数学课外读物的单价是元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴． 答：甲种数学课外读物的单价是元，乙种数学课外读物的单价是元． 【小问2详解】 解：设购买m本甲种数学课外读物，则购买本乙种数学课外读物， 根据题意得： 解得： ∴m的最小值为． 答：至少可购买甲种数学课外读物本． 25. 如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． （1）求反比例函数的解析式； （2）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； （3）如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）10 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的综合题型，解题关键：一是求出反比例函数解析式，二是求出菱形的面积． （1）先把点代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集； （3）根据题意作出辅助线，然后求出的长，根据菱形的性质求出的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出的面积． 【小问1详解】 解：把点代入正比例函数可得：， ∴点， 把点代入反比例函数， 可得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A与点B是关于原点对称的， ∴点， ∴根据图象可得，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：如图所示，过点A作轴，垂足为G， ∵， ∴ 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 26. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）12 （3）4 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 故答案为： 【小问2详解】 解：原式＝ ； 【小问3详解】 ， a−2＝， ∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5． ∴a2−4a＝1． ∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3 ＝a2×1−4a＋3 ＝a2−4a＋3 ＝1＋3 ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 27. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第二象限内的图象相交于点，与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点． （1）求的度数； （2）若轴上一点的纵坐标是4，且，求点A的坐标； （3）在（2）的条件下，若点在轴上，点是平面直角坐标系中的一点，当以点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形即可解决问题； （2）如图1中，作于．根据一次函数求出交点的坐标，用表示点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （3）分两种情形：①当菱形以为边时，②当为菱形的对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象交轴于，交轴于， 则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【小问2详解】 解：如图1中，作于，并延长交x轴于点D， ∵，，则， ∴， ∴， 设直线直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴， ∵， ∴，设， 则有，解得：， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2中， 由（2）可知， ∴， 当菱形以为边时，，可得， 当关于轴对称时，也满足条件，此时， 当为菱形的对角线时，设， 则有2， ∴． ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合以及菱形的性质定理、勾股定理、等腰三角形的性质和判定，根据题意添加辅助线画出图形，数形结合是解题的关键． 28. 在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）12或． 【解析】 【分析】（1）根据折叠性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得， ∵在正方形中，， ∴． ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴． ∴． ∴； （2）证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即； （3）根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示． ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴； ②当点在的延长线上时，如图所示． 同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为12或， 故答案为：12或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$