精品解析：河北省唐山市古冶区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024—2025学年度第二学期八年级学业水平终期评估 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟． 2．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次根式与能合并，则x的最大整数值是（ ） A. ﹣7 B. ﹣1 C. 0 D. 2 5. 如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ） A. B. C. 3 D. 6. 将矩形绕点B顺时针旋转后得到矩形，若，，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. D. 169 7. 如图，两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ） A. B. C. D. 8. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 9. 如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长（　　） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 不能确定 10. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. y的值随着x增大而减小 B. 当时， C. 函数图象与y轴的交点坐标为 D. 函数图象经过第一、二、四象限 11. 五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是（ ） A. 16 B. 17 C. 24 D. 25 12. 若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长之间的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为________． 14. 当时，一次函数的图象不经过第________象限． 15. 某中学举办的演讲比赛由演讲内容、语言表达、形象效果这三项得分依次按50%，30%，20%的比例计算最终成绩，嘉嘉此次比赛的各项成绩如表： 演讲内容 语言表达 形象效果 94分 92分 90分 则嘉嘉的最终成绩为________分． 16. 如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接，则线段的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题；共64分） 17. （1）计算：； （2）计算： 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）与关于原点O对称，画出； （2）是绕点A顺时针旋转得到的，画出，并写出的坐标． 19. 如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点E、F，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案：分别取，的中点E，F； 乙方案：作于点E，于点F． 请回答下列问题： （1）你认为甲乙两人的方案哪种得到的四边形是平行四边形 ． （2）如果只有一种方案得到平行四边形，就对这一种进行证明；如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明． 20. 射击队要从甲、乙两名运动员中挑选一人参加射击比赛，在选拔赛中，每人射击5次，根据两人的成绩（单位：环）绘制的折线统计图如图所示（甲第二次射击的成绩缺失）． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）若甲第二次射击的成绩为9环． ①甲、乙两人成绩的方差分别为，，则________（填“”“”或“”）；请补全下表． 统计量 平均数 中位数 众数 甲 乙 9.2 9.3 9.3 ②综合以上统计量，你认为应选哪名运动员参赛？并说明理由； （2）若甲成绩的中位数、众数相同，求甲第二次射击的成绩． 21. 综合实践课上，某小组进行了“弹簧的长度与外力的变化关系”的探究活动，步骤如下： 第一步：实验测量多次改变砝码的质量（克），测量弹簧的长度（厘米），其中． 第二步：整理数据 砝码的质量（克） 0 50 100 150 200 250 弹簧的长度（厘米） 2 3 4 5 5.5 7 第三步：画函数关于的图象 （1）在进行数据分析时，组长发现统计表中有一个弹簧的长度是错误的，重新测量后修改了表中这个数据，则表中错误的数据是___________．应修改为___________； （2）写出与的函数表达式； （3）在如图所示的平面直角坐标系中，画出与的函数图象： （4）当弹簧的长度为厘米时，悬挂砝码的质量是多少克，并在图象上描出这个点． 22. 如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线，直线经过点. （1）求的值并说明直线必过点； （2）若直线与直线交于轴上一点，求的值并在直角坐标系中画出直线； （3）若直线与直线的交点总在点的右侧，直接写出的取值范围. 24. 综合与探究 问题情境： 如图1，在正方形中，，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图2，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由， 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在中，点，分别在，边上，且，，交于点，．判断与的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形中，点，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期八年级学业水平终期评估 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟． 2．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的性质，以及二次根式的乘除法，根据二次根式的加减法则可判断A，利用二次根式的性质可判断B；根据二次根式的乘除法法则可判断C和D． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； B．，故正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 2. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键． 根据平面直角坐标系中两点间距离公式，计算点到原点的距离． 【详解】解：根据题意得，点到原点的距离是． 故选：C． 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 4. 若二次根式与能合并，则x的最大整数值是（ ） A. ﹣7 B. ﹣1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由二次根式与能合并，可得与是同类二次根式，再根据同类二次根式的意义可求出答案． 【详解】解：因为二次根式与能合并， 所以与是同类二次根式， 又1-x≥0，即x≤1， 所以x的最大整数值是-1， 故选：B． 【点睛】本题考查同类二次根式，理解“同类二次根式”的意义是解决问题的关键． 5. 如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形的勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵ 在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1 ， ∴任意两个格点间的距离为， ，， 1，2，3，，，． ∴任意两个格点间的距离不可能是 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6. 将矩形绕点B顺时针旋转后得到矩形，若，，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. D. 169 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由勾股定理可得，由旋转的性质可知，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， 故选：C． 7. 如图，两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于点，根据菱形的性质求出AB，AC+BC的长，故可求解． 【详解】如图，连接交于点． 在菱形中，，， 橡皮筋被拉长后的长度为． ∵， ∴，为等边三角形， ，． 在中，由勾股定理得，． 则橡皮筋被拉长前的长度，再次被拉长的长度是， 故选D． 【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及菱形的特点． 8. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D． 9. 如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长（　　） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AR，因此线段EF的长不变． 【详解】解：连接AR． ∵E、F分别是AP、RP的中点， ∴EF为△APR的中位线， ∴EF＝AR， ∵AR的长为定值， ∴线段EF的长不改变． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，正确作出辅助线，得到EF为△APR的中位线是解决问题的关键． 10. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. y的值随着x增大而减小 B. 当时， C. 函数图象与y轴的交点坐标为 D. 函数图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】A、∵，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； B、∵时，，又∵y的值随着x增大而减小， ∴当时，，原说法错误，符合题意； C、∵当时，，∴函数图象与y轴的交点坐标为，正确，不符合题意； D、∵，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意． 故选B． 11. 五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是（ ） A. 16 B. 17 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数，根据题意，可得最大的三个数的和是：，两个较小的数一定是小于5的非负整数，且不相等，则可求得五个数的和的范围，进而判断． 【详解】解：∵5个数据组中位数是5，唯一众数是6， ∴最大的三个数的和是：， 则两个较小的数一定是小于5的非负整数，且不相等，即两个较小的数最大为3和4，最小为0和1， 故总和一定大于等于18而小于等于24， 所以他们投中次数的总和可能是24． 故选：C． 12. 若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长之间的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的周长可得，然后根据三角形的三边关系确定x的取值范围，根据此范围及函数式即可确定图象． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 根据三角形的三边关系得，， ∴，即， 解得， ∴y与x的函数关系式为，只有D选项符合． 二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【详解】解；∵点与点B关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 14. 当时，一次函数的图象不经过第________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记一次函数图象在各象限的特征是解题的关键． 根据一次函数得图象与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三象限． ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴． ∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限． 故答案为：二． 15. 某中学举办的演讲比赛由演讲内容、语言表达、形象效果这三项得分依次按50%，30%，20%的比例计算最终成绩，嘉嘉此次比赛的各项成绩如表： 演讲内容 语言表达 形象效果 94分 92分 90分 则嘉嘉的最终成绩为________分． 【答案】92.6 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】根据题意可得： 嘉嘉的最终比赛成绩为（分）． 故答案为：92.6． 16. 如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，垂线段最短的性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，判断出时，线段的值最小是解题的关键． 连接，由勾股定理求出，证，再由，得四边形是矩形，得，然后根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后由等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图，连接， ，， ， 于点，于点， ， 又， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得：当时，线段的值最小， ，， ， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题；共64分） 17. （1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算、乘法公式，掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先算二次根式的乘法，再算加法； （2）根据平方差公式求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）与关于原点O对称，画出； （2）是绕点A顺时针旋转得到的，画出，并写出的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，旋转作图，坐标与图形，掌握中心对称图形和旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质可画出图形； （2）根据旋转的性质画出图形，再根据图形可写出点的坐标； 【小问1详解】 如图，就是所求作的三角形， 【小问2详解】 如图，就是所求作的三角形， 观察可得，的坐标为． 19. 如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点E、F，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案：分别取，的中点E，F； 乙方案：作于点E，于点F． 请回答下列问题： （1）你认为甲乙两人的方案哪种得到的四边形是平行四边形 ． （2）如果只有一种方案得到平行四边形，就对这一种进行证明；如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明． 【答案】（1）甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形 （2） 证明：甲方案：如图，连接， 在中，点是对角线的中点， ，， ，F分别为，的中点， ， 四边形为平行四边形； 乙方案：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质即可得解； （2）甲方案：连接，由平行四边形的性质可得，，结合题意得出，即可得解；乙方案：证明得出，结合，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形； 【小问2详解】 略 20. 射击队要从甲、乙两名运动员中挑选一人参加射击比赛，在选拔赛中，每人射击5次，根据两人的成绩（单位：环）绘制的折线统计图如图所示（甲第二次射击的成绩缺失）． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）若甲第二次射击的成绩为9环． ①甲、乙两人成绩的方差分别为，，则________（填“”“”或“”）；请补全下表． 统计量 平均数 中位数 众数 甲 乙 9.2 9.3 9.3 ②综合以上统计量，你认为应选哪名运动员参赛？并说明理由； （2）若甲成绩的中位数、众数相同，求甲第二次射击的成绩． 【答案】（1）①，9.2，9，9； ②应选乙运动员参加比赛， 因为甲、乙成绩的平均数相等，而乙成绩的中位数、众数均大于甲，方差小于甲， 所以乙射击成绩的高分次数比甲多，且成绩稳定； （2）9或9.7 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、众数、平均数和方差，关键是掌握相关统计量的定义与计算定义． （1）①根据方差的意义、平均数、中位数、众数的定义求解即可； ②根据中位数、众数及方差的意义求解即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意知，甲5次射击成绩分别为8.5、9、9、9.7、9.8， 所以其平均数为，中位数为9，众数为9， 由折线统计图知，甲射击成绩的波动幅度比乙射击成绩的波动幅度大， 所以， 故答案为：，9.2，9，9； ②略 【小问2详解】 解：将甲4次的成绩按从小到大的顺序排列为8.5，9，9.7，9.8， 因为甲成绩的中位数、众数相同， 所以甲第二次射击的成绩为9环或9.7环． 21. 综合实践课上，某小组进行了“弹簧的长度与外力的变化关系”的探究活动，步骤如下： 第一步：实验测量多次改变砝码的质量（克），测量弹簧的长度（厘米），其中． 第二步：整理数据 砝码的质量（克） 0 50 100 150 200 250 弹簧的长度（厘米） 2 3 4 5 5.5 7 第三步：画函数关于的图象 （1）在进行数据分析时，组长发现统计表中有一个弹簧的长度是错误的，重新测量后修改了表中这个数据，则表中错误的数据是___________．应修改为___________； （2）写出与的函数表达式； （3）在如图所示的平面直角坐标系中，画出与的函数图象： （4）当弹簧的长度为厘米时，悬挂砝码的质量是多少克，并在图象上描出这个点． 【答案】（1）， （2）与的函数表达式为 （3） 作图如下， （4）悬挂砝码的质量是克， 如图所示，点的位置 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解表格信息，掌握待定系数法，函数值或自变量值的计算是关键． （1）根据砝码质量的增加量与弹簧长度增加量的情况判定即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据表格数据，运用描点连线即可作图； （4）根据函数值求自变形的值，并表示在坐标系中即可． 【小问1详解】 解：砝码质量的增加量是每次50克，弹簧长度增加了是1厘米， ∴表中的数据是，对应的，是错误的，即错误的是，应修改为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设，当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴与的函数表达式为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：当时，， 解得，， ∴悬挂砝码的质量是克． 22. 如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理： （1）利用平行四边形的性质和平行线的性质分析可得，从而求证四边形是矩形； （2）利用勾股定理求得的长度，从而利用矩形和平行四边形的性质求出的长度，再根据梯形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 在平行四边形中，， 在矩形中，， ∴四边形的面积． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线，直线经过点. （1）求的值并说明直线必过点； （2）若直线与直线交于轴上一点，求的值并在直角坐标系中画出直线； （3）若直线与直线的交点总在点的右侧，直接写出的取值范围. 【答案】（1） ， 证明：根据题意，将代入直线中，得， 解得； 将代入中，得， 故直线必过点； （2）， 两直线m的图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式求解即可； （2）先求得交点坐标，进而求得k值，根据函数解析式画函数图象即可； （3）先求得直线经过点时的k中，再结合图象可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，直线， 由得，∴交点坐标为， 将代入中，得，解得， ∵直线经过点， 【小问3详解】 解：将代入中，得，解得， 如图， 由图可知，当时，直线与直线的交点总在点的右侧． 24. 综合与探究 问题情境： 如图1，在正方形中，，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图2，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由， 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在中，点，分别在，边上，且，，交于点，．判断与的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形中，点，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若，，请直接写出的最小值． 【答案】 （1），理由如下： 如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接 根据平移的性质可得，， ， ∵四边形为菱形，且， ， 与都是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接， 根据平移的性质可得，， ， 又，即， 为等边三角形， ， 在中， ∴； （３） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并善于运用给出的思路． （1）沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接，根据平移的性质和菱形的性质，得到边角相等，证出，即可得到结论； （2）如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接，利用平移的性质和平行线的性质得出为等边三角形，进而得到，最后利用三角形的三边关系即可得出结论； （3）沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接， 根据平移的性质和正方形的性质得出，然后利用三点共线线段的和最小，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3） 如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接， 根据平移的性质可得，， 又∵， ∴ ∴, ∵四边形为正方形，，， ， 在中，由勾股定理得, 由图1结论可得， ∴， ∵ ∴当点共线时，最小，即最小，最小值为的长度， ∴在中，由勾股定理得， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $