第一章 勾股定理（知识清单）数学北师大版2024八年级上册

第一章 勾股定理 一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 二、勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 三、勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 四、勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 五、平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 易错点1 利用勾股定理求线段的多解问题 1．在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为 ． 【答案】或 【分析】了勾股定理，分当在线段上时，当在线段延长线上时，再由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】由题意得：， 如图，当在线段上时，    ∴， 在中由勾股定理得：， 如图，当在线段延长线上时，    ∴， 在中由勾股定理得：， 综上可知： 的长为或． 2．如图，在中，，点P为射线上一点，将沿所在直线翻折，点C的对应点为点，如果点在射线上，那么 ． 【答案】/6 【分析】本题考查勾股定理，翻折等知识，分两种情况：点在上和点在延长线上，并分别画出图形，在中利用勾股定理列方程解出即可，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在直角三角形中， 由勾股定理，得 点为射线上一点，分两种情况： ①点在上时， 如图， 设由翻折可知 ， 在中， 由勾股定理，得 即 ， 解得： ②点在的延长线上时，如图， 设由翻折可知 在中， 由勾股定理，得 即 解得：， 故答案为：或6． 3．已知中，，，边上的高，求边的长． 【答案】的长为或． 【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况讨论：①当为锐角三角形时，②当为钝角三角形时，根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为锐角三角形时，如图： ∵， ∴， ∵，， 在中，， 在中，， ∴； ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴， ∵，， 在中，， 在中，， ∴， 综上所述，的长为或． 易错点2 利用勾股定理求折叠的多解问题 4．如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6/6或3 【分析】此题考查翻折变换(折叠问题)，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图，当时， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得：， ∴． 如图，当时，，    ∵， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为3或6． 故答案为：3或6． 5．如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、折叠综合问题，分类讨论：当时，当时，利用勾股定理及折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当时，如图：   ， 长方形沿折叠，使点落在点处， ， ， ∴， 当时，如图：    在中，，， ， 长方形沿折叠，使点落在点处， ，，， 点、、共线，即点在上，， 设，则，， 在中，， 即：， 解得， ∴， ∴， 故答案为：或． 6．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为：3或． 易错点3 利用勾股定理求路径最短问题 7．2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 【答案】50 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，进而求解即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图，则的长为滑行最短距离， （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为50（米）． 故答案为：50． 8．如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键． 根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图： 由题意得：， 由勾股定理有 故蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为： 9．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从盒外的点D沿正方体的盒壁爬到盒内的点M（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是勾股定理的应用—最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，在平面图形上构造直角三角形解决问题；画出侧面展开图，得出蚂蚁从盒外的D点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将立方体展开，得到如下图形，此时即为所求， 由题意，可知：， ∴； 故答案为：5． 易错点4 利用等面积法验证勾股定理问题 10． “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 11．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E． （1）求证：，； （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1）见解析；（2）方法一：；方法二：；见解析；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，，则求出后可列式计算得解． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； （3）由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 12．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种表示方法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到结论．这里用两种方法表示同一个量从而得到等式或方程，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 把两个全等的和按如图②所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．请用该图形证明勾股定理． 【方法迁移】 如图③，将长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端和，然后把中点竖直方向拉升至点，则橡皮筋被拉长了多少？ 【答案】【方法运用】证明见解析，【方法迁移】橡皮筋被拉长了 【分析】本题考查了证明勾股定理，勾股定理的应用．熟练掌握等面积法是解题的关键． （1）结合题意可得，，，根据，求解即可； （2）由点是的中点，，可得，是的垂直平分线．可得，由勾股定理，得，再进一步求解即可． 【详解】方法运用： 证明：，， ， ． 整理，得． 方法迁移： 解：点是的中点，， ，是的垂直平分线． ． ∵ 由勾股定理，得． ． 答：橡皮筋被拉长了． 易错点5 勾股定理与勾股定理逆定理的综合问题 13．为提升小区绿化率，现将如图所示的四边形区域进行改建，将四边形全部铺上草坪，草坪每平方米200元．经测量，，，，，． (1)求两点间的距离； (2)求铺设草坪的费用． 【答案】(1)15m (2)22800元 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理的公式是解题的关键． （1）连接，在中，由勾股定理即可求解； （2）先由勾股定理逆定理证明，再由求出面积，即可求出费用． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ． 答：，两点间的距离为． （2）解：，，， ，． ， ， ， 则（元）． 答：铺设草坪的费用为22800元． 14．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 15．综合与实践： 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． 请按要求完成下列任务： (1)判断支架与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，作图提示：过点作交的延长线于，延长交于，请按作图提示添加辅助线，若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到1cm，，） 【答案】(1)，理由见解析 (2)购物车把手到的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的特征等； （1）计算得出，由勾股定理逆定理可判定为直角三角形，即可求解； （2）过作交的延长线于，延长交于，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，由三角形面积得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， 为直角三角形， ， ； （2）解：过作交的延长线于，延长交于， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故购物车把手到的距离为． 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．若，，是的三边，则． B．若，，是的三边，则． C．若，，是的三边，，则． D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，灵活运用勾股定理以及逆定理成为解题的关键． 运用勾股定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、未限定为直角三角形，任意三角形三边不一定满足勾股定理，故错误，不符合题意； B、虽指明，但未明确直角对应的边．若直角边为a、b、斜边c，则满足；若c为直角边，则等式不成立．因未指定直角位置，结论不必然成立，故错误，不符合题意； C、已知，则a为斜边，应满足，而非，故错误，不符合题意； D、由变形得，再根据勾股定理逆定理可得以a为斜边的三角形为直角三角形，故正确，符合题意． 故选D． 2．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，， ∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为． 故选：C 3．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 二、填空题 4．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形较短的直角边，斜边， ∴另一条直角边为， ∵小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为7， 故答案为：7． 5．如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键． 根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图： 由题意得：， 由勾股定理有 故蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为： 6．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：，， ， 当点落在上时， 将沿直线折叠， ， ， ， ； 当点落在上时，如图2，连接，过点作于， ， ， ， ， ， 将沿直线折叠， ， ， ， ， 综上所述：的长为2或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 三、解答题 7．如图，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线所在直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】或 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论①当点E在线段上时，②当点E在线段延长线上时，点F作的平行线，交于点H，交于点G，先求出，再求出，设，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：①当点E在线段上时， 过点F作的平行线，交于点H，交于点G， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，则， ∵沿直线折叠得到， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 设，则，， 根据勾股定理可得：，即， 解得：， 即； ②当点E在线段延长线上时， 过点F作的平行线，交于点H，交于点G， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，则， ∵沿直线折叠得到， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 设，则，， 根据勾股定理可得：，即， 解得：， 即． 综上：或． 8．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)求证：． 【答案】(1)供水点到喷泉需要铺设的管道长为 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键，要注意勾股定理逆定理的格式． （1）在中，先利用勾股定理求出，从而求出，再在中，利用勾股定理求出； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据斜边所对的角是直角从而得到． 【详解】（1）解：由题意可知：， 在中，， ， ， 在中，， ， 供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）证明：，，， ， 是直角三角形，． 9．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动实践基地． (1)当班主任测量出八（1）班实践基地的三边长分别为，，时，二边的小明很快给出这块实践基地的面积．你求出的面积为_____． (2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，，如图，你能帮助他们求出面积吗? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用： （1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过A作于点．根据勾股定理列出方程，解方程求出，再根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， 该三角形为直角三角形，其中13为斜边， 这块实践基地的面积为， 故答案为：30； （2）解：过A作于点． 设，则． 在和 由勾股定理得： 即：， 解得， 在中，由勾股定理得， ． 10．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 【答案】(1)见解析 (2) (3)①② 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的推导以及勾股定理得结构特征． （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【详解】（1）证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理 一、勾股定理 直角三角形 . 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么 . 二、勾股定理证明 （1） ：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2） ：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3） ：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 三、勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长， ，那么这个三角形是 . 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定 . （2）验证与是否具有相等关系. ，则△ABC是 ；若，则△ABC . 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 四、勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的 ，称为 . 勾股数满足两个条件：① ② 五、平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将 ，利用 ，构造 ，利用 、 易错点1 利用勾股定理求线段的多解问题 1．在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为 ． 2．如图，在中，，点P为射线上一点，将沿所在直线翻折，点C的对应点为点，如果点在射线上，那么 ． 3．已知中，，，边上的高，求边的长． 易错点2 利用勾股定理求折叠的多解问题 4．如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 5．如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为 ． 6．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 易错点3 利用勾股定理求路径最短问题 7．2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 8．如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 9．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从盒外的点D沿正方体的盒壁爬到盒内的点M（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是 ． 易错点4 利用等面积法验证勾股定理问题 10． “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 11．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E． （1）求证：，； （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 12．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种表示方法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到结论．这里用两种方法表示同一个量从而得到等式或方程，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 把两个全等的和按如图②所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．请用该图形证明勾股定理． 【方法迁移】 如图③，将长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端和，然后把中点竖直方向拉升至点，则橡皮筋被拉长了多少？ 易错点5 勾股定理与勾股定理逆定理的综合问题 13．为提升小区绿化率，现将如图所示的四边形区域进行改建，将四边形全部铺上草坪，草坪每平方米200元．经测量，，，，，． (1)求两点间的距离； (2)求铺设草坪的费用． 14．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 15．综合与实践： 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． 请按要求完成下列任务： (1)判断支架与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，作图提示：过点作交的延长线于，延长交于，请按作图提示添加辅助线，若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到1cm，，） 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．若，，是的三边，则． B．若，，是的三边，则． C．若，，是的三边，，则． D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形． 2．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 3．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 4．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 5．如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 6．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为 ． 三、解答题 7．如图，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线所在直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． ∵四边形为矩形，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为矩形， ∴，， 8．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)求证：． 9．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动实践基地． (1)当班主任测量出八（1）班实践基地的三边长分别为，，时，二边的小明很快给出这块实践基地的面积．你求出的面积为_____． (2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，，如图，你能帮助他们求出面积吗? 10．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$