第二章 实数（单元测试·基础卷）数学北师大版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 实数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是二次根式，则a的值可能是（    ） A． B． C． D．0 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．在，，，，，，这六个数中，无理数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，在数轴上有四个点，则（   ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 9．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 10．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（    ） n A． B． C．只有3个正整数n满足 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 12．比较大小： 2．（填“”“”或“”） 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 14．若，则的立方根是 ． 15．将一组数，2，，，，，，，，按如图方式进行排列，则第七行最右边的数是 ． 16．定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 18．求x的值： (1)； (2)． 19．把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 20．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2) 21．已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 22．对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 23．如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 24．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 25．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章实数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 D B B D B A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.3 12.> 13.3 14.-1 15.2a 16.万或5 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分)》 17. 【详解】(1)解： =35-4x5+8 2 =35-25+25 =3w5 3分 (2)解：1-61+v6-5-32 =1-6-(5-6W5+9 116 命学科网·上好课 www,z×Xk,Com 上好每一堂课 =1-6-5+65-9 =6W5-19 6分 18. 【详解】（)解：原方程可化为x-=9, .x-1=3, 解得x=4或一2：a3分 (2)解：原方程可化为x-2引=-343 125, -2=- 5 解得X=了…6分 19. 33 【详解】(1)解：广22,25=5， 125 整数有： 、0: 2分 (2)解：分数有： 4分 (3)解：无理数有：一2、√27、0.101001001…（每两个1之间依次多一个0)。6分 20. 【详解】()解： a2-b2 =(a+b)(a-b) =3+V2+3-2(3+2-3+2 =6×2√2 216 命学科网·上好课 www.z×Xk,com 上好每一堂课 =12V2 3分 (2)解： a'-ab+b2 =(a-b12+ab =3+V2-3+2+3+23-2 =22+32-2 =8+9-2 =15.46分 21. 【详解】(1)解：，a的立方根是-2， a=-8, ,4的算术平方根是b, b=2, 25<29<36, :.V25<2四<v56m5<2四<6， :2g 的整数部分是5， 又是2四 的整数部分， c=5, 综上可知a=-8,b=2,C=5:4分 (2)解：a=-8,b=2,c=5, ∴.-a+3b-2c=8+6-10=4. .a-3b+C的平方根为士2.8分 22. 【详解】(1)解： 2O1=22-√2×1=4-√2 3/6 面学科网·上好课 www.z×Xk,com 上好每一堂课 -6o2=-6-2×2=6-2=4, 故答案为：4-5.44分 (2)解：由0Ox=8可得：(o-V2x=8, 解得：x=V反 8分 23. 【详解】（①)解：“点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为5,4B=2, m=-√2+2 (2)解：由数轴可知：0<m<1, .m-2<0,1-m>0, :m-2-l-m=2-m-1-m=1 4分 (3)解：：2c+4与-4互为相反数。 :2c+4+vd-4=0 又2c+4,V-4均为非负数，故2c+4=0且d-4=0, 即c=-2,d=4, :2c+5d=2x-2+5x4=4+20=16 .2C+5d的算术平方根4.8分 24. 11√36-15 【详解】(1)解： V36366, 5 故答案为：石：4分 4/6 而学科网·上好课 www,z×Xk,com 上好每一堂课 2n+1 V(n+02-1 (2)V (n+1)2 Vn+12 n+1(n为正整数)： 故答案为： n+1于8分 123 391 (3)原式2×兮×4×…X4040·12分 25. 【详解】解：(Da+V56=m+V5m, .a+3b=m+3n+23mn ∴.a=m2+3n2b=2mn 故答案为：m+3训.2m 。4分 (2)m+nmN5=m2+23mn+3n 由x+6W5=m+nV5 「2mn=6 得m2+3n2=x, 又“x,m,n为正整数 m=1 m=3 n=3 x=128分 或 n=1 x=281 (3)设8-25=m5-n5,m,n为正整数 :8-2压=-5m2+3n2-2m5 5m2+3n2=8 .mn=1 516 6 学科网好课 单元速记：巧练 www,z×Xk,com 知识归纳梳理，测试巩固提升 m=1 .n=1, 8-25=5-, V8-2w厉=5-5 故答案为： 5-5 12分 西 616 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 实数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是二次根式，则a的值可能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数必须是非负数是解题的关键．根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】若是二次根式，则被开方数需满足， 选项A、B、C均为负数，不符合条件； 选项D为0，满足，此时有意义，属于二次根式． 故选：D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．同类二次根式需满足化简后被开方数相同．将各选项化简后，判断被开方数是否与相同即可． 【详解】解：选项A：，结果为整数，不是二次根式，排除； 选项B：，被开方数为5，与同类； 选项C：已是最简形式，被开方数为10，与5不同，排除； 选项D：已是最简形式，被开方数为15，与5不同，排除； 故选B． 3．在，，，，，，这六个数中，无理数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根和立方根，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是小数，属于有理数； 是无理数； 是无理数； 是整数，属于有理数； 则无理数共有2个， 故选：B 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数,对各选项逐一分析即可作答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D 5．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的定义，根据算术平方根与立方根的定义，进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；     B、 ，故该选项正确，符合题意；     C、 ，故该选项不正确，不符合题意；     D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除计算法则求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：C． 7．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解：， ， 故选：A． 8．如图，在数轴上有四个点，则（   ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，根据无理数的估算，结合点在数轴上的位置，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点表示的数不可能是，故A错误； ∵， ∴点表示的数不可能是，故B错误； ∵， ∴， ∴点表示的数可能是，故C正确； ∵， ∴， ∴点表示的数不可能是，故D错误． 故选C． 9．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得程序式为， ∵， ∴ ， 故选：B． 10．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（    ） n A． B． C．只有3个正整数n满足 D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义及其小数点变化规律是解题的关键，根据表格中n与的对应关系，逐一分析选项的正误即可． 【详解】解：A中，由表格可知，，故A错误； B中，当时，，而，因此，故B错误； C中，由表格，，，满足的正整数需满足，即，共3个，故C正确； D中，表格中，则，故，故D错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根，理解其定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 12．比较大小： 2．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先比较两个实数的平方的大小是解题的关键． 先比较两个数的平方，然后比较其大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟知同类二次根式的概念是解题的关键； 题目已知两个二次根式是最简二次根式，故只需使两个二次根式的被开方数相同即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故答案为：3. 14．若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，再求的立方根． 本题考查了二次根式和完全平方式的非负性，立方根．解题关键是牢记两非负数和为0，即这两个数分别为0． 由可得：求出的值即可求解． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， ， 的立方根是， 故答案为：． 15．将一组数，2，，，，，，，，按如图方式进行排列，则第七行最右边的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中归纳出一般规律是解题的关键． 根据题意可知，前七行共有28个数，第n个数为：，据此求解即可． 【详解】解：∵第一行有1个数， 第二行有2个数， 第三行有3个 数， …… ∴第七行有7个数， ∴前七行共有数的个数为：， 这组数第1个数为：， 第2个数为： 第3个数为： 第4个数为： 第5个数为： 第6个数为： …… 第n个数为：， ∴第七行最右边的数． 故答案为：． 16．定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键． 分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：分两种情况： ①当为最大线段时， 点 、是线段的勾股分割点， ； ②当为最大线段时， 点、是线段的勾股分割点， ． 综上所述：的长为或5． 故答案为：或5． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式除法和化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根的定义解方程，熟知平方根和立方根的定义是解答的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：原方程可化为， ∴， 解得或； （2）解：原方程可化为， ∴， 解得． 19．把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 【答案】(1)、、0 (2)、、 (3)、、（每两个1之间依次多一个0） 【分析】本题主要考查了实数的分类、无理数、有理数之间的关系，立方根，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数． （1）根据整数的定义进行填空即可； （2）根据分数的定义进行填空即可； （3）根据无理数的定义进行填空即可． 【详解】（1）解：，， ∴整数有：、、0； （2）解：分数有：、、； （3）解：无理数有：、、（每两个1之间依次多一个0）． 20．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查二次根式的运算、求代数式的值，利用平方差公式和完全平方公式计算是解题的关键． （1）先利用平方差公式分解因式，再计算即可； （2）将所求式子变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解：          ； （2）解：          ． 21．已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， ∵4的算术平方根是， ∴， ∵， ∴即， ∴的整数部分是5， 又是的整数部分， ∴， 综上可知，，； （2）解：∵，，， ∴． ∴的平方根为． 22．对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 23．如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)1 (3)的算术平方根为4 【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根平方根的含义等知识点． （1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）由数轴可知：，再根据绝对值的意义化简即可； （3）根据非负数的性质求解，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为，， ∴； （2）解：由数轴可知：， ∴，， ∴； （3）解：∵与互为相反数， ∴， 又，均为非负数，故且， 即，， ∴， ∴的算术平方根． 24．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． (1)根据题干中的已知等式即可求得答案； (2)根据已知等式总结规律即可； (3)根据所的规律先化简再算乘法即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（n为正整数， 故答案为：； （3）原式． 25．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，展开得到，然后根据，m，n为正整数进行求解； （3）先设，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；． （2） 由 得， 又，m，n为正整数 或 （3）设，m，n为正整数 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 实数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是二次根式，则a的值可能是（    ） A． B． C． D．0 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．在，，，，，，这六个数中，无理数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，在数轴上有四个点，则（   ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 9．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 10．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（    ） n A． B． C．只有3个正整数n满足 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 12．比较大小： 2．（填“”“”或“”） 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 14．若，则的立方根是 ． 15．将一组数，2，，，，，，，，按如图方式进行排列，则第七行最右边的数是 ． 16．定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 18．求x的值： (1)； (2)． 19．把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 20．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2) 21．已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 22．对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 23．如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 24．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 25．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$