第21章 二次根式（复习课件）数学华东师大版2024九年级上册

单元复习课件 第21章 二次根式 华师大版2024·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.深入理解二次根式的概念，精准判断给定式子是否为二次根式，明晰被开方数为非负数这一关键条件，并能熟练确定二次根式中字母的取值范围。 3.能够正确、迅速地进行二次根式的混合运算，运算结果要化为最简二次根式。 2. 透彻掌握二次根式的性质，能够灵活运用这些性质对二次根式进行化简与变形。 单元学习目标 a a －a 小于2 同类 合并 括号 单元知识图谱 1．二次根式的概念 一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式； 对于二次根式的理解： ①带有根号；②被开方数是非负数,即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 2．二次根式的性质 考点串讲 3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含_______； (2)被开方数中不含能___________的因数或因式． 开得尽方 分母 4．二次根式的运算 ＝______(a≥0，b≥0)； ＝____(a≥0，b>0)． 二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____________，再______________的二次根式进行合并． 被开方数相同 最简二次根式 考点串讲 1.【2024黑龙江绥化中考】若式子有意义，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意得，解得 .故选C. 考点一、二次根式的定义与性质 2.【2024四川乐山中考】已知，化简 的结果为( ) B A. B.1 C. D. 【解析】， .故选B. 3.【2024山东烟台中考】若代数式在实数范围内有意义，则 的取值范围为 ______. 【解析】由题意，得，解得.故答案为 . 考点串讲 7 4.【2024内蒙古包头中考】计算 所得结果是( ) C A.3 B. C. D. 【解析】 .故选C. 考点二、二次根式的运算 5.【2024重庆中考B卷】估计 的值应在( ) C A.8和9之间 B.9和10之间 C.10和11之间 D.11和12之间 【解析】 ， ，， .故选C. 考点串讲 8 6.【2024四川德阳中考】将一组数，2，，，，， ，， ， 按以下方式进行排列： 第一行 第二行 第三行 则第八行左起第1个数是( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可得前七行所有的数的总个数为 ， 则第八行左起第1个数是第29个数，即 .故选C. 考点二、二次根式的运算 考点串讲 9 7.【2024天津中考】计算 的结果为____. 10 【解析】原式 ，故答案为10. 8. 开放性试题【2023山东潍坊中考】从，， 中任意选择两个数， 分别填在算式里面的“”与“ ”中，计算该算式的结果是 _ _______________________.（只需写出一种结果） （答案不唯一） 【解析】若“”内填入，“”内填入 ，则 ；若“”内填入，“ ”内填入， 则；若“ ”内填入， “”内填入，则 .故答 案为 （答案不唯一）. 考点二、二次根式的运算 考点串讲 10 9.【2024吉林中考】先化简，再求值：，其中 ． 【解】 . ， 原式 ． 考点二、二次根式的运算 考点串讲 11 10.【2023湖南张家界中考】阅读下面材料：将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，， ， .则 .例如：当，时， . 考点三、二次根式的应用 根据以上材料解答下列问题： （1）当，时，_________， __________； 【解析】 ， . 当，时，, . 故答案为, . 考点串讲 12 （2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中 是正整 数，从（1）中的计算结果，你能猜出 等于多少吗？并证明你的猜想； 【解】 . 证明：当, 时， . （3）当，时，令，，， ， ，且，求 的值. 【解】当， 时， . 考点串讲 13 类型1 运用二次根式的非负性求值 1.【2024河南新乡期中】 （1）已知，是有理数，若，求 的平方根； 【解】由题意，得，，且，解得 ， ，，的平方根是 . 题型、二次根式的化简求值 （2）已知，是等腰的两边长，且满足 ，求 的周长. 【解】， ,即 ，，，，.当 为腰 长时，三边长分别为1，1，3，不符合三角形三边关系，舍去；当 为腰长时， 三边长分别为3，3，1，符合三角形三边关系，的周长为 . 题型剖析 14 类型2 运用数形结合法化简 2.如图，点在数轴上对应的数为，且点在， 两点之间.化简： . 【解】由数轴知 ， . 题型剖析 15 类型3 巧用乘法公式化简求值 3.【2024北京东城区期末】已知， ，求代数式 的值. 【解】， 当， 时， 原式 . 题型剖析 16 4.【2023浙江杭州拱墅区期中】已知， ，试求下列 式子的值： （1） ； 【解】，， . （2） . 【解】，， ，则 . 题型剖析 17 类型4 巧用分母有理化化简求值 5.【2023四川凉山州期末】已知，，则 的值为 _____. 【解析】， ， , , . 题型剖析 18 6.【2023陕西西安碑林区质检】已知，，则 的 值为___. 2 【解析】， ， ， ， . 题型剖析 19 类型5 巧用整体代换化简求值 7.【2023江苏扬州江都区期末】请阅读下列材料：问题：已知，求代数式 的值.小明的做法：根据得，， . 把的值整体代入，得 .即把已知条件 适当变形，再整体代入解决问题. 仿照上述方法解决问题： （1）已知，求代数式 的值； 【解】，，，即 ， ， . （2）已知，求代数式 的值. 【解】，， ， ，，， ， . 题型剖析 20 类型6 巧用配方法化简双重二次根式 8.【2024四川达州渠县期中】当 时，化简 的结果为___. 2 【解析】当 时， ， ， . 题型剖析 21 9.【2024河南南阳期中】计算： ___. 2 【解析】 ， ， . 题型剖析 22 一、选择题 1.［2025重庆万州区校级期中］下列各式是二次根式的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项，被开方数 是负数，没有意义，故此选项不符合题意；B选项， 是二次根式，故此选项符合题意；C选项，被开方数 是负数，没有意义， 故此选项不符合题意；D选项，根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意. 故选B. 2.［2025陕西榆林期中］若二次根式有意义，则 的值可以为( ) A A.7 B.6 C.0 D. 【解析】要使二次根式有意义，则，解得，故 的值可以是7. 故选A. 针对训练 23 3.［2024黑龙江绥化期末］下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选项 判断根据 结论 A 中被开方数含有分母 此选项错误 B 中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数 此选项正确 C 中被开方数可以开方 此选项错误 D 中0.8是小数也是分数，即被开方数含有分母 此选项错误 故选B. 针对训练 24 4.［2024广东深圳龙华区期末］下列运算中，正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，被开方数不同,不能合并，此选项错误；B选项，被开方数不同, 不能合并，此选项错误；C选项， ，此选项正确；D选项， ，此选项错误.故选C. 5.［2024山东滨州期末］若，则 与1的关系是( ) B A. B. C. D. 【解析】，，解得 .故选B. 上分技巧 二次根式的双重非负性 ①二次根式本身大于等于0；②二次根式的被开方数大于等于0. 针对训练 25 6.［2024四川内江期中］已知，，则用含, 的式子表示为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 故选D. 针对训练 26 7.［2024浙江杭州拱墅区月考］如图，长方形内有两个相邻的正 方形（空白部分），其面积分别为1和6，则图中阴影部分的面积 为( ) B A. B. C. D. 【解析】 两个正方形的面积分别为1和6， 它们的边长分别为1和 .由题图可 知，由阴影部分和小正方形组成的长方形的长为大正方形的边长 ，宽为小正方 形的边长1， 阴影部分的面积为 ，故选B. 针对训练 27 8.［2025河南郑州管城区校级月考，中］如图， 点是以点为圆心， 长为半径画的弧与数轴 负半轴的交点，点是以点为圆心， 长为半 B A. B. C. D. 【解析】根据勾股定理，得， ， 径画的弧与数轴正半轴的交点，数轴上点，表示的数分别为， ，则 的值为( ) ，，，， .故选B. 针对训练 28 9.分类讨论［2024浙江宁波奉化区期末，中］已知，， 表示取三个数 中最大的那个数，例如：当时，，，，， .当 ，，时， 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】当，，时，①令，解得，此时 ， 符合题意；②令，解得（负值已舍去），此时 ，不合题 意；③令，此时，不合题意.故只有当时，， ， .故选C. 针对训练 29 10.［2024重庆校级月考，偏难］一般地，如果为正整数，且 ，那 么叫做的次方根.例如：，,的四次方根是 .则下列 结论： 是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若 ，则 的三次方根是 ；④当时，整数 的二次方根有 4 052个.其中正确的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 针对训练 30 【解析】， 是81的四次方根,故①正确；任何实数都有唯一的奇次方 根，故②正确； ， 的三次方根是 ，故③正确； ， ， 而，， 非负整数 有2 026 个，其中0的二次方根是0， 整数 的二次方根有4 051个，故④不正确.故选C. 针对训练 31 二、填空题 11.［2024贵州贵阳期中］已知最简二次根式与可以合并，则 的值为 ____. 【解析】 最简二次根式与可以合并，与 是同类二次根 式，，解得，故答案为 . 12.开放性问题［2024湖南长沙芙蓉区期末］如果一个无理数与 的积是一个有 理数，写出 的一个值是__________________. （答案不唯一） 【解析】时，，故答案为 （答案不唯一）. 针对训练 32 13.［2024江苏常州期末］如果，那么 _____. 【解析】，，，， ， .故答案为 . 14.［2024浙江杭州拱墅区期中］若6，8， 为三角形的三边长，则化简 的结果为________. 【解析】，8，为三角形的三边长，，即 ， .故答案为 . 针对训练 33 15.跨学科问题［2024山东德州期末，中］电流通过导线时会产生热量，电流 （单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量 （单位：）满足.已知导线的电阻为 ，导线产生的热量，则 ____A. 【解析】，导线的电阻为 ，导线产生 的热量， ，故，则.故答案为 . 针对训练 34 16.［2025上海闵行区校级月考，偏难］已知， ，且 ，则正整数 的值为___. 2 【解析】 ， ， ，.将代入 ,得 ，化简得 ， ， （负值已舍去）， ，解得 .故答案为2. 针对训练 35 三、解答题 17.［2024河南郑州期末］计算： （1） . 【解】原式 . （2） . 【解】原式 . （3） . 【解】原式 . （4） . 【解】原式 . 针对训练 36 18.［2024四川德阳月考］已知， ，求下列代数 式的值. 【解】， ， ， , . （1） ； 【解】 . （2） . 【解】 . 针对训练 37 19.新情境［2024江西吉安期末］（10分）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相 应的任务. 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契 数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）.后来人们在研究它的过程中， 发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿 菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在 实际生活中也有广泛的应用. 斐波那契数列中的第个数可以用表示（其中 ），这是 用无理数表示有理数的一个范例. 任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数. 针对训练 38 【解】第1个数:当 时， 原式 . 第2个数:当 时， 原式 . 针对训练 39 20.［2025河南郑州金水区校级期中］某班以“已知三角形三边的长度，求 三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1.我国南宋时期数学家秦九韶推出了利用三角形的三边长求三角形面积的秦九 韶公式：（其中，， 为三角形的三边长）. 材料2.古希腊的数学家海伦给出了求三角形面积的海伦公式： 其中，，为三角形的三边长， . 请你用适合的公式解决问题： 针对训练 40 （1）三角形的三边长分别为，，，则面积 为 ____； 【解析】，， ， . 故答案为 . 针对训练 41 （2）［中］如图，在四边形中，，，， ， ，求四边形 的面积. 【解】连结 在中，，， ， ，的面积为 . ，， ， ， 的面积为 ， 四边形的面积为 . 针对训练 42 21.［2025山东青岛期中］【问题探究】 （1）小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，， . 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的经验，类比探究了二次 根式的运算规律，请将探究过程补充完整： ① ；② ； ③_ ______________________________（填写一个符合上述运算特征的式子）. 【解析】由题中二次根式的运算特征可得 . 故答案为 （答案不唯一）. 针对训练 43 【发现规律】 （2）猜想：___________，且为整数 ，并证明. 证明： 左边 右边. 【解析】由运算规律可得,且为整数 . 故答案为 . 针对训练 44 【应用规律】 （3）［中］计算： . 【解】 . 针对训练 45 （4）［偏难］如果 的小数部分 是 ，那么整数部分为___. 5 【解析】 . 结果的小数部分为，即 ，解得 ， 经检验，是该分式方程的根且符合题意， 结果的整数部分为 . 故答案为5. 针对训练 46 22.探究性问题［2025上海浦东新区期末］（14分）我们在学习二次根式时，已经熟悉了分母有理 化及其应用,其实，还有一种方法叫做“分子有理化”,与分母有理化类似，分母和分子都乘分子的有 理化因式，从而消掉分子中的根式,比如： . 通过分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题. 例如：比较和 的大小可以先将它们“分子有理化”,如下： ; .因为，所以 . 再例如：求 的最大值.做法如下： 解：由，可知，而 ， 当时，分母有最小值2，所以 的最大值是2. 针对训练 47 【应用】 （1）比较和 的大小； 【解】 ， . ，， ， . 针对训练 48 【拓展】 （2）［偏难］求 的最大值和最小值. 【解】由，， 得 . 当时，有最小值，则有最大值1，此时 有最大值1， 的最大值为2.当时，有最大值，则有最小值， 此时 有最小值0，的最小值为 . 针对训练 49 加 、减、乘、除 二 次 根 式 三个概念 两个性质 两个公式 四种运算 最简二次根式 同类二次根式 有理化因式 1. 2. 2. 1. 课堂总结 · eq \r(a) eq \r(\f(a,b)) eq \r(ab) $$