精品解析：浙江省金华市兰溪市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024学年第二学期期末测试 八年级数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. 9，5， B. 9，4， C. 9，，4 D. 9，，5 3. 如图，在四边形中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的对称轴为（ ）． A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下： 生产零件个数（个） 6 7 8 9 10 11 13 15 16 工人人数（人） 1 2 4 1 2 1 1 2 1 则工人生产的机器零件的中位数和众数分别是（ ）． A. 7，10 B. 8，10 C. 8，9 D. 9，8 6. 如图，已知是反比例函数上一点，轴与点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（ ）． A. B. 1 C. 4 D. 7. 如图，是对角线的交点．已知的周长为50，，，则的长为（ ）． A. 18 B. 20 C. 22 D. 26 8. 为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接、．若已知的值，则能求出的三角形面积是（ ）． A. 三角形 B. 三角形 C. 三角形 D. 三角形 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 12. 一组数据5，6，7，8，9的方差为_______． 13. 已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为________． 14. 如图，在中，，，若，则________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的点在轴上，点在轴上，点的坐标为．若反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．则的值为________． 16. 如图，点是对角线的中点，沿过点的直线将折叠，使点，分别落在、处，交与点，若点是的中点，，，则________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 某校团委要招聘一名节目主持人，、、三位同学报名并参加了3个项目的素质测试，测试成绩如下表（单位：分）． 知识积累 人文素养 实践经验 80 78 82 78 86 79 79 87 74 （1）计算得同学的总成绩的平均分为80分，请求出、两同学的平均分； （2）对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经验的成绩按的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？ 20. 如图，已知中，．小明用圆规和直尺作出四边形的过程如下： ①分别以、为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点； ②作射线，交于点； ③以点为圆心，为半径画弧，交射线于点； ④连接、． 依据上述得到的图形，解答下列问题： （1）判断四边形是什么特殊四边形，并给出证明； （2）若，，于点，求的长． 21. 五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少．据统计，5月1日的游客人数为万人，5月3月的游客人数为万人． （1）求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率； （2）5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？ 22. 如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，连接、． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若为轴上一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 23. 某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱．若每天的销售量为（箱），销售价格为（元/箱）． （1）求与之间的关系式； （2）是否存在，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由． （3）当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】 24. 如图，在正方形中，点、分别在、上，，与相交于点，连接． （1）求证：； （2）若点为的中点． ①当时，求的值； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期末测试 八年级数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 2. 一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. 9，5， B. 9，4， C. 9，，4 D. 9，，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数，），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【详解】解：由得， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，， 故选：B． 3. 如图，在四边形中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直的定义得出，再利用四边形内角和定理列式计算即可求出的度数 ． 【详解】解：   四边形的内角和为，且    ． 4. 抛物线的对称轴为（ ）． A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解． 【详解】解：抛物线的表达式为，其中，， 代入对称轴公式得：， 因此，抛物线的对称轴为直线， 故选A． 5. 车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下： 生产零件个数（个） 6 7 8 9 10 11 13 15 16 工人人数（人） 1 2 4 1 2 1 1 2 1 则工人生产的机器零件的中位数和众数分别是（ ）． A. 7，10 B. 8，10 C. 8，9 D. 9，8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，正确理解定义并会求众数和中位数是解题的关键．一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数，居中的一个数据或两个数据的平均数是这组数据的中位数，根据定义解答． 【详解】解：根据题意，这组数据中的8出现4次，且次数最多，故这组数据的众数是8个， 这组数据中共有15个数据，居中的一个数是9， 故这组数据的中位数是9个， 故选：D． 6. 如图，已知是反比例函数上一点，轴与点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（ ）． A. B. 1 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值． 【详解】解：连接， 轴， 轴， ，即：， ，或（舍去）， 故选：D． 7. 如图，是对角线的交点．已知的周长为50，，，则的长为（ ）． A. 18 B. 20 C. 22 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等，对角线互相平分是解题的关键．先根据平行四边形的性质得到，再根据的周长为50求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵的周长为50， ∴， ∴， 故选C． 8. 为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 即， 故选：． 9. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ①若点A、点B同在第二或第四象限， ∵， ∴a-1＞a+1， 此不等式无解； ②若点A在第二象限且点B在第四象限， ∵， ∴， 解得：； ③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能． 综上，的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏． 10. 如图，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接、．若已知的值，则能求出的三角形面积是（ ）． A. 三角形 B. 三角形 C. 三角形 D. 三角形 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点H，根据直角三角形与正方形性质得，，，得四边形是矩形，得，得的值已知，可求． 【详解】解：延长交于点H， ∵在、正方形和正方形中，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的值已知， ∴可以求出． 故选：A． 【点睛】此题主要考查勾股定理．熟练掌握勾股定理，直角三角形性质，正方形的性质，矩形的判定和性质、三角形面积公式，是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得： ， 解得． 12. 一组数据5，6，7，8，9的方差为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的定义列式计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， ∴这组数据的方差为， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义与计算公式． 13. 已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，求二次函数解析式时,要根据条件选择简单的形式求解．①已知三点时，设一般式：（）；②已知顶点和一点时，设顶点式：（），其中顶点为，a为待定系数；③已知与x轴的两交点时，设交点式：（），其中分别为两交点的横坐标，a为待定系数． 已知顶点，一般应该设抛物线解析式的顶点式，只需要求待定系数a的值即可确定解析式． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴， 又由二次函数图象与轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，若，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由，可证明，然后利用对应边成比例即可解决问题． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的点在轴上，点在轴上，点的坐标为．若反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数解析式的求解．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质确定点C的坐标． 过D作x 轴垂线，构造全等三角形；利用正方形角的关系证明三角形全等，求出、的长度；同理构造另一组全等三角形，求出点C的坐标；将点C坐标代入反比例函数，计算得k 值． 【详解】过点D作轴于点M，则． ∵四边形是正方形， ∴， ∴．又， ∴．又, ∴，则，． 而，所以． 过点C作轴于点N，同理可证， ∴，，， 因此，点C的坐标为，代入反比例函数，得． 故答案为：3． 16. 如图，点是对角线的中点，沿过点的直线将折叠，使点，分别落在、处，交与点，若点是的中点，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，由题意可得，根据平行线的性质与三角形中位线的性质可得，，再由折叠的性质可得，，由此证得为等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 又点O是的中点，点是的中点， ， ，， 由折叠可得：，， ， 为等腰三角形， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的中位线性质、等腰三角形的判定与性质、折叠性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简与混合运算以及平方差公式，正确运算是解决本题的关键． （1）将二次根式化简并计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程化为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 19. 某校团委要招聘一名节目主持人，、、三位同学报名并参加了3个项目的素质测试，测试成绩如下表（单位：分）． 知识积累 人文素养 实践经验 80 78 82 78 86 79 79 87 74 （1）计算得同学的总成绩的平均分为80分，请求出、两同学的平均分； （2）对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经验的成绩按的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？ 【答案】（1）B：81分；C：80分 （2） A：（分）； B：（分）； C：（分）； 比较三位同学的得分：， 同学应聘成功． 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算及应用．解题的关键是根据不同的问题情境，正确选择对应的平均数计算方法，明确算术平均数是各数据之和除以数据个数，加权平均数需结合各数据的权重进行计算． （1）先算出同学三个项目成绩的总和，再分别除以3得到平均分． （2）根据的比例确定各项目权重，分别计算三位同学的加权得分，最后比较得分高低确定成功者． 【小问1详解】 解：（分）；（分） 答：两同学的平均分别是81分与80分． 【小问2详解】 略 20. 如图，已知中，．小明用圆规和直尺作出四边形的过程如下： ①分别以、为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点； ②作射线，交于点； ③以点为圆心，为半径画弧，交射线于点； ④连接、． 依据上述得到的图形，解答下列问题： （1）判断四边形是什么特殊四边形，并给出证明； （2）若，，于点，求的长． 【答案】（1） 四边形是菱形， 证明：连接， 由作图可得， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵由作图可得， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理，线段垂直平分线的判定等知识点，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据作图可得是的垂直平分线，以及，即可证明其为菱形； （2）先由勾股定理求解，再由面积法得到，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 21. 五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少．据统计，5月1日的游客人数为万人，5月3月的游客人数为万人． （1）求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率； （2）5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？ 【答案】（1） （2）万人 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为，根据5月1日和5月3日的人数建立方程求解即可； （2）设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天为人，根据5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为， 由题意得， 解得：，（舍去） 5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为． 【小问2详解】 解：设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天为人， 由题意得， 解得：， 答：平均每天游客人数最多是万人． 22. 如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，连接、． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若为轴上一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）根据一次函数解析式求出点B坐标，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点A和点C坐标，再根据列式求解即可； （3）根据（2）所求可得，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， 把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． 23. 某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱．若每天的销售量为（箱），销售价格为（元/箱）． （1）求与之间的关系式； （2）是否存在，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由． （3）当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】 【答案】（1） （2） 解：不存在，理由如下： 由， 化简得：， ，方程无解， 销售利润不可能达到600元 （3）当（元/箱）时，销售利润最大值为450元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出，化简即可； （2）化简之后利用根的判别式求解即可； （3）先求出，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴与之间的关系式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∵， 当（元/箱）时，销售利润最大值为450元． 24. 如图，在正方形中，点、分别在、上，，与相交于点，连接． （1）求证：； （2）若点为的中点． ①当时，求的值； ②证明：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）①； ②如图，过点M作于点G，交于点H，则，， 由①得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得，从而得到，即可求证； （2）①根据勾股定理可得，然后根据，可得到，从而得到，即可求解；②过点M作于点G，交于点H，则，，根据勾股定理可得，然后根据，可得，从而得到，，然后利用勾股定理可得，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $