第04讲 认识实数 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（北师大版2024）

第04讲 认识实数 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1生活中存在不是有理数的数 2无理数的概念 3实数的相关概念和性质 4实数与数轴的关系 题型巩固 一、无理数 二、无理数的大小估算 三、实数概念理解 四、实数的分类 五、实数的性质 六、实数与数轴 七、实数的大小比较 八、勾股定理与无理数 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1生活中存在不是有理数的数 在七年级上学期，我们学习了有理数。随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，现实生活中存在大量不是有理数的数。如图2-1-1，用剪拼的方法将两个边长为1 的小正方形拼成如图2-1-2 边长为的大正方形，由拼法可知=2. 拼成的面积为 2 的大 正方形的面积在面积为 1 和面积为4 的两个正方形的面积之间，则它的边长也必然在 1 和 2 之间，既不是整数，也不是分数 . 知识点2无理数的概念 1. 无理数的概念  无限不循环小数称为无理数 ①小数；②位数无限; ③不循环，三者缺一不可 不是分数，是一个无理数 2.无理数的常见形式 (1)圆周率π 及一些含π 的数，如π， ，π-3 等； (2)具有特定结构的数，如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1)； (3)无理数与有理数的和、差，结果都是无理数，如π+2； (4)无理数乘或除以一个不为0 的有理数，结果是无理数，如2π，  等； (5)开方开不尽的数的方根(下节会学到)。 知识点3实数的相关概念和性质 1. 实数: 有理数和无理数统称为实数. 在实数范围内，一个数 不是有理数就是无理数 2.实数的分类 (1)按概念分类 (2)按正负性分类 3. 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 表示 性质 相反数 实数 的相反数是 －. ， b 互为相反数←→ ＋b=0 绝对值 实数 的绝对值表示为 ||. (1) ||= (2) || ≥ 0. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ||=|－| 倒数 实数 与 互 为 倒数(其 中 ≠ 0) . (1) ， b 互为倒数←→ b=1 (2)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数 4. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 知识点4实数与数轴的关系 1.实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的.“一一对应”包含两层含义： (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； (2)数轴上的每一个点都表示一个实数 . 2.实数的大小比较 (1)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 (2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 题型巩固 题型一、无理数 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各数中是无理数的是（　　） A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有 个无理数． 题型二、无理数的大小估算 3．（2025·天津·模拟预测）估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知，则整数的值为 ． 5．观察如图，每个小正方形的边长均为1． (1)图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？ (2)估计（1）中正方形边长的值在哪两个整数之间； (3)在数轴上作出此边长的对应点． 题型三、实数概念理解 6．（22-23八年级上·广东河源·期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习） 和 统称为实数． 8．（22-23八年级上·福建三明·期中）把下列各数填入相应的括号内： (1)无理数：{                  …}； (2)负实数：{                  …}； (3)整  数：{                  …}； (4)分  数：{                  …}； 题型四、实数的分类 9．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）实数，，，，，0.12，中，分数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．7个 10．（22-23八年级上·全国·课前预习）任何有限小数或无限循环小数都是 ． 11．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）把下列各数填入相应的集合内： （两个1之间依次多一个0） (1)整数集合{_________}； (2)无理数集合{_________}． 题型五、实数的性质 12．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·福建漳州·期中）化简： 题型六、实数与数轴 14．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）与数轴上的点一一对应的是（   ） A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数 15．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，将半径为2的圆从点A沿数轴向左滚动一周到达点B，若点A对应的数值为2，则点B对应的数值为 ． 16．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，数轴上表示数1和的点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x，请你写出数x的值． 题型七、实数的大小比较 17．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在实数0，，，3中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D．3 18．（22-23八年级上·吉林长春·期中）比较大小：3 ．（填“”“”或“”） 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)和； (2)和． 题型八、勾股定理与无理数 20．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是 ． 22．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）请在数轴上用尺规作出对应的点． 分层强化 一、单选题 1．下列四个实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数 C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0 3．下列实数中，是无理数的是（    ） A．1 B． C． D． 4．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．若，则实数a在数轴上的对应点一定在（    ） A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧 6．的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 7．下列整数与最接近的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．比较大小： （填，或）． 10．化简： ． 11．在数中，无理数共有 个． 12．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 ． 13．如图，以一个单位长度为边向上作正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线为半径作半圆，交数轴于点A，则点A表示的数为 ． 14．如图， 已知，则数轴上点 M表示的数为 ． 15．司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 三、解答题 16．把下列各数写入相应的集合内：，，，0.26，，0.10，5.12，，． (1)有理数集合：{          }； (2)正实数集合：{          }； (3)无理数集合：{          } 17．估算下列数的大小： （1）（结果精确到）；                 （2）（结果精确到）． 18．通过估算，比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 19．（1）如图①，数轴上的点A、B表示的数分别是什么？ （2）利用（1）中的方法，在图②数轴上分别描出表示，的点． 20． 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 21．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数： ，，，0，，， 其中，甲说“”，乙说“”，丙说“” （1）甲、乙、丙三个人中，说错的是________． （2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；     22．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数； (3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 认识实数 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1生活中存在不是有理数的数 2无理数的概念 3实数的相关概念和性质 4实数与数轴的关系 题型巩固 一、无理数 二、无理数的大小估算 三、实数概念理解 四、实数的分类 五、实数的性质 六、实数与数轴 七、实数的大小比较 八、勾股定理与无理数 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1生活中存在不是有理数的数 在七年级上学期，我们学习了有理数。随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，现实生活中存在大量不是有理数的数。如图2-1-1，用剪拼的方法将两个边长为1 的小正方形拼成如图2-1-2 边长为的大正方形，由拼法可知=2. 拼成的面积为 2 的大 正方形的面积在面积为 1 和面积为4 的两个正方形的面积之间，则它的边长也必然在 1 和 2 之间，既不是整数，也不是分数 . 知识点2无理数的概念 1. 无理数的概念  无限不循环小数称为无理数 ①小数；②位数无限; ③不循环，三者缺一不可 不是分数，是一个无理数 2.无理数的常见形式 (1)圆周率π 及一些含π 的数，如π， ，π-3 等； (2)具有特定结构的数，如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1)； (3)无理数与有理数的和、差，结果都是无理数，如π+2； (4)无理数乘或除以一个不为0 的有理数，结果是无理数，如2π，  等； (5)开方开不尽的数的方根(下节会学到)。 知识点3实数的相关概念和性质 1. 实数: 有理数和无理数统称为实数. 在实数范围内，一个数 不是有理数就是无理数 2.实数的分类 (1)按概念分类 (2)按正负性分类 3. 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 表示 性质 相反数 实数 的相反数是 －. ， b 互为相反数←→ ＋b=0 绝对值 实数 的绝对值表示为 ||. (1) ||= (2) || ≥ 0. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ||=|－| 倒数 实数 与 互 为 倒数(其 中 ≠ 0) . (1) ， b 互为倒数←→ b=1 (2)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数 4. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 知识点4实数与数轴的关系 1.实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的.“一一对应”包含两层含义： (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； (2)数轴上的每一个点都表示一个实数 . 2.实数的大小比较 (1)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 (2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 题型巩固 题型一、无理数 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各数中是无理数的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．1是整数，属于有理数； B．是有限小数，属于有理数； C．，结果为整数，属于有理数； D．是无限不循环小数（无理数），除以有理数2后仍为无限不循环小数，因此是无理数； 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有 个无理数． 【答案】2 【知识点】无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的数要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：在数，，，，，（每两个之间依次多个），中， 无理数有2个，分别是：、（每两个之间依次多个）， 故答案为：2． 题型二、无理数的大小估算 3．（2025·天津·模拟预测）估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴的值在4和5之间， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知，则整数的值为 ． 【答案】6 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键．根据题意估算的大小，进一步可以得出答案． 【详解】解：， ， m为正整数，且， ． 故答案为：6． 5．观察如图，每个小正方形的边长均为1． (1)图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？ (2)估计（1）中正方形边长的值在哪两个整数之间； (3)在数轴上作出此边长的对应点． 【答案】(1)阴影正方形的面积是10，边长是； (2)在3与4之间； (3)见解析 【知识点】无理数的大小估算 【分析】（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长； （2）根据，可以估算出边长的值在哪两个整数之间； （3）因为，所以在数轴上以原点向右数出3个单位（为点作为直角三角形的一条直角边，过点作数轴的垂线并截取为1个单位长度，连接，求得，最后以点为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点即为所求． 【详解】（1）解：由图可知，图中阴影正方形的面积是：， 则阴影正方形的边长为：， 即图中阴影正方形的面积是10，边长是； （2）， ， 即边长的值在3与4之间； （3）如图， ． 【点睛】本题考查算术平方根、估算无理数的大小、正方形的面积与边长的关系，解题的关键是明确题意．利用数形结合的思想进行解答． 题型三、实数概念理解 6．（22-23八年级上·广东河源·期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】实数概念理解 【分析】无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中， 是无理数的有：，，，（每两个3之间依次多一个1）， ∴无理数的个数是4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式，熟记无理数的定义是解题的关键． 7．（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习） 和 统称为实数． 【答案】 有理数 无理数 【知识点】实数概念理解 【分析】根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数，进行作答即可． 【详解】解：根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数， 故答案为：有理数，无理数． 【点睛】本题考查实数的定义．熟练掌握有理数和无理数，统称为实数是解题的关键． 8．（22-23八年级上·福建三明·期中）把下列各数填入相应的括号内： (1)无理数：{                  …}； (2)负实数：{                  …}； (3)整  数：{                  …}； (4)分  数：{                  …}； 【答案】(1)无理数：； (2)负实数：； (3)整   数：； (4)分   数： 【知识点】实数概念理解 【分析】（1）根据无理数是无限不循环的小数判断即可； （2）根据负实数包括负有理数和负无理数判断即可； （3）根据整数包括正整数、0、负整数判断即可； （4）根据分数包括正分数和负分数判断即可． 【详解】（1）解：无理数：； （2）负实数：； （3）整   数：； （4）分   数：． 【点睛】本题考查了实数的有关定义，解题的关键是掌握相关定义． 题型四、实数的分类 9．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）实数，，，，，0.12，中，分数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．7个 【答案】B 【知识点】实数的分类 【分析】此题考查了实数的分类．计算立方根后，根据分数的意义进行判断即可． 【详解】解：实数，，，，，0.12，中，分数有，，0.12，，共4个， 故选：B 10．（22-23八年级上·全国·课前预习）任何有限小数或无限循环小数都是 ． 【答案】有理数 【知识点】实数的分类 11．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）把下列各数填入相应的集合内： （两个1之间依次多一个0） (1)整数集合{_________}； (2)无理数集合{_________}． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握实数的分类，是解题的关键： （1）根据整数包括正整数，负整数和零，进行作答即可； （2）根据无理数是无限不循环小数，进行作答即可。 【详解】（1）解：整数集合{}； （2）无理数集合{} 题型五、实数的性质 12．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的性质 【分析】该题考查了实数求相反数，根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 13．（24-25八年级上·福建漳州·期中）化简： 【答案】/ 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 题型六、实数与数轴 14．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）与数轴上的点一一对应的是（   ） A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数 【答案】D 【知识点】实数与数轴 【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的，解答即可． 本题考查了实数与数轴上的点的对应关系，熟练掌握这个关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得数轴上的点与实数是一一对应的． 故选：D． 15．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，将半径为2的圆从点A沿数轴向左滚动一周到达点B，若点A对应的数值为2，则点B对应的数值为 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数和数轴．首先利用圆的周长公式求得的长度，然后再由点A表示的数字可得到点B表示的数字． 【详解】解：∵圆的半径为2， ∴． 又∵点A对应的数是2， ∴点B对应的数是． 故答案为：． 16．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，数轴上表示数1和的点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x，请你写出数x的值． 【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．根据，利用数轴上两点间的距离公式列出关于x的方程，即可求得x的值． 【详解】解：因为点B到点A的距离与点C到点O的距离相等， 所以． 因为数轴上表示数1和的点分别为A，B， 所以． 设点C表示的数为x， 所以． 题型七、实数的大小比较 17．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在实数0，，，3中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键在于先求出无理数的范围．先估算的范围，再将四个实数比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 最大的实数是3， 故选：D． 18．（22-23八年级上·吉林长春·期中）比较大小：3 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数大小比较，利用平方比较大小即可．掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了比较实数的大小，熟练掌握比较两个实数大小的方法是解答此题的关键． （1）根据，即可比较大小； （2）根据，即可比较大小． 【详解】（1），， ． （2）， ， ． 题型八、勾股定理与无理数 20．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由图可得的长度和点到原点的长度，即可得出点到原点的距离，即可得到答案． 【详解】解：点表示的数为， 点到原点的距离为， 由图可得， 点到原点的距离为 点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为 即点所表示的数是， 故选：C． 21．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理和无理数，先用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：根据勾股定理可得：， ∵点在数轴上对应的数是0， ∴点表示的实数是， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）请在数轴上用尺规作出对应的点． 【答案】作图见解析 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理，尺规作图，利用勾股定理作出的长度是解题的关键． 构建直角三角形，然后用尺规在数轴上作图即可． 【详解】解：如图： 在数轴正半轴上找到表示的点； 过点作垂线，以为圆心，为半径画弧，交垂线于点，连接， ∴， 在数轴负半轴上找到表示的点； 过点作垂线，以为圆心，为半径画弧，交垂线于点，连接， ∴， 以为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴于点， ∴点表示的数为，即为所求． 分层强化 一、单选题 1．下列四个实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，解题的关键是要掌握：正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴四个实数中最大的是． 故选：D． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数 C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据实数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、无理数一定是实数，说法正确，故该选项符合题意； B、实数包括有理数和无理数，故该选项不符合题意； C、一个正数的算术平方根一定是正数，故该选项不符合题意； D、无理数不包括，故该选项不符合题意； 故选： A． 3．下列实数中，是无理数的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为分数形式的数，即可解答． 【详解】解：选项A：整数1可表示为分数，属于有理数． 选项B：无法表示为两个整数的比值，其小数部分无限不循环，属于无理数． 选项C：是分数形式，属于有理数． 选项D：是有限小数，属于有理数． 故选B． 4．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据无理数、分数的概念判断． 【详解】解：无限不循环小数是无理数， 错误． 是有理数， 错误． 是有理数， 错误． 也是无理数，不含根号， 错误． 是一个无理数，不是分数， 错误． 故选：． 【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键． 5．若，则实数a在数轴上的对应点一定在（    ） A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，分和两种情况，根据求出a的值即可得到答案． 【详解】解；当时， ∵， ∴，则，不符合题意； 当， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴实数a在数轴上的对应点一定在原点左侧， 故选：A． 6．的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，理解定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 7．下列整数与最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 根据立方根的定义估算即可． 【详解】解：， ， 与最接近的整数是， 故选：B． 8．如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 二、填空题 9．比较大小： （填，或）． 【答案】 【分析】此题主要考查了的是实数的大小比较，注意这里可以把原数化为根式形式，比较被开方数的大小． 先根据算术平方根的性质把化为的形式，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：． 10．化简： ． 【答案】 【分析】求一个数的绝对值．根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 11．在数中，无理数共有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解；由无理数的定义可得，无理数有，共2个， 故答案为：2． 12．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．先化简每个数，然后根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，， ，， 有理数有：0，，，，，共5个， 故答案为：5． 13．如图，以一个单位长度为边向上作正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线为半径作半圆，交数轴于点A，则点A表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上的点与实数是一一对应关系，根据勾股定理求出点表示的数是解题的关键． 应用勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得点表示的数为：， 故答案为： ． 14．如图， 已知，则数轴上点 M表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出的长是解题的关键，先根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再进一步解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点表示的数是． 故答案为：． 15．司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为4． 三、解答题 16．把下列各数写入相应的集合内：，，，0.26，，0.10，5.12，，． (1)有理数集合：{          }； (2)正实数集合：{          }； (3)无理数集合：{          } 【答案】(1)， ，0.26， 0.10，5.12 (2)，0.26，，0.10，5.12，， (3)， ， ， 【分析】（1）根据有理数的定义进行作答即可； （2）根据正数的定义进行判断即可； （3）根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】（1）有理数有：， ，0.26， 0.10，5.12 故答案为：， ，0.26， 0.10，5.12 （2），是负数，绝对值是正数 正实数有：，0.26，，0.10，5.12，， 故答案为：，0.26，，0.10，5.12，， （3）无理数有：， ， ， 故答案为：， ， ， 【点睛】本题考查了实数的分类，即实数分为正实数，零，负实数；实数还可以分为有理数和无理数，有理数包括正数和分数，无理数是无线不循环小数，熟练掌握有理数、无理数的定义是解题的关键． 17．估算下列数的大小： （1）（结果精确到）；                 （2）（结果精确到）． 【答案】（1）约为；（2）约为． 【分析】根据无理数的大小估算，即可解答． 【详解】解：（1）∵6.43=262.144， ∴≈6； （2）∵5.042=25.4016，5.072=25.7049， ∴≈5.07≈5.1． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近这些无理数的有理数是解题的关键． 18．通过估算，比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数大小比较，熟练掌握利用无理数的估算比较大小的方法是解题的关键． （1）两数平方，然后比较大小即可； （2）对和求立方，然后比较大小即可； （3）两数平方，然后估算无理数即可得解； （4）比较分子的大小即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ， ； （2）解：∵， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：∵， ， ， ． 19．（1）如图①，数轴上的点A、B表示的数分别是什么？ （2）利用（1）中的方法，在图②数轴上分别描出表示，的点． 【答案】（1）点A表示，点B表示；（2）见解析 【分析】（1）根据勾股定理，可得的长，进而得出数轴上A、B点对应的数； （2）根据勾股定理，，，可得表示，的点． 【详解】解：（1）如图①， 由勾股定理得，， ∴， ∴点A表示，点B表示； （2）如图②所示，点C表示的点，点D表示的点． 由（1）得， ∴，． 【点睛】本题考查了实数与数轴、勾股定理，利用勾股定理进行计算是解答此题的关键． 20． 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 21．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数： ，，，0，，， 其中，甲说“”，乙说“”，丙说“” （1）甲、乙、丙三个人中，说错的是________． （2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；     【答案】（1）甲；（2）正实数为，，负分数为 【分析】（1）根据无理数的概念即可判断； （2）根据实数相关概念填空即可． 【详解】（1）是负分数，即是有理数范围内的，不是无理数，故甲错； （2）正实数包括正有理数与正无理数，故答案为：、； 负分数为：． 【点睛】本题考查了实数的分类识别，明确基本概念并准确区分是解题关键． 22．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数； (3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合． 【答案】(1)的长在2和3之间 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合. 学科网（北京）股份有限公司 $$