第04讲 全等三角形 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（浙教版2024）

第04讲 全等三角形 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1 全等图形 2 全等三角形的有关概念 （重点） 3 全等三角形的性质 （重点） 题型巩 固 一、图形的全等 二、全等三角形的概念 三、全等三角形的性质 四、将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 分层强 化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1 全等图形 1.定义：能够重合的两个图形称为全等图形. 注意 两个图形是否为全等图形与图形的位置无关，唯一的标准是能够完全重合. 2.特点：全等图形的形状和大小都相同. 知识点2 全等三角形的有关概念 （重点） 1.全等三角形的概念及表示方法 定义 能够重合的两个三角形叫做全等三角形. 对应元素 对应顶点 两个三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点. A 和 A′ , B 和 B′ , C 和 C′ . 对应元素 对应边 两个三角形重合时，互相重合的边叫做全等三角形的对应边. BC 和 B′C′ ， CA 和 C′A′ ， AB 和 A′B′ . 对应角 两个三角形重合时，互相重合的角叫做全等三角形的对应角. ∠A 和 ∠A′ ， ∠B 和 ∠B′ ， ∠C 和 ∠C′ . 表示方法 “全等”可用符号“ ≅ ”来表示，读作“全等于”. △ABC 与 △A′B′C′ 全等，记做“ △ABC≅A′B′C′ ”，读做“三角形 ABC 全等于三角形 A′B′C′ ”. 注意 用符号“ ≅ ”表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上. 2.确定全等三角形对应元素的方法： （1）图形特征法： ①最长边对最长边，最短边对最短边. ②最大角对最大角，最小角对最小角. （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边. ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. （3）字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. ↓举例 (△ABC≅△DEF): 3.三种常见的全等类型： （1）平移型 （2）翻折型 （3）旋转型 知识点3 全等三角形的性质 （重点） 1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.几何语言：如图. ∵△ABC≅△DEF ， ∴AB=DE ， AC=DF ， BC=EF（全等三角形的对应边相等）， ∠A=∠D， ∠B=∠E ， ∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）. 注意 在运用全等三角形的这个性质时，关键是要结合图形或根据几何语言中字母的对应位置，正确地找到对应边或对应角. 全等三角形的其他性质 全等三角形的对应边上的高线、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等，但周长（或面积）相等的两个三角形不一定全等. 利用全等三角形的性质求角的度数的方法 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中角的对应关系，再由这种关系实现已知角与未知角之间的转换，从而求出所要求的角的度数. 题型巩固 题型一、图形的全等 1．如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 3．图中所示的是两个全等的五边形，，d=5，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值． 题型二、全等三角形的概念 4．下列说法正确的是（　　） A．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形 B．全等三角形是指面积相等的三角形 C．周长相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 5．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    6．如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 题型三、全等三角形的性质 7．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，，则CF的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 8．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，，，的延长线交于点若，，，则的周长为 ． 9．如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，．    (1)求的度数． (2)求与的周长和． 题型四、将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 10．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 11．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 12．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 分层强化 一、单选题 1．2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   4．如图，，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 6．如图，点在上，，若，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，已知，，则 度． 10．如图中的两个三角形全等，则的度数为 ． 11．如图，已知，点、、的对应点分别是点、、，点在边上，与交于点．如果，，则线段的长是 ． 12．如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 13．如图，已知，其中，则的度数是 ． 14．如图，，若，，，则的周长等于 ． 15．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 三、解答题 16．如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．    17．如图，，、分别为和上的点．求证：． 18．如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 19．如图，、相交于点，．求证：． 20．如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，求的度数． 21．如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形． 22．小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 全等三角形 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1 全等图形 2 全等三角形的有关概念 （重点） 3 全等三角形的性质 （重点） 题型巩 固 一、图形的全等 二、全等三角形的概念 三、全等三角形的性质 四、将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 分层强 化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1 全等图形 1.定义：能够重合的两个图形称为全等图形. 注意 两个图形是否为全等图形与图形的位置无关，唯一的标准是能够完全重合. 2.特点：全等图形的形状和大小都相同. 知识点2 全等三角形的有关概念 （重点） 1.全等三角形的概念及表示方法 定义 能够重合的两个三角形叫做全等三角形. 对应元素 对应顶点 两个三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点. A 和 A′ , B 和 B′ , C 和 C′ . 对应元素 对应边 两个三角形重合时，互相重合的边叫做全等三角形的对应边. BC 和 B′C′ ， CA 和 C′A′ ， AB 和 A′B′ . 对应角 两个三角形重合时，互相重合的角叫做全等三角形的对应角. ∠A 和 ∠A′ ， ∠B 和 ∠B′ ， ∠C 和 ∠C′ . 表示方法 “全等”可用符号“ ≅ ”来表示，读作“全等于”. △ABC 与 △A′B′C′ 全等，记做“ △ABC≅A′B′C′ ”，读做“三角形 ABC 全等于三角形 A′B′C′ ”. 注意 用符号“ ≅ ”表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上. 2.确定全等三角形对应元素的方法： （1）图形特征法： ①最长边对最长边，最短边对最短边. ②最大角对最大角，最小角对最小角. （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边. ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. （3）字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. ↓举例 (△ABC≅△DEF): 3.三种常见的全等类型： （1）平移型 （2）翻折型 （3）旋转型 知识点3 全等三角形的性质 （重点） 1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.几何语言：如图. ∵△ABC≅△DEF ， ∴AB=DE ， AC=DF ， BC=EF（全等三角形的对应边相等）， ∠A=∠D， ∠B=∠E ， ∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）. 注意 在运用全等三角形的这个性质时，关键是要结合图形或根据几何语言中字母的对应位置，正确地找到对应边或对应角. 全等三角形的其他性质 全等三角形的对应边上的高线、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等，但周长（或面积）相等的两个三角形不一定全等. 利用全等三角形的性质求角的度数的方法 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中角的对应关系，再由这种关系实现已知角与未知角之间的转换，从而求出所要求的角的度数. 题型巩固 题型一、图形的全等 1．如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】分析题目信息，要得到与另外三张不同的卡片，即依据全等图形的概念及旋转变换进行判断． 【详解】解：可知将选项A中的图形顺时针旋转180°，即可与选项B中的图形重合， 将选项B中的图形顺时针旋转90°，即可得到选项D中的图形， 故A、B、D中的三个图形全等， 分析C中图片人物，结合四个图片可以看出C选项中图形与其他三个不同． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形全等及变换，常见的图形变换包括平移、旋转、对称等几种情况，掌握图形全等的概念是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 【答案】/ 【知识点】图形的全等 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．图中所示的是两个全等的五边形，，d=5，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值． 【答案】a=12，b=10，c=8， e=11，． 【知识点】图形的全等 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角，以，为突破口，可得对应顶点、对应边与对应角，进而可得a，b，c，e，α各字母所表示的值． 【详解】解：观察两个图形可知，，， ∴A和G，E和F是对应点，进而可得： 对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H， 对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI； 对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F； ∵两个五边形全等， ∴，，， ，．   即a=12，b=10，c=8， e=11，． 【点睛】本题考查全等多边形的性质，掌握全等多边形对应顶点、对应边与对应角的概念是解题的关键． 题型二、全等三角形的概念 4．下列说法正确的是（　　） A．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形 B．全等三角形是指面积相等的三角形 C．周长相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 【知识点】全等三角形的概念 【详解】解：根据全等三角形的定义，能够完全重合的三角形是全等三角形， 故选：A. 5．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】②④ 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 6．如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 【答案】．对应角是：与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解  ． 因为与是对应角，所以其余的对应角是： 与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键． 题型三、全等三角形的性质 7．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，，则CF的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应线段相等，据此可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，，，的延长线交于点若，，，则的周长为 ． 【答案】6 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等，推出，，求出，由的周长求解即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， 的周长． 故答案为：． 9．如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，．    (1)求的度数． (2)求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （2）解：∵， ∴，， ∴与的周长和为 ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 题型四、将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 10．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 11．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 12．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 【答案】见解析 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可． 【详解】依题意，如图 【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键． 分层强化 一、单选题 1．2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等形“能够完全重合的两个图形叫做全等形”，熟练掌握全等形的定义是解题关键．根据全等形的定义即可得． 【详解】解：A、不是全等形，则此项不符合题意； B、不是全等形，则此项不符合题意； C、是全等形，则此项符合题意； D、不是全等形，则此项不符合题意； 故选：C． 2．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 3．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 4．如图，，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全等三角形性质推出，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握掌握全等三角形的对应角相等． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 5．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 6．如图，点在上，，若，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的性质．由题意可得，根据全等三角形的性质可得和 的值，从而可得答案． 【详解】解：根据题意可得， ，， ， 故选：A． 7．如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键． 根据全等三角形的性质得到，由即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：D ． 8．下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握能够完全重合的两个三角形是全等三角形是解题的关键，根据全等三角形的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：两个三角形全等，它们的形状相同；故①正确； 两个三角形全等，它们的大小相同；故②正确； 面积相等的两个三角形，不一定能完全重合，即不一定全等，故③错误； 周长相等的两个三角形不一定能完全重合，即不一定全等，故④错误； 故选B． 二、填空题 9．如图，已知，，则 度． 【答案】55 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得，结合已知角可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：55． 10．如图中的两个三角形全等，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质定理、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．如图，已知，点、、的对应点分别是点、、，点在边上，与交于点．如果，，则线段的长是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：20． 12．如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 13．如图，已知，其中，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据，可得，继而推导出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14．如图，，若，，，则的周长等于 ． 【答案】13 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为． 故答案为：13． 15．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 【答案】6 【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边. 【详解】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6. 【点睛】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单. 三、解答题 16．如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．    【答案】见解析 【分析】根据对应顶点，写出对应边和对应角即可． 【详解】解：∵，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点， ∴这两个三角形的对应边是：和，和，和； 对应角是：和，和，和． 【点睛】本题考查全等三角形的性质．正确的找出对应边和对应角，是解题的关键． 17．如图，，、分别为和上的点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 先由得出，即可得到． 【详解】证明：， ， ∵、分别为和上的点， ， ． 18．如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 【答案】的长度为或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长度为或． 19．如图，、相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，根据，可得到：和，根据角的和与差求出． 【详解】证明：， ，， ， ． 20．如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等性质证明是解题关键．先求出，再根据三角形全等得到，，进而求出，，然后根据三角形内角和定理可求结果． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 21．如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画全等图形，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义． 【详解】解：如图所示： 22．小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【答案】图形见详解 【分析】本题考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定等知识点．根据要求画出图形即可． 【详解】解：分割线如图所示： . 学科网（北京）股份有限公司 $$