精品解析：山东省德州市临邑县2024—2025学年下学期期末检测八年级数学试题

2024-2025学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本题共计10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　） A. 2 B. C. D. 3 6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交CD于点Q，分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7. 数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表： 年龄岁 岁 岁 岁 岁 人数人 那么对于不同的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（ ） A. 平均数、方差 B. 中位数、方差 C. 平均数、中位数 D. 众数、中位数 8. 已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，边长为2的正方形面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，点在边上，将沿对折得到，再将沿对折，与恰好重合．①；② ；③连接，则；④当时，．以上结论中，正确有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每题4分，共计24分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______． 13. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 14. 为了一座馆，奔赴一座城．某博物馆近两年的接待量逐年递增，该博物馆年接待量万人次，年接待量万人次．该博物馆这两年接待量的年平均增长率是__________． 15. 如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是________． 16. 小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程s（千米）与小鹿所用时间t（分）之间的函数关系，则图中m的值为________． 三、解答题（本题共计8小题，共计86分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图1中画一个，使； （2）在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的； （3）图2中的面积为_______． 19. 如图，在中，平分交对角线于点E，平分交对角线于点F，连接、． （1）若，求的度数； （2）求证：四边形为平行四边形． 20. 【阅读理解】 例：； ． 根据阅读解决以下问题： （1）已知，，化简a，b． （2）求的值． 21. 如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，-1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为(1，n)， (1)求n，k ，b值； (2)若函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值，则x的取值范围是多少？ (3)求四边形AOCD的面积； 22. 甲、乙两名队员参加射击选拔赛，他们两人10次射击训练的成绩情况如下： 甲队员：6，3，7，9，8，9，8，9，10，10； 乙队员的成绩如图． 根据以上信息，整理分析数据如下： 队员 平均数（环） 中位数（环） 众数（环） 方差（环） 甲 7.9 b 9 4.09 乙 a 7 7 d （1）表格中________，________； （2）求出d的值，并判断哪名队员的成绩更稳定？ （3）若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，你认为应选哪名队员？请结合表中的四个统计量，作出简要分析． 23. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元． （1）分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价． （2）某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍． ①该超市有哪几种进货方案？ ②若该超市每袋A粽子售价40元，每袋B粽子售价为55元，怎样进货可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为多少元？ 24. 【提出问题】 如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形复习题中有这样一道题： 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的 ．（此空不填） 小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题： 【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为a，则对角线和a的数量关系有： ； ②在菱形中，设其边长为a，则对角线和a的数量关系有： ； ③在矩形中，设，则对角线和a，b 的数量关系有： ； 【解决问题】（2）如图1，在中，设，猜想对角线和a，b的数量关系有： 并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，点M为的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本题共计10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，利用最简二次根式定义判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形为平行四边形，故A选项不符合题意； ∵，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定出四边形为平行四边形，故B选项不符合题意； ∵，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定出四边形为平行四边形，故C选项不符合题意； ∵，，根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形不能判定出四边形为平行四边形，故D选项符合题意； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标是，点B与点A关于原点对称， ∴点B的坐标是， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 5. 已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】把代入方程得即可解得． 【详解】把代入方程得， 解得． 故选：D． 【点睛】此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交CD于点Q，分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，再利用平行四边形的性质即可证明，即，即可求出，最后在中，利用勾股定理即可求出AE的长． 【详解】根据作图可知DE为的角平分线，即， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．理解题意，判断出DE为的角平分线是解答本题的关键． 7. 数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表： 年龄岁 岁 岁 岁 岁 人数人 那么对于不同的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（ ） A. 平均数、方差 B. 中位数、方差 C. 平均数、中位数 D. 众数、中位数 【答案】D 【解析】 【分析】由频数分布表可知后两组频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第个数据，可得答案． 【详解】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为岁，中位数为岁， 即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：D． 【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 8. 已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象性质，根据经过第几象限，从而判断的取值情况，据此即可作答． 【详解】解：A、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、三、四象限，得，自相矛盾，故舍去； B、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，自相矛盾，故舍去； C、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、三象限，得，自相矛盾，故舍去； D、、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，符合，该选项是正确的； 故选：D 9. 如图，边长为2的正方形面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、规律型以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的定义，找出规律是解题的关键．先根据题意求得前几个正方形的面积，再求出第．个正方形的边长为则即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，第一个正方形的边长为2， 是等腰直角三角形， 第二个正方形的边长为， 同理：第三个正方形的边长为， 第四个正方形的边长为， 第个正方形的边长为 故选：B． 10. 如图，在正方形中，，点在边上，将沿对折得到，再将沿对折，与恰好重合．①；② ；③连接，则；④当时，．以上结论中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和翻折的性质即可证明，即可判断①正确； ②先求出，再根据三角形内角和定理求出，即可判断②错误； ③根据和的边、上的高相等，，得出，判断③错误； ④先求出，，设，则可得，根据翻折可得，，再根据勾股定理可得x的值，进而证明，判断④正确． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ①由翻折可知： ，，，，，，，， ∴， ∴、F、E在同一直线上， ∴，故①正确； ②∵，， 又∵， ∴， ∴，故②错误； ③∵和的边、上的高相等， 又∵， ∴，故③错误； ④∵，， ∴， ∴， 设，则， 由翻折可知：， ∴， ∴在中，根据勾股定理，得： ， 解得， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、正方形的性质、三角形内角和定理应用，解决本题的关键是通过图形的性质找到边与边、角与角的关系． 二、填空题（共6小题，每题4分，共计24分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≥且x≠2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴2x-1≥0，x-2≠0， 解得x≥，且x≠2， 故答案为x≥，且x≠2． 【点睛】此题考查了代数式的取值范围，正确理解并掌握二次根式有意义的条件及分式有意义的条件是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标系中距离公式计算即可． 【详解】解：原点的坐标为， 点到原点的距离， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，过作垂直于地面，则，得到，即可得到． 【详解】解：如图，过作垂直于地面， ∵O是的中点，垂直于地面，垂直于地面， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为， 故答案为：60． 14. 为了一座馆，奔赴一座城．某博物馆近两年的接待量逐年递增，该博物馆年接待量万人次，年接待量万人次．该博物馆这两年接待量的年平均增长率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为，根据该博物馆年接待量万人次，用含的代数式表示出年接待量为，根据年接待量为万人，可列方程进行求解． 【详解】解：设该博物馆这两年接待量的年平均增长率是， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：该博物馆这两年接待量的年平均增长率是， 故答案为： ． 15. 如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可． 【详解】解：， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 16. 小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程s（千米）与小鹿所用时间t（分）之间的函数关系，则图中m的值为________． 【答案】22.5 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 求出小鹿的速度，从而求出二人共同休息的时间，设小晨的速度为v千米/分，根据二人同时到达休息点时距离图书馆的路程相等列关于v的方程并求解，进而求出m的值即可． 【详解】解：小鹿的速度为（千米分）， 则二人共同休息的时间为（分）， 设小晨的速度为v千米/分， 则二人同时到达休息点时，得， 解得， （分）， ， 故答案为：22.5． 三、解答题（本题共计8小题，共计86分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3；（2），． 【解析】 【分析】（1）先算小括号里面的除法和加法，再算括号外面的乘法； （2）根据因式分解法解方程即可求解． 本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程因式分解法，关键是熟练掌握相应的计算法则正确进行计算． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ，， 则，． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图1中画一个，使； （2）在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的； （3）图2中的面积为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及网格作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据网格特点画出，再作平行四边形即可； （2）根据中心对称，做出对称点即可作出平行四边形； （3）根据平行四边形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求； 【小问2详解】 如图所示即为所求； 【小问3详解】 的面积为 19. 如图，在中，平分交对角线于点E，平分交对角线于点F，连接、． （1）若，求的度数； （2）求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）80° （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据角平分线的定义，再根据平行四边形的性质求解即可； （2）根据平行四边形的性质证明，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 20. 【阅读理解】 例：； ． 根据阅读解决以下问题： （1）已知，，化简a，b． （2）求的值． 【答案】（1），； （2）14 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式、完全平方公式的应用，解的关键是能正确进行分母有理化、灵活运用乘法公式简化计算． （1）根据平方差公式将分子和分母都乘以相同的根式，即可求出答案； （2）先化简得出，然后整体代入即可计算； 【小问1详解】 解： ， ． 【小问2详解】 解：原式， 当，时， 原式， ， ， ． 21. 如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，-1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为(1，n)， (1)求n，k ，b的值； (2)若函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值，则x的取值范围是多少？ (3)求四边形AOCD的面积； 【答案】（1）n，k ，b的值分别为：2，3，-1；（2）x＞1（3） 【解析】 【分析】（1）对于直线y=x+1，令x=0求出y的值，确定出A的坐标，把B坐标代入y=kx+b中求出b的值，再将D坐标代入y=x+1求出n的值，进而将D坐标代入求出k的值即可； （2）由两一次函数解析式，结合图象确定出x的范围即可； （3）过D作DE垂直于x轴，如图1所示，四边形AOCD面积等于梯形AOED面积减去三角形CDE面积，求出即可； 【详解】解：（1）对于直线y=x+1，令x=0，得到y=1，即A（0，1）， 把B（0，-1）代入y=kx+b中，得：b=-1， 把D（1，n）代入y=x+1得：n=2，即D（1，2）， 把D坐标代入y=kx-1中得：2=k-1，即k=3， 故n，k ，b的值分别为：2，3，-1； （2）∵一次函数y=x+1与y=3x-1交于D（1，2）， ∴由图象得：函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值时x的取值范围是x＞1； 故答案为x＞1； （3）过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示， 则S四边形AOCD=S梯形AOED-S△CDE=（AO+DE）•OE-CE•DE=×（1+2）×1-××2=-=. 【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 22. 甲、乙两名队员参加射击选拔赛，他们两人10次射击训练的成绩情况如下： 甲队员：6，3，7，9，8，9，8，9，10，10； 乙队员的成绩如图． 根据以上信息，整理分析数据如下： 队员 平均数（环） 中位数（环） 众数（环） 方差（环） 甲 7.9 b 9 4.09 乙 a 7 7 d （1）表格中________，________； （2）求出d值，并判断哪名队员的成绩更稳定？ （3）若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，你认为应选哪名队员？请结合表中的四个统计量，作出简要分析． 【答案】（1）7；8.5 （2），乙队员的成绩更稳定； （3）我认为应选甲队员，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了方差，算术平均数，中位数，众数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． （1）根据表格中的数据以及平均数，中位数的定义，进行计算即可解答； （2）根据方差的公式进行计算，即可解答； （3）综合平均数，中位数，众数以及方差分析，确定出合适人选，即可解答． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：7；8.5． 【小问2详解】 解：方差， ， ， ， 乙的方差甲的方差， 乙队员的成绩更稳定． 【小问3详解】 解：若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，我认为应选甲队员， 理由：因为甲的平均数，中位数，众数都高于乙，所以应选甲． 23. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元． （1）分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价． （2）某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍． ①该超市有哪几种进货方案？ ②若该超市每袋A粽子售价为40元，每袋B粽子售价为55元，怎样进货可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）每袋A粽子，B粽子的进货价分别为30元和40元 （2）①有3种进货方案，分别：购进A粽子55袋，B粽子45袋；购进A粽子56袋，B粽子44袋；购进A粽子57袋，B粽子43袋；②购进A粽子55袋，B粽子45袋，可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为1225元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式． （1）设每袋A粽子，B粽子的进货价分别为x元和y元，根据“3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元”，列出方程组求解即可； （2）①设购进A粽子a袋，B粽子袋，根据“不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍”，列出不等式组求解即可； ②根据①中方案分别计算即可； 【小问1详解】 解：设每袋A粽子，B粽子的进货价分别为x元和y元， 根据题意可得：， 解得：， 故每袋A粽子，B粽子的进货价分别为30元和40元． 【小问2详解】 ①解：设购进A粽子a袋，B粽子袋， 则根据题意可得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 故有3种进货方案，分别为：购进A粽子55袋，B粽子45袋；购进A粽子56袋，B粽子44袋；购进A粽子57袋，B粽子43袋； ②解： 当购进A粽子55袋，B粽子45袋时：利润（元）； 当购进A粽子56袋，B粽子44袋时：利润（元）； 当购进A粽子57袋，B粽子43袋时： 利润（元）； ∵， 故购进A粽子55袋，B粽子45袋，可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为1225元． 24. 【提出问题】 如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形复习题中有这样一道题： 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的 ．（此空不填） 小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题： 【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为a，则对角线和a的数量关系有： ； ②在菱形中，设其边长为a，则对角线和a的数量关系有： ； ③在矩形中，设，则对角线和a，b 的数量关系有： ； 【解决问题】（2）如图1，在中，设，猜想对角线和a，b的数量关系有： 并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，点M为中点，求的长． 【答案】（1）①；②；③；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，即可得到结果；②由四边形是菱形，得，在中，由，得到，即可得到结果；③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，即可得到结果； （2）分别过点A，D作，，垂足分别为E，F．证明，运用勾股定理求出，即可解答； （3）连接，延长至点N，使，连接．证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：（1）①如图， 四边形是正方形， ，，， ，， ； ②如图， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ； ③如图， 四边形是正方形， ，，， ，， ； （2） 证明：如图，分别过点A，D作，，垂足分别为E，F． ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴ ∴． ∴， 设，，则，． 在中， 在中， ∴． ∵在中，， ∴． ∴； （3）如图，连接，延长至点N，使，连接． 又， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，本题的关键是构造直角三角形，运用勾股定理解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $