第03讲 导数与函数的极值、最值（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 导数与函数的极值、最值 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 函数的极值 4 知识点2 函数的最值 4 知识点3 函数极值与最值的简单应用 5 题型破译 6 题型1 求函数的极值 6 题型2 由极值求参数的值或取值范围 7 题型3 利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 8 题型4 不含参函数的最值问题 9 题型5 含参函数的最值问题 10 题型6 由函数的最值求参数问题 11 题型7 导数在解决实际问题中的应用 12 题型8 利用导数研究函数的极值与最值问题 13 题型9 利用导数研究恒成立问题 14 题型10 利用导数研究不等式问题 15 04真题溯源·考向感知 17 05课本典例·高考素材 18 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）函数的极值 （2）函数的最值 （3）函数极值与最值的简单应用 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第20题，16分 天津卷，第20题，16分 天津卷，第20题，16分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式求解函数的极值，或通过极值求参数的取值范围等，设题稳定，难度较低，分值为16分。 复习目标： 1.理解、掌握函数极值的定义，能够通过导数求解函数的极值问题 2.能掌握函数极值与图像的关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的极值与不等式等问题 4.掌握函数图像与极值的关系 知识点1 函数的极值 1.函数的极值的定义： 一般地，设函数在点 及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有 ，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有 ，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 2.用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果 ，则在这个根处取得极大值；如果 ，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） 自主检测函数的极值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点2 利用导数求函数单调区间的基本步骤 1.函数的最大值与最小值定理 若函数在 上 ，则在上必有最大值和最小值；在 内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． 2.求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． 3.最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较 上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较 的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 自主检测已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 知识点3 讨论单调区间问题 1、不等式恒成立，求参数范围问题． 一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为： （或 ）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的 ，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 2、证不等式问题． 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题． 3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题） 一般可转化为方程 的问题，即的解的个数问题， 我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据 讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题． 自主检测已知函数 (1)当时，若直线l过原点且与曲线相切，求的方程； (2)若函数在上恰有2个零点求a的取值范围； 题型1 求函数的极值 例1-1已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（    ）． A．0 B．36 C．72 D．108 例1-2（2022·天津河西·一模）已知函数（e为自然对数的底数），函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 方法技巧 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域． （2）求方程的根． （3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． （4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况． 【变式训练1-1】（2023·天津滨海新·模拟预测）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） ①函数有两个极值点； ②若关于的方程恰有1个解，则； ③函数的图象与直线（）有且仅有一个交点； ④若，且，则无最值. A．①② B．①③④ C．②③ D．①③ 【变式训练1-2】已知函数在点处的切线方程是， (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间与极值. 【变式训练1-3】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 题型2 由极值求参数的值或取值范围 例2-1函数在时有极值10，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 例2-2已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 方法技巧 已知函数的极值求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． （2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 【变式训练2-1】若在处取得极大值，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练2-2】已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 【变式训练2-3·变载体】（2023·天津南开·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极大值，试确定的取值范围； (3)若存在使得成立，求的值. 题型3 利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 例3-1（2025·天津·二模）设函数在区间恰有三个极值点､两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3-2已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 方法技巧 （1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． （2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值． 【变式训练3-1】（2023·天津滨海新·模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在单调递增 ④的取值范围是 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3-2】（2023·天津河西·一模）已知函数 (1)当时， ①求曲线的单调区间和极值； ②求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【变式训练3-3】，其中m＞0． （1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率； （2）求函数f（x）的单调区间与极值； （3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围． 题型4 不含参函数的最值问题 例4-1（2024·天津河西·模拟预测）已知定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，；    ②函数有2个零点； ③的解集为；    ④，都有． 其中正确的命题个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4-2已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 求函数最值的步骤 （1）求函数的定义域． （2）求，解方程． （3）列出关于，，的变化表． （4）求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 【变式训练4-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（    ） ①当时，   ②函数有3个零点 ③的解集为 ④，都有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练4-2】已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练4-3·变载体】（2025·天津河西·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）. 题型5 含参函数的最值问题 例5-1已知函数，若有两个零点，，下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 例5-2已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【变式训练5-1】若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 【变式训练5-3】（2025·天津·二模）已知函数，，且曲线在处的切线的倾斜角为. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的最大值； (2)当时，（，为的导函数），求的取值范围； (3)设函数，若，证明：. 题型6 由函数的最值求参数问题 例6-1函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例6-2若函数有最大值，则实数的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 方法技巧 已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题． 【变式训练6-1】函数的最大值为1，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式训练6-2】已知函数 (1)求当时，函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)已知函数在上的最大值为13，求a的值. 【变式训练6-3·变考法】（2025·天津·一模）已知函数，，其中． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设是函数的极小值点，且，证明：． 题型7 导数在解决实际问题中的应用 例7-1现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为，高为的圆柱(橡皮泥没有浪费)，则该圆柱表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 例7-2已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为 A．（﹣∞，e4） B．（e4，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，+∞） 方法技巧 解决最优问题应从以下几个方面入手 （1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域． （2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 【变式训练7-1】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件． （Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值． 【变式训练7-2】把一块边长为的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虚线与正六边形的对应边垂直）剪去六个全等的四边形（阴影部分），折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器（焊接损耗忽略），设容器的底面边长为. （1）若，且该容器的表面积为时，在该容器内注入水，水深为，若将一根长度为的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于处，另一端置于侧棱上，忽略铁皮厚度，求玻璃棒浸入水中部分的长度； （2）求该容器的底面边长的范围，使得该容器的体积始终不大于. 【变式训练7-3】如图，由，，围成的曲边三角形，在曲线弧上求一点，使得过所作的的切线与，围成的的面积最大，并求得最大值. 题型8 利用导数研究函数的极值与最值问题 例8-1已知函数（）与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的值可以是（   ） A． B．2 C．1 D． 例8-2已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． （2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负． （3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值． 【变式训练8-1】设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 【变式训练8-3】已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 题型9 利用导数研究恒成立问题 例9-1关于函数，下列判断正确的是（    ） ①是的极大值点， ②函数有且只有1个零点， ③存在正实数，使得恒成立. A．① B．② C．①③ D．②③ 例9-2已知函数，下列命题不正确的是（    ） A．若是函数的极值点，则 B．若，则在上的最小值为0 C．若在上单调递减，则 D．若在上恒成立，则 方法技巧 解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数．分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 【变式训练9-1】对于函数，下列说法错误的有（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 【变式训练9-2】已知函数 (1)当时，求在处的切线方程 (2)求函数的单调区间和极值 (3)当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围 【变式训练9-3】已知函数 (1)当 时，求函数 的极值； (2)若对任意 不等式 恒成立，求a的取值范围. (3)证明不等式： 题型10 利用导数研究不等式问题 例10-1“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧. 如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有. 该结论可通过构造函数并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（   ） ①； ②； ③； ④. A．个 B．个 C．个 D．个 例10-2已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若不等式恒成立，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，设，，且.求证：当，且时，不等式成立. 方法技巧 解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决． 【变式训练10-1】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明不等式：； (3)当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 【变式训练10-2】已知函数， (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练10-3】已知函数，，． (1)若曲线在点处的切线的斜率为3，求的值； (2)当，函数有两个不同零点，求m的取值范围； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1．（2006·天津·高考真题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 3．（2018·天津·高考真题）设函数，其中,且是公差为的等差数列. （I）若 求曲线在点处的切线方程； （II）若，求的极值； （III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围. 4．（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 5．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 1．研究函数的图象和性质，其中，都是非零正实数． 2．如图，四边形ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流从A流到E，且河流是以A为顶点、开口向上的一段抛物线弧（河流宽度忽略不计），其中E为BC的中点．某公司准备投资建设一个大型矩形游乐园PMDN，问：如何修建才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积． 3．求下列函数的最值： (1)，； (2)，． 4．求下列函数的极值，并画出大致图象． (1)； (2)． 5．求解下列问题 (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 导数与函数的极值、最值 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 函数的极值 4 知识点2 函数的最值 4 知识点3 函数极值与最值的简单应用 5 题型破译 7 题型1 求函数的极值 7 题型2 由极值求参数的值或取值范围 12 题型3 利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 17 题型4 不含参函数的最值问题 25 题型5 含参函数的最值问题 31 题型6 由函数的最值求参数问题 37 题型7 导数在解决实际问题中的应用 41 题型8 利用导数研究函数的极值与最值问题 46 题型9 利用导数研究恒成立问题 51 题型10 利用导数研究不等式问题 56 04真题溯源·考向感知 63 05课本典例·高考素材 70 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）函数的极值 （2）函数的最值 （3）函数极值与最值的简单应用 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第20题，16分 天津卷，第20题，16分 天津卷，第20题，16分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式求解函数的极值，或通过极值求参数的取值范围等，设题稳定，难度较低，分值为16分。 复习目标： 1.理解、掌握函数极值的定义，能够通过导数求解函数的极值问题 2.能掌握函数极值与图像的关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的极值与不等式等问题 4.掌握函数图像与极值的关系 知识点1 函数的极值 1.函数的极值的定义： 一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 2.用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） 自主检测函数的极值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 又， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立，所以在上单调递增，则不存在极值点. 故选：A 知识点2 利用导数求函数单调区间的基本步骤 1.函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． 2.求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． 3.最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 自主检测已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题可知在上恒成立， 当时，在上恒成立，不合要求，舍去； 故，则，设， 可得，即在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：B 知识点3 讨论单调区间问题 1、不等式恒成立，求参数范围问题． 一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 2、证不等式问题． 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题． 3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题） 一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题， 我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题． 自主检测已知函数 (1)当时，若直线l过原点且与曲线相切，求的方程； (2)若函数在上恰有2个零点求a的取值范围； 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，，设直线l与曲线相切于点， 因为，所以直线l的斜率， 又，故l的方程为， 又过原点，所以，所以， 所以，故l的方程为，即． （2）因为在上恰有两个零点， 所以关于x的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，， 令，则与的图象有两个不同的交点． 因为，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示， 所以当时，直线与的图象有两个不同交点， 所以实数a的取值范围为． 题型1 求函数的极值 例1-1已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（    ）． A．0 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【详解】因为不等式的解集为， 则， 故， 又，故，， 故，则， 令，解得或， 由可得或，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极大值点， 的极大值为． 故选D． 例1-2（2022·天津河西·一模）已知函数（e为自然对数的底数），函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，且方程的根分别为、， 当时，在、上，在上， 所以在、上递增，在上递减，则极大值，极小值， 在各单调区间上恒有； 当时，在上，在上， 所以在上递减，在上递增，且，； 综上，的图象如下： 显然时有一个解，而原方程共有2个实数根， 所以，由图知：，即. 故选：D 方法技巧 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域． （2）求方程的根． （3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． （4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况． 【变式训练1-1】（2023·天津滨海新·模拟预测）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） ①函数有两个极值点； ②若关于的方程恰有1个解，则； ③函数的图象与直线（）有且仅有一个交点； ④若，且，则无最值. A．①② B．①③④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【详解】对于①，当时，，恒成立， 所以在上单调递增； 当时，，恒成立， 所以，在上单调递减； 当时，，恒成立， 所以，在上单调递减. 综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 所以，在处取得极小值，在处取得极大值，故①正确； 对于②，作出的图象如下图1 由图1可知，若关于的方程恰有1个解，则或，故②错误； 对于③，由①知，当时，， 因为，所以，所以，当且仅当； 当时，； 当时，， 因为，所以，所以，当且仅当. 综上所述，，有恒成立. 又直线可化为，斜率为， 所以函数的图象与直线（）有且仅有一个交点，故③正确； 对于④， 由图2可知，当时，函数的图象与有3个不同的交点. 则有，所以， 所以，. 令，， 则. 令，则在上恒成立， 所以，在上单调递增. 又，， 根据零点存在定理可知，，使得， 且当时，， 所以，所以在上单调递减； 当时，， 所以，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误. 综上所述，①③正确. 故选：D. 【变式训练1-2】已知函数在点处的切线方程是， (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间与极值. 【答案】(1) (2)和为单调递增区间，为单调递减区间，极大值为，极小值为 【详解】（1）， ，即，， ； （2）由（1）知， ， 由或；由， 在和上单调递增，在上单调递减， 为函数的极大值点，且极大值为， 为函数的极小值点，极小值为. 【变式训练1-3】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意有，所以， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令有或，由有，即，由有，即或， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值. 题型2 由极值求参数的值或取值范围 例2-1函数在时有极值10，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由题意， 因为函数在时有极值10， 所以，消去可得，解得或， 当时，，，此时在上单调递增，不存在极值，不符合题意； 当时，，， 或，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意. 故选：B. 例2-2已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，令得或， 当时，，在R上单调递增，无极值； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 解得； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 不满足题意； 综上，实数. 故选：C. 方法技巧 已知函数的极值求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． （2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 【变式训练2-1】若在处取得极大值，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】因为，则 又在处取得极大值， ，解得或， 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极大值，符合题意，则， 故选：C. 【变式训练2-2】已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【详解】（1）由，得， 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减. 则在处取得极大值，得； （2）由，得， 若，则，由，得或，由，得， 则此时，在上单调递增，在上单调递减； 若，，则此时在上单调递增； 若，则，由，得或，由，得， 则此时在上单调递增，在上单调递减； （3）由（1），结合，可得，. 因在有两个零点，则在上有2个零点. 令，得1不是其零点， 令， 则原题等价于函数与直线在上有2个交点. 令， 则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 从而， 当，，当. 则可得大致图象如下：则时，满足题意. 【变式训练2-3·变载体】（2023·天津南开·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极大值，试确定的取值范围； (3)若存在使得成立，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，， 依题意，，可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为， ①当时，，所以在上单调递增，此时无极大值； ②当时，令，解得或，令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，符合题意； ③当时，令，解得或，令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，符合题意； ④当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，此时无极大值； 综上，实数的取值范围为. （3） 可以看作是动点与动点之间距离的平方， 动点在函数的图象上，在直线的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由得，，解得， 所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离， 则， 根据题意，要使， 则，此时恰好为垂足， 由,可得， 所以. 题型3 利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 例3-1（2025·天津·二模）设函数在区间恰有三个极值点､两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三条对称轴､两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 例3-2已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)递减区间是；递增区间是， (2) 【详解】（1）解：由题意，函数，可得， 因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值， 可得，即，解得，    所以，可得， 令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下： －1 ＋ 0 － 0 ＋ 2 所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，． （2）解：由函数，， 则， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使得有三个零点，则满足，即，解得， 所以的取值范围为． 方法技巧 （1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． （2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值． 【变式训练3-1】（2023·天津滨海新·模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在单调递增 ④的取值范围是 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】第④，因为，故当时，，画出函数的图象如下： 因为在有且仅有5个零点，故， 解得，④正确； 第①，当，或，即，或时，取得极大值，故在有且仅有3个极大值点，①正确； 第②，当，即时， 当，，即，时，取得极小值，此时在有且仅有2个极小值点 当，即时， 当，或，即，或时，取得极小值，此时在有且仅有3个极小值点，②错误； 第③，当时，， 因为，所以，由于， 故在单调递增，③正确. 故选：C 【变式训练3-2】（2023·天津河西·一模）已知函数 (1)当时， ①求曲线的单调区间和极值； ②求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)①函数的单调递增区间为，单调递增区间为；的极大值为，无极小值； ② (2) 【详解】（1）①当时，， 函数的定义域为，， 令得． 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 函数在时取极大值，极大值为，无极小值． ②由（i）可知当，． 则所求切线方程为， 即． （2）由已知可得，方程在内有两个不等实根， 设， 则函数定义域为且， ． 当，即时， 若，则，单调递增； 若，则，单调递减， 所以，则所求方程只有一个解，不符合题意，舍去． 当，即时．， ①当，即时， 若，则，单调递减；若，则，单调递增， 所以，则所求方程只有一个解，不符合题意，舍去； ②当，即时， 若，则，当且仅当时，取等号， 所以函数在上单调递增， 又，则所求方程只有一个解，不符合题意，舍去； ③当，即时， 若，则，单调递增； 若，则，单调递减； 若，则，单调递增． 又，可知． 因为 ． 因为，所以 ，即． 因为时，， 因为，所以， 所以在区间单调递增， 由零点存在定理，可得存在唯一，使得，又． 此时，所求方程有2个不同解，符合题意． ④当，即时， 若，则，单调递增； 若，则，单调递减； 若，则，单调递增． 又，于是， 令，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以， 所以， 所以 设，则 ， 因为，所以， 函数在单调递增， 当时，，， 因为在上单调递增，由零点存在定理，得存在唯一， 使得，又． 此时，所求方程有2个不同解，符合题意． 综上所述，当时，函数有两个不同零点． 【变式训练3-3】，其中m＞0． （1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率； （2）求函数f（x）的单调区间与极值； （3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）1； （2）见解析； （3）． 【详解】试题分析：（1），易得函数在所求点的斜率． （2）当≥0，函数单增，≤0时单减，令=0的点求极值点． （3）由题意属于区间[x1，x2]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围． 解：（1）当， 故=﹣1+2=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1． （2）=﹣x2+2x+m2﹣1，令=0，解得x=1﹣m或x=1+m． ∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，当x变化时，，的变化情况如下表： x （﹣∞，1﹣m） 1﹣m （1﹣m，1+m） 1+m （1+m，+∞） ﹣ 0 + 0 ﹣ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ∴在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数． 函数在x=1﹣m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）=， 函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=． （3）由题设，， ∴方程有两个相异的实根x1，x2， 故，∵m＞0 解得m， ∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3， 故x2＞． ①当x1≤1＜x2时，f（1）=﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）=0，不符合题意， ②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0， 则，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0， 于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m2﹣＜0， 解得， ∵由上m， 综上，m的取值范围是． 题型4 不含参函数的最值问题 例4-1（2024·天津河西·模拟预测）已知定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，；    ②函数有2个零点； ③的解集为；    ④，都有． 其中正确的命题个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】不妨令，则 因为为奇函数，所以，即①错误； 由上可知， 令可得或0，有三个零点，即②错误； 对于， 显然时，此时单调递减， 时，此时单调递增， 不难发现时，，时， 所以，时，， 所以时，， 由奇函数的性质可知的解集为； 且时，，故时有， 则，都有， 所以恒成立，即③④正确； 故选：B 例4-2已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，，，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递增，在上单调递减， 时，，且时，恒成立， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 时，，在R上的图象如图， 当时，由得，即，由得，则有函数的零点为-2，0， 函数有三个零点，当且仅当和共有三个零点，即和共有三个零点， 当，即时，和各一个零点，共两个零点， 当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点， 当，即时，有三个零点，有一个零点，共四个零点， 当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点， 当，即时，和各有一个零点，共两个零点， 当，即时，无零点，要有三个零点，当且仅当有三个零点，必有， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 方法技巧 求函数最值的步骤 （1）求函数的定义域． （2）求，解方程． （3）列出关于，，的变化表． （4）求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 【变式训练4-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（    ） ①当时，   ②函数有3个零点 ③的解集为 ④，都有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，当时，，则， 因为为奇函数，所以， 所以，所以，所以①错误， 对于②，因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，由，得， 当时，由，得， 所以函数有3个零点，所以②正确， 对于③，当时，由，得，得， 当时，由，得，得，所以， 综上，或，所以的解集为，所以③正确， 对于④，当时，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 且当时，，当时，， 所以 当时，由，得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最大值， 当时，，当时，， 所以， 所以的值域为， 所以，都有，所以④正确， 故选：C 【变式训练4-2】已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值是，最小值是 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）当时，，， 令可得，故当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 故递减区间为，递增区间为 函数的极小值是唯一的极小值，无极大值. 又， 在上的最大值是，最小值是 （2）因为，所以令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立. （3）因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令，则 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，解得：. 所以实数的取值范围为 【变式训练4-3·变载体】（2025·天津河西·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， 当时，，， 切线方程为，整理得， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，， 对于关于的方程，有， 当时，，则恒成立，在上单调递减； 当时，方程有两根，， 若，则，， 当时，，所以在上单调递增； 时，，所以在上单调递减； 若，则， 当和时，，当时，； 即在与上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在与上单调递减， 在上单调递增. （3）要证，即证， 因为，，所以， 当时，不等式显然成立； 当时，因为，则， 所以只需证，即证， 令，，则， 由得；由，得， 则在上为单调递增，在上单调递减，故； 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上为单调递减，在上为单调递增， 所以， 所以恒成立，即. 题型5 含参函数的最值问题 例5-1已知函数，若有两个零点，，下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数, 所以,其定义域为, 令，解得， 所以当时,；当时,; 故在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点，, 所以函数的图象如图所示： 故， 即，并且，故选项A、C正确； 由于为的零点，故有， 两式相减得，即，故选项B正确； 因为,所以当时，， 所以，故选项D不正确. 故选: D 例5-2已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得的定义域为．设， 则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 所以在内有两个零点，设为， 则当时，，当时，． 设， 由，得当时，， 当时，，则为方程的两个实数根， 所以，，． 又，，所以，， 所以， 即，则，所以． 易知，，故， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故的最小值为． 解法二 由，，， 得． 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的大致图象， 数形结合可知，若， 则与，的图象的两个交点重合， 如图，设这两个交点分别为，则为方程的两个实数根， 所以，，． 易知为方程的两个实数根，所以，， 以下同解法一． 故选：C. 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【变式训练5-1】若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 , , ①当 , 时， ，则 , 则函数在上单调递增， 时， ，所以 , 则函数 在上单调递减； ②当时，, ，所以 , 则函数在上单调递增， 当时，，所以 , 则函数在上单调递减． 故当且时， 在时递减；在时递增， 则 为 的极小值点，且为最小值点，且最小值. 又函数 有两个零点，所以方程有两个不相等的实根， 而，所以 且 ，解得 , 故选：A . 【变式训练5-2】已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， ∴，故 ∴曲线在处的切线方程为：， 即. （2）因的定义域为， 当时，，则在上单调递增，无最小值； 故. 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，（），则， 因，则在上单调递增， 又，故由可得， 即，解得， 故实数a的取值范围是. 【变式训练5-3】（2025·天津·二模）已知函数，，且曲线在处的切线的倾斜角为. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的最大值； (2)当时，（，为的导函数），求的取值范围； (3)设函数，若，证明：. 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 【详解】（1），， 所以，， 令，解得， 所以时，在区间上单调递增， 又因为在区间上单调递增，所以实数的最大值为； （2），令，， 则，， 令，则， ①当时，即时，在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，故， 即恒成立. ②当时，即时，则存在唯一，使得， 且函数在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，即在上单调递减， 所以当时，，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由题意，， 则. 令，则. 令，得在上单调递增； ，得在上单调递减. 则 则，， 当且仅当时取等号. 得在上单调递增，而，， 则不妨设 令，其中. 则.令，. 则， 得在上单调递增， 则，得在上单调递增， 有，即时， 因，则， 又，则，又注意到在上单调递增， 则. 题型6 由函数的最值求参数问题 例6-1函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 例6-2若函数有最大值，则实数的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】，    令，得临界点（因，舍去）， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时无最大值， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为， 所以，满足题意， 故选：. 方法技巧 已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题． 【变式训练6-1】函数的最大值为1，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】，. 则在上单调递减，在上单调递增，则 . 故选：D 【变式训练6-2】已知函数 (1)求当时，函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)已知函数在上的最大值为13，求a的值. 【答案】(1) (2)答案见详解 (3) 【详解】（1）若，则，且， 可得，且，即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）因为，由（1）可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在上的最大值为，解得. 【变式训练6-3·变考法】（2025·天津·一模）已知函数，，其中． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设是函数的极小值点，且，证明：． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，则，而，则， 所以在点处的切线方程是. （2）由题意，定义域为， 则， 因为，所以当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增； 若，即时在上单调递增，则，不符合题意； 若，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，不符合题意； 若，即时，在上单调递减， 则，解得，不符合题意； 综上可得，不存在这样的正实数，使得在区间上的最小值为； （3）依题意，，定义域为， 则， 因为是函数的极小值点，所以，所以， 又，则， 因函数在上单调递减，而当时，，则由得， 令，则，当在上单调递减， 所以，，当且仅当时取“”,即，， 所以，所以，， 所以， 所以，得证. 题型7 导数在解决实际问题中的应用 例7-1现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为，高为的圆柱(橡皮泥没有浪费)，则该圆柱表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得圆柱和圆锥的体积相等， 底面半径为4，高为3的圆锥为， 底面半径为，高为的圆柱， 所以，可得，即 圆柱的表面积为：， ， 令可得，令可得， 所以时，表面积最小为， 故选：B 例7-2已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为 A．（﹣∞，e4） B．（e4，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，+∞） 【答案】D 【详解】试题分析:构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解． 解：设g（x）=（x∈R）， 则g′（x）=， ∵f′（x）＜f（x）， ∴f′（x）﹣f（x）＜0 ∴g′（x）＜0， ∴y=g（x）在定义域上单调递减 ∵f（x）＜ex ∴g（x）＜1 又∵g（0）==1 ∴g（x）＜g（0） ∴x＞0 故选D． 方法技巧 解决最优问题应从以下几个方面入手 （1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域． （2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 【变式训练7-1】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件． （Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）；最大值（万元）． 【详解】解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为： ． （Ⅱ） ． 令得或（不合题意，舍去）． ，． 在两侧的值由正变负． 所以（1）当即时， ． （2）当即时， ， 所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． 【变式训练7-2】把一块边长为的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虚线与正六边形的对应边垂直）剪去六个全等的四边形（阴影部分），折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器（焊接损耗忽略），设容器的底面边长为. （1）若，且该容器的表面积为时，在该容器内注入水，水深为，若将一根长度为的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于处，另一端置于侧棱上，忽略铁皮厚度，求玻璃棒浸入水中部分的长度； （2）求该容器的底面边长的范围，使得该容器的体积始终不大于. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题意，则，设该容器的高为，则. 当时，容器底面积， 侧面积， 所以容器表面积，整理得， 得或（舍）. 当玻璃棒一个端点置于处，另一端置于侧棱上时， 如图，设玻璃棒在上的交点为，玻璃棒与水面交点为. 因为为正六棱柱，所以四边形为矩形， 在平面中，过作交于，如图所示， 因为，，则，因为， 所以即， 所以. （2）设该容器的体积为，. 因为该容器的体积始终不大于， 所以对恒成立. 即对恒成立， 令，， 令得，则随变化的表格如下： + 0 - 增 最大值 减 . 所以，得，得. 答：该容器底面边长满足时，容器的体积始终不大于. 【变式训练7-3】如图，由，，围成的曲边三角形，在曲线弧上求一点，使得过所作的的切线与，围成的的面积最大，并求得最大值. 【答案】，. 【详解】设，设直线的斜率为， 则：， ∵，， 即 ∴ 令，得， ∴ 令，得，∴， ∴， ， 令，则（舍去）或， 当时，，函数在单调递增； 当时，，函数在单调递减. 即当时，， ∴，∴. 题型8 利用导数研究函数的极值与最值问题 例8-1已知函数（）与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的值可以是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】函数关于y轴对称的函数表达式为， 只需要方程有正根，方程可化为． 令，有， 令，有， 可得函数单调递减，则， 可得函数单调递减，有． 由函数是由函数平移过来的， 故方程有正根时，只需要函数与x轴的正半轴有交点，即方程的根，则实数a的取值范围为． 故选：D． 例8-2已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：求导可得， 由的范围可知，即在区间上单调递增，故 ， 则原不等式可化为. 又， 不妨设，由可得，且. 令，，则有且，原不等式可化为 ， 即， 即在上恒成立. 设，可知在上单调递增， 则在上恒成立，故. 令，则， 因为，， 故在上单调递减，在上单调递增， ，即， 故选：. 方法技巧 （1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． （2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负． （3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值． 【变式训练8-1】设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得函数有三个零点， 则函数，即有三个根， 当时，，则， 由得，即，此时在上单调递减， 由得，即，此时在上单调递增， 当时，，当时，取得极小值， 下面我们作出的图象如图： 要使有三个根，则，故D正确. 故选：D 【变式训练8-2】（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 而，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 又，当从大于0的方向趋近于0或趋近于正无穷大时，从大于0的方向趋近于0，， 要函数恰有两个零点，当且仅当，即， 即恒有，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数m的取值范围是. （3）取，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，取，得，即， 因此； 设函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 取，得，即， 因此， 所以对于任意正整数n，有. 【变式训练8-3】已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）的定义域为 ，令得 ①当时，恒成立，则无递增区间，递减区间为； ②当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和； ③当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和， 综上：当时，无递增区间，递递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为和； 当时，的递增区间为，递减区间为和. （2）若， 令，得，即， 也即，再令， 则在单调递增，故，所以， 可得，令， 令得，所以在上单调递增，在上单调递减， 且当；，所以， 综上：当时，该函数有0个零点； 当或时，该函数有1个零点； 当时，该函数有2个零点. 题型9 利用导数研究恒成立问题 例9-1关于函数，下列判断正确的是（    ） ①是的极大值点， ②函数有且只有1个零点， ③存在正实数，使得恒成立. A．① B．② C．①③ D．②③ 【答案】B 【详解】对于①：由题意得， 令，解得， 当时，，为单调递减函数， 当时，，为单调递增函数， 所以是的极小值点，故①错误 对于②：， 则， 所以在上为单调递减函数， 又当x=1时，， 当时，， 根据零点存在的定理可得有且仅有1个零点，故②正确； 对于③：由，可得， 令，则， 令，则 当时，，则为单调递增函数， 当时，，则为单调递减函数， 所以， 所以恒成立， 所以在上为单调递减函数，无最小值， 所以不存在正实数，使得恒成立，故③错误. 故选：B 例9-2已知函数，下列命题不正确的是（    ） A．若是函数的极值点，则 B．若，则在上的最小值为0 C．若在上单调递减，则 D．若在上恒成立，则 【答案】D 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得，此时， 当时，，当时，，是的极值点，A正确； 对于B，由，得，由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，B正确； 对于C，由在上单调递减，得，即恒成立， 而函数在上单调递增，则恒有成立，因此，C正确； 对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立， 即在上恒成立，令，，求导得， 即函数在上单调递增，则，因此，D错误． 故选：D 方法技巧 解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数．分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 【变式训练9-1】对于函数，下列说法错误的有（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 【答案】B 【详解】对于A，的定义域为， 令得，在上单调递增，； 令得，在上单调递减. 所以当时，取得极大值，A正确； 对于B，由上知在上单调递增，且， 又，所以在上有且只有一个零点. 当时，在上单调递减，且恒成立， 所以，在上没有零点，B错误； 对于C，因为，所以，即，C正确； 对于D，， 记，则， 当时，，在上单调递增， 当时，.在上递减 所以，当时，取得最大值， 因为在上恒成立，所以，D正确. 故选：B 【变式训练9-2】已知函数 (1)当时，求在处的切线方程 (2)求函数的单调区间和极值 (3)当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）由，则，求导可得， 所以在处的切线斜率， 由，则切线方程为， 即. （2）由，求导可得， 当时，，则函数在上单调递增，无极值， 当时，，解得，，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，无极大值， 综上可得：当时，函数的单调递增区间为，无极值； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 极小值为，无极大值. （3）由题意化简不等式为，令， 求导可得，令，化简可得， 令，求导可得，当时，， 则函数在上单调递增，故， 当时，易知在上恒成立，则函数在上单调递减，所以，符合题意； 当时，存在，使得，由函数在上单调递减， 则当时，，所以函数在上单调递增，故，不符合题意； 综上可得：. 【变式训练9-3】已知函数 (1)当 时，求函数 的极值； (2)若对任意 不等式 恒成立，求a的取值范围. (3)证明不等式： 【答案】(1)函数有极大值，无极小值； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，函数， 所以函数定义域为，， 所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以函数有极大值，无极小值； （2）对任意不等式恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以，所以； （3）证明：令，则， 故恒成立， 所以函数即为上的增函数，又， 所以存在使得， 所以当时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 又为增函数， 所以， 所以. 题型10 利用导数研究不等式问题 例10-1“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧. 如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有. 该结论可通过构造函数并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（   ） ①； ②； ③； ④. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】对于①，当时，由得：，即； ，故①正确； 对于②，由得：，即，，故②正确； 对于③，由得：； 当时，，此时， 则，即不成立，故③错误； 对于④，令，则， 令，则，在上单调递增， 又，，，使得， 当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，； 由得：，，， ，即，，④正确. 故选：C. 例10-2已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若不等式恒成立，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，设，，且.求证：当，且时，不等式成立. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，函数，函数定义域为， 且， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由已知有恒成立，设，即， 又函数定义域为，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，即，解得， 即的取值范围为. （3）由，，， 因为等价于. 一方面，要证明， 由（2）可知当时，有，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号，又，所以， 因为，所以， 因此当时，. 所以，当时，时成立，即成立. 方法技巧 解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决． 【变式训练10-1】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明不等式：； (3)当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）的定义域为， 当时，在上单调递减， 当时，令，解得：， 令，则在上单调递增． 令，则在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，，要证明：； 即证：，即证：， 设， 令，解得：， x 1 0 单调递减 0 单调递增 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，， ．即：， ； （3）由题意得：在上恒成立， 整理得：， 参变分离即证在上恒成立， 令，则只要证明的最大值即可． ． 令解得：， （列表如下） x + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 在上单调递增，在上单调递减， ， 则实数b取值范围为. 【变式训练10-2】已知函数， (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值是； (2)答案见解析； (3). 【详解】（1）当时，，所以， 令时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ，所以在取得极小值，也是最小值， ， 又 . 在上的最大值为，最小值是； （2） 当时，令，解得：， 令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上恒成立， 所以在上为减函数， 当时，在恒成立， 所以在上单调递减. 综上，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在上单调递减. （3），依题意：，解得：， 所以， 又对恒成立，即， 所以在上恒成立. 令， 当时，函数单调递减， 当时 函数单调递增， 时， 故， 所以的取值范围为. 【变式训练10-3】已知函数，，． (1)若曲线在点处的切线的斜率为3，求的值； (2)当，函数有两个不同零点，求m的取值范围； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）因为 所以，即. （2）由题意，，即， 所以，            当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； ，，；                           所以，即， 所以m的取值范围为. （3）因为(x)对恒成立， 所以对恒成立， 即对恒成立．              设，其中， 所以，                                         ，                            设，其中，则， 所以，函数在上单调递增． 因为，， 所以，存在，使得，    当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以． 因为，则， 由（2）得，当时，在上为增函数， 因为，则，则， 由可得，所以， 所以，可得，                所以，所以． 所以实数a的取值范围为． 1．（2006·天津·高考真题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 2．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)2 (3)证明过程见解析 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 3．（2018·天津·高考真题）设函数，其中,且是公差为的等差数列. （I）若 求曲线在点处的切线方程； （II）若，求的极值； （III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围. 【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ) 的极大值为6，极小值为−6；(Ⅲ) 【详解】（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x， 故=3x2−1，因此f(0)=0，=−1， 又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0)，故所求切线方程为x+y=0． （Ⅱ）由已知可得 f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2． 故=3x2−6t2x+3t22−9． 令=0，解得x=t2−或x=t2+． 当x变化时，，f(x)的变化如下表： x (−∞，t2−) t2− (t2−，t2+) t2+ (t2+，+∞) + 0 − 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6， 函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3−9×()=−6． （Ⅲ）曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解， 令u=x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0． 设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点． =3x3+(1−d2)． 当d2≤1时，≥0，这时在上R单调递增，不合题意． 当d2>1时，=0，解得x1=，x2=． 易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增． g(x)的极大值g(x1)=g()=>0． g(x)的极小值g(x2)=g()=−． 若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意． 若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意． 所以，的取值范围是． 4．（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 .        ① 令. 当x>1时，， 由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，， 所以 .        ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即， 故         ③ 由①②③可得. 所以，当时，任意的，且，有 . 5．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）；（II）证明见解析；（III） 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 1．研究函数的图象和性质，其中，都是非零正实数． 【答案】答案见解析 【详解】函数（，都是非零正实数）的定义域为， ，所以为奇函数， 又， 令，解得或， 令，解得或， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 即，， 当时，当且仅当，即时取等号， 当时，当且仅当，即时取等号， 所以， 函数图象如下所示：    2．如图，四边形ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流从A流到E，且河流是以A为顶点、开口向上的一段抛物线弧（河流宽度忽略不计），其中E为BC的中点．某公司准备投资建设一个大型矩形游乐园PMDN，问：如何修建才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积． 【答案】详见解析. 【详解】解：以A为原点，AB为x轴的正半轴，建立如图所示平面直角坐标系： 设抛物线方程为, 易知，则，解得， 所以抛物线方程为， 设， 则矩形的面积为， 则， 令，解得， 当时，，当时，， 所以当时，矩形的面积取得最大值. 当游乐园PMDN的两邻边时，游乐园PMDN的面积最大，且最大面积为. 3．求下列函数的最值： (1)，； (2)，． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最小值为，最大值为 【详解】（1）解：由函数，可得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由当时，；当时，， 所以函数的最大值为，最小值为. （2）解：由函数， 可得函数的图象开口向上，对称轴， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数取得最小值，最小值为， 又当时，可得；当时，可得， 所以函数的最小值为，最大值为. 4．求下列函数的极值，并画出大致图象． (1)； (2)． 【答案】(1)极小值为，极大值为2，图象见解析 (2)极小值为，无极大值，图象见解析 【详解】（1），令，解得，令，解得或， 所以函数在，上单调递减，上单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为，在处取得极大值，极大值为2， 函数图象如下：    （2），令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值， 图象如下所示：    5．求解下列问题 (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)极大值，极小值 (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）， 所以在区间递增； 在区间递减. 所以当时，取得极大值. 当时，取得极小值. 当时，取得极大值. （2）， 所以在区间递增； 在区间递减. 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值， . 所以在区间上的最大值为，最小值为. 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$