重难点培优01 函数的性质（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 函数的性质 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 利用函数性质解不等式（★★） 4 题型二 函数单调性与奇偶性的运用（★★★） 5 题型三 函数图像问题（★★★★） 6 题型四 恒成立与存在成立问题（★★★★）............................................................................................9 题型五 奇偶性、对称性周期性的运用（★★★★）...................................................................................11 03 实战检测・分层突破验成效 12 检测Ⅰ组 重难知识巩固 12 检测Ⅱ组 创新能力提升 15 一、函数的单调性 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2. 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 二、奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的运算 三、对称性与周期性 1.周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 2.对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 3.周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 4.奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型一 利用函数性质解不等式 【技巧通法·提分快招】 1、对于任意，均有成立，注意功能用来判断函数的单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）； 2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式 3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（）远，谁的函数值就大；如果口朝下：谁离对称轴（）远，谁的函数值就小. 1．（2025·天津·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津南开·期末）函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津静海·模拟预测）已知函数正数满足，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2025·天津·调研）已知是定义在R上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·期末）已知函数，若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二函数单调性与奇偶性的运用 【技巧通法·提分快招】 函数单调性的应用场景 1.求最值:利用函数的单调性可以快速找到函数的最大值或最小值。 2.大小比较:通过比较函数在某区间的值，可以判断两个函数的大小关系。 3.解不等式:利用函数的单调性可以解一些抽象的函数不等式。 1．（2025天津·二模）已知是上的奇函数，且对，都有，当时，函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津滨海新·联考）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·期末）已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则满足的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·天津·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·期中）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数m满足，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津南开·期末）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津红桥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 题型三 函数图象问题 【技巧通法·提分快招】 函数图像的选择方法主要包括以下步骤: 1.理解函数的基本性质:首先，需要理解函数的基本性质，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。这些性质将帮助你更好地判断函数图像的大致形状和变化趋势。 2.掌握常见函数图像的特征:对于常见的函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，需要熟悉它们的图像特征。例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线，指数函数和对数函数的图像分别呈现指数增长和对数增长的趋势。 3.结合题目给出的条件:在解决具体问题时，需要结合题目给出的条件，如定义域、值域、单调性等，来进一步确定函数图像的具体形状和位置。 1．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津南开·二模）函数的部分图象大致为（   ）． A．   B．   C．   D．   题型四 恒成立与存在性问题 【技巧通法·提分快招】 常见不等式恒成立转最值问题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； 1．（2025·天津·期末）已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·期末）已知函数，若存在不相等的实数，，，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·期中）已知，若存在，使得不等式能成立，则实数的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·天津·期中）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津东丽·模拟预测）已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·期末）已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同的解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·模拟预测）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型五 奇偶性对称性周期性的运用 【技巧通法·提分快招】 1、函数的周期性的判定及应用 第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； （1）若函数满足，则函数的周期为； （2）若函数满足或或，则函数 的周期为； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 2、函数的对称性问题 记住常见的几种对称结论： 第一类 函数满足时，函数的图像关于直线对称； 第二类 函数满足时，函数的图像关于点对称； 第三类 函数的图像与函数的图像关于直线对称. 3.奇偶性的运用方法 奇函数:由于奇函数的图像关于原点对称，可以利用这一性质简化计算。 偶函数:由于偶函数的图像关于y轴对称，可以利用这一性质简化计算。 1．（2025·天津·期末）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·阶调研）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津河西·二模）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·天津·一模）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（ ） A．2020 B．1010 C．1012 D．2022 6．（2025·天津·期中）已知函数定义域为，且满足下列三个条件：①任意，都有；②；③为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·一模）定义在上的偶函数满足，当时，，设函数（为自然对数的底数），则与的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津河西·三模）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且时；，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数的值域为，其中正确命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2025·天津·天津和平·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，，且时，则=（   ） A．4 B． C．2 D． 4．（2025·天津南开·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．在上单调递增 D．函数有11个零点 5．（2024·河南开封·三模）已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2025·天津南开·模拟预测）定义在上的函数满足，且在上有，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·天津·期末）定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·天津·模拟预测）定义在R上的函数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．图象的对称轴为直线 C．当时， D．方程恰有5个实数解 9．（2025·天津·天津武清·联考）若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．-2 10．（2025·天津和平·调研）已知f（x）定义域为R且函数图象关于原点对称，并满足，当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣1，则（    ） A．﹣6 B． C． D．﹣4 11．（2025·天津·期末）已知函数，下面结论中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．的值域为 D．若函数有两个零点，则的取值范围是 12．（2025·天津南开·调研）定义在上的函数满足，对任意的、，，恒有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·天津·模拟预测）已知函数，则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   14．（2025·天津·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·天津·调研）已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，恒成立，设(其中e＝2.71828…)，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津滨海新·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津宁河·调研）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D．1 3．（2025·天津·二模）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津和平·三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则成为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征.函数在区间上的图象的大致形状是（    ） A． B． C． D． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优01 函数的性质 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 利用函数性质解不等式（★★） 4 题型二 函数单调性与奇偶性的运用（★★★） 8 题型三 函数图像问题（★★★★） 12 题型四 恒成立与存在成立问题（★★★★）............................................................................................17 题型五 奇偶性、对称性周期性的运用（★★★★）...................................................................................22 03 实战检测・分层突破验成效 29 检测Ⅰ组 重难知识巩固 29 检测Ⅱ组 创新能力提升 39 一、函数的单调性 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2. 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 二、奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的运算 三、对称性与周期性 1.周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 2.对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 3.周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 4.奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型一 利用函数性质解不等式 【技巧通法·提分快招】 1、对于任意，均有成立，注意功能用来判断函数的单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）； 2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式 3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（）远，谁的函数值就大；如果口朝下：谁离对称轴（）远，谁的函数值就小. 1．（2025·天津·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在单调递增，又结合为奇函数得出上递增，再由等价于或，即可求解集. 【详解】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 2．（2025·天津·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和时的解析式确定函数在上的单调性，再整理化简不等式，得到，换元并化简利用基本不等式求的最小值，即可求解的取值范围. 【详解】因为时，，则在上单调递增. 当时，，所以时，恒成立. 又是定义在上的奇函数，，所以是上的增函数. 不等式，对任意的恒成立， 即，因为是上的增函数， 所以，又因为， 所以，对任意的恒成立， 令， 则， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以，因为对任意的恒成立， 所以. 故选：B 3．（2025·天津南开·期末）函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析分段函数的单调性，可知在上是增函数，结合单调性和定义域列出不等式组，即得解 【详解】令，由于在区间上单调递减， 在定义域单调递减，由复合函数的单调性可知：在区间上单调递增， 又在区间上单调递增， 且函数在处连续，所以在区间上是增函数， 由，得,解得：， 故选：D 4．（2025·天津静海·模拟预测）已知函数正数满足，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】当时，为减函数，所以， 所以在上为增函数，且， 当时，， 所以在上为增函数，且， 综上，函数在上单调递增，且， 所以由可得， 解得或（舍去）， 所以的最小值为4. 故选：B 5．（2025·天津·调研）已知是定义在R上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可. 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当、且时，都有成立， 不妨设，则则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 6．（2025·天津·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，通过其单调性奇偶性，得到在上有解，求得最值，进而可求解； 【详解】设， 由在上单调递增，可知，在上单调递增， 又奇函数， 所以由，可得， ∴，， ∴在上有解，设，， 易知时，，时，， ∴在单调递增，在单调递减，即， ∴， 故选：A 7．（2025·天津·期末）已知函数，若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为定义在上的偶函数，且在内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为， 若，则，可得， 若，则，可得， 可知为定义在上的偶函数，可得， 又因为当时，在内单调递增，且， 可得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C. 题型二函数单调性与奇偶性的运用 【技巧通法·提分快招】 函数单调性的应用场景 1.求最值:利用函数的单调性可以快速找到函数的最大值或最小值。 2.大小比较:通过比较函数在某区间的值，可以判断两个函数的大小关系。 3.解不等式:利用函数的单调性可以解一些抽象的函数不等式。 1．（2025天津·二模）已知是上的奇函数，且对，都有，当时，函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和周期性，即可得解. 【详解】由已知可得. 故选：B. 2．（2025·天津滨海新·联考）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意先明确函数在上的单调性和函数值情况并作出函数图，接着分、和三种情况分析即可求解. 【详解】由题意可知，且在上单调递增，在上单调递减，如图： 当时，，故，此时； 当时，满足； 当时，，， 此时，则，所以， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 3．（2025·天津·期末）已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则满足的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的单调性与奇偶性直接求解. 【详解】为奇函数，且在单调递减， ，，且在上单调递减， 可得或或， 即或或， 即， 故选：B. 4．（2025·天津·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合偶函数的性质可得，再由指数函数、对数函数的单调性可得，再利用函数单调性即可得解. 【详解】函数是定义在R上的偶函数，， ，即，即， ， 又函数在上单调递增，， . 故选：A. 5．（2025·天津·期中）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数m满足，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，建立不等式，求解之，可得选项. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以， 又因为函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递减， 又，所以不等式等价于，即，所以，解得， 所以m的取值范围是， 故选：C. 6．（2025·天津南开·期末）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知在上是增函数，根据函数奇偶性以及单调性解对数不等式计算可得结果. 【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增， 可知在内单调递增，所以在上是增函数， 又因为， 可得，即， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：D. 7．（2025·天津红桥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由已知判断出函数的单调性，结合奇偶性可得，再解不等式可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则即为， 对于任意不等实数，不等式恒成立， 可知在上单调递减，且， 可得，解得. 故选：C. 题型三 函数图象问题 【技巧通法·提分快招】 函数图像的选择方法主要包括以下步骤: 1.理解函数的基本性质:首先，需要理解函数的基本性质，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。这些性质将帮助你更好地判断函数图像的大致形状和变化趋势。 2.掌握常见函数图像的特征:对于常见的函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，需要熟悉它们的图像特征。例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线，指数函数和对数函数的图像分别呈现指数增长和对数增长的趋势。 3.结合题目给出的条件:在解决具体问题时，需要结合题目给出的条件，如定义域、值域、单调性等，来进一步确定函数图像的具体形状和位置。 1．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用定义法证明为偶函数，根据，结合排除法即可求解. 【详解】的定义域为R， 则， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项； 又因为，故排除B选项. 故选：A． 2．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的奇偶性及特值法可判断. 【详解】对于A，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故A错误； 对于B，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故B错误； 对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故C正确. 故选：C. 3．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解； 【详解】对于A：，当时， ，故排除A； 对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B； 对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D； 对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确. 故选：C． 4．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答. 【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 5．（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的正负即可排除求解. 【详解】由于， 故为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除CD, 又，故排除B， 故选：A 6．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，结合选项判断函数的奇偶性，结合即可求解. 【详解】由图象可知的图象关于原点对称，所以为奇函数，且， 对于A, ，故不符合，A错误， 对于B, ，则为奇函数，且满足，故B正确， 对于C, ，则为偶函数，不符合，C错误， 对于D, ，为偶函数，不符合，D错误， 故选：B 7．（2025·天津南开·二模）函数的部分图象大致为（   ）． A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由奇偶函数的定义可排除BC，再由特值法可排除A. 【详解】的定义域为， 则， 所以为奇函数，故排除BC， 令，则或， 则或，解得：或， 所以当时，的最小为1， 则，故A错误，D正确. 故选：D. 题型四 恒成立与存在性问题 【技巧通法·提分快招】 常见不等式恒成立转最值问题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； 1．（2025·天津·期末）已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，求出这两个函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，， 因为内层函数在上为增函数，外层函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 当时，， 当时，，则。 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：A. 2．（2025·天津·期末）已知函数，若存在不相等的实数，，，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为与的图象的四个交点横坐标之和的范围，数形结合可得答案. 【详解】由题设，将问题转化为与的图象有四个交点， 作出的图象如下： 所以时，与的图象有四个交点， 令，解得或，令，解得或， 不妨假设，由图及函数性质知： ， 易知：的图象关于对称， 所以，又由得， 所以，且， 得，当且仅当时等号成立， 所以. 3．（2025·天津·期中）已知，若存在，使得不等式能成立，则实数的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数，讨论函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再结合的取值范围，求的取值范围 【详解】设， 则，所以函数为奇函数； 当时，在上单调递增. 所以函数函数在上为增函数. 所以. 所以. 所以，时能成立. 因为，所以或. 所以或. 故选：B 4．（2025·天津·期中）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的值域，再根据题意可得的值域是的值域的子集，对的符号分类讨论，根据集合间的包含关系可解得答案. 【详解】因为， 所以，可得的值域为； 因为对于任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集； 显然，当时，，不合题意； 当时，在上为增函数，所以，即； 因此，解得； 当时，在上为减函数，所以，即； 因此，解得； 综上可得，实数的取值范围是 故选：C 5．（2025·天津东丽·模拟预测）已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数型复合函数的单调性分析得的单调性，从而得到在上的最值，由条件得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 所以在区间上单调递减，其最大值与最小值分别为，， 则， 即，则， 得，整理得， 令，则其图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 因为存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1， 所以存在，使得成立，即， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 6．（2025·天津·期末）已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同的解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数图象分析得解. 【详解】因为，，所以函数图象如图， 当时，的图象如下，可知不存在实数b，使得方程有两个不同的解. 同理当也不满足. 当时，的图象如下，可知存在实数b，使得方程有两个不同的解. 综上，要使方程有两个不同的解，需． 故选：C 7．（2025·天津·模拟预测）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知a的取值范围. 【详解】因为，所以， ∴，即对恒成立， ∵， ∴恒成立， 当时，有最小值-4， ∴， 故选：A 题型五 奇偶性对称性周期性的运用 【技巧通法·提分快招】 1、函数的周期性的判定及应用 第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； （1）若函数满足，则函数的周期为； （2）若函数满足或或，则函数 的周期为； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 2、函数的对称性问题 记住常见的几种对称结论： 第一类 函数满足时，函数的图像关于直线对称； 第二类 函数满足时，函数的图像关于点对称； 第三类 函数的图像与函数的图像关于直线对称. 3.奇偶性的运用方法 奇函数:由于奇函数的图像关于原点对称，可以利用这一性质简化计算。 偶函数:由于偶函数的图像关于y轴对称，可以利用这一性质简化计算。 1．（2025·天津·期末）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图像，将有四个零点转化为的图像与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范围. 【详解】解：时，，， 在上单调递减，在上单调递增，， 时，， 在上单调递减，在上单调递增，， 画出的图像如下图，有四个零点即的图像与有四个不同交点， 由图可得，是方程，即的两根， 是方程，即的两根， ，， 则， 设，，则，在上单调递增， 当时，，即. 故选：A. 2．（2025·天津·阶调研）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得出函数的图象关于直线对称，这样得出函数在上是减函数，再由奇函数得出在上是增函数，利用奇函数得，从而得出，确定的值或范围后利用单调性可比较大小． 【详解】因为是定义在R上的奇函数且满足， ，所以的图象关于直线对称， 在上是减函数，则在上是增函数， 又是奇函数，所以在上是增函数， 所以在上是增函数，在上是减函数， 结合奇函数得，所以， ，，， 所以，即， 故选：C． 3．（2025·天津·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知求出，再分析出函数的周期性和对称性，作出函数的图象分析即得解. 【详解】解：因为是定义在R上的奇函数，所以. 所以当时，. 因为，则关于对称， 因为关于对称，有6个不相同的根， ∴在有三个不同的根， 表示过定点的直线系， . 作出在上的图象,如图所示， 时，，又, 则； 时，; 时，显然不满足题意. ∴m的取值范围. 故选：D． 4．（2025·天津河西·二模）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解． 【详解】由知的图象关于对称， 由知的图象关于对称， 作出与在,上的图象：    由图可知函数与函数的图象在区间上的交点个数为4． 故选：B． 5．（2025·天津·一模）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（ ） A．2020 B．1010 C．1012 D．2022 【答案】A 【分析】根据条件先得出函数的周期性和对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即当时， 由已知， ， ，故是周期函数，且对称轴为， 又，即， 所以函数关于对称 如图函数和函数在上的图像 在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期， 在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期， 所以函数和函数在和上都有个交点， 根据对称性可得所有交点的横坐标之和为. 故选：A. 6．（2025·天津·期中）已知函数定义域为，且满足下列三个条件：①任意，都有；②；③为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由①可得在单调递增，由②可得周期为，由③可得函数对称轴是，结合以上性质既可以比较的大小关系. 【详解】由①对任意，都有，可得在单调递增， 由②，可得，所以 即函数周期为 由③为偶函数，可得函数对称轴是， 所以，，， 因为在单调递增，且， 所以 故选：B 7．（2025·天津·一模）定义在上的偶函数满足，当时，，设函数（为自然对数的底数），则与的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的周期，利用周期性和偶函数作出在区间的图象，以及的图象，数形结合即可求解. 【详解】因为满足， 所以图象关于直线对称， 因为是上的偶函数，所以图象关于直线对称， 所以的周期为， 的图象关于直线对称， 由时，，作出图象如图和的图象 由图知与的图象在区间有四个交点，设交点横坐标分别为， 且，， 所以， 所以与的图象所有交点的横坐标之和为， 故选：D 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数图象关于轴对称，排除A ，C，由排除B，利用排除法即可. 【详解】函数图像关于轴对称，则函数是偶函数， 对于A，,, , 即函数是奇函数，故A错， 对于B，，， ， 是偶函数， 当时，，故B错， 对于C ， ，， ， 是奇函数，故C错， 对于D，，， ， 是偶函数，，符合题意，故D正确. 故选：D 2．（2025·天津河西·三模）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且时；，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数的值域为，其中正确命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由函数关系式及偶函数的性质可知在、上分别是周期为2的函数，并可写出其对应的函数解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误. 【详解】由题设，，即是周期为2的函数， 令，则，而时；， ∴. ∴综上：且在上周期为2. ∵为定义在上的偶函数， ∴在上周期为2且. ①，正确； ②函数在定义域上是周期为2的周期函数，错误； ③直线与函数的图象如下图示，只有1个交点，正确； ④函数如下图示，其值域为，正确； 故选：D. 3．（2025·天津·天津和平·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，，且时，则=（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据虚拟函数的奇偶性和满足的条件，求出周期，根据周期缩小自变量的值，根据奇函数性质，求出函数值. 【详解】因为函数满足，所以，即函数是以3为周期的周期函数，又函数是定义在上的奇函数，且时，，所以． 故选：D． 4．（2025·天津南开·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．在上单调递增 D．函数有11个零点 【答案】C 【分析】对于A选项：根据为奇函数，为偶函数，得到的对称中心、对称轴和周期，然后根据周期性和解析式即可判断；对于B选项：根据关于对称和的周期为8，可得到关于直线对称，进而判断；对于C选项：根据解析式、对称性和周期性画出函数图象，然后根据图象即可判断；对于D选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可判断． 【详解】因为为奇函数， 所以关于点对称，即， 因为为偶函数， 所以关于直线对称，即， 所以， 所以， 所以， 可得到周期为8， 对于A选项：因为，所以， 所以，故选项A正确； 对于B选项：因为关于直线对称，周期为8， 所以关于直线对称， 所以为偶函数，故B正确； 对于C选项：结合图象可得在上为减函数，故C选项错误； 对于D选项：画出函数与图象， 可知这两个图象只有11个交点， 所以函数有11个零点，故D选项正确． 故选：C． 5．（2024·河南开封·三模）已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先根据函数对称性可以得到，利用函数为奇函数可求出函数的周期，利用周期进一步计算即可求出函数值. 【详解】因为的图象关于对称， 所以，于是， 又是定义在上的奇函数，所以， 则，即， 所以的周期为4， 所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：. 6．（2025·天津南开·模拟预测）定义在上的函数满足，且在上有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数满足，可得周期为4，然后对化简求值即可. 【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以为奇函数， 又因为，所以， 即 所以的周期为4，因为在上有， 所以， 故选：D 7．（2025·天津·天津·期末）定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得函数的周期为2，函数与的图象在区间上有4个交点，利用数形结合即得. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 所以，即是周期为2的函数， 由，可得， 因为在区间上函数恰有4个不同的零点， 所以函数与的图象在区间上有4个交点， 作出函数与的大致图象， 由图象可知，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D. 8．（2025·天津·天津·模拟预测）定义在R上的函数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．图象的对称轴为直线 C．当时， D．方程恰有5个实数解 【答案】C 【分析】由给定条件可得的周期为4，并探讨函数的奇偶性，举例说明判断A；由是对称轴判断B；求出时的解析式判断C；画出函数的部分图象判断D作答. 【详解】因，则的值域为不正确，A不正确； R上的函数满足，即，又， 则函数是最小正周期为4的周期函数，，当时，，有， 当时，，且，， 于是有，，即函数在上是偶函数，又周期为4，则是R上的偶函数， 由知，直线是函数的图象对称轴，不满足，B不正确； 当时，，则，C正确； ，在同一坐标系作出函数的部分图象与直线，如图， 观察图象知，直线与函数的图象有4个公共点，即方程有4个实根，D不正确. 故选：C 9．（2025·天津·天津武清·联考）若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．-2 【答案】D 【分析】由已知，利用奇函数及周期性求，的函数值，即可求目标式的值. 【详解】∵是定义在上的奇函数， ∴，又在上的周期为2， ∴，， ∴. 故选：D. 10．（2025·天津和平·调研）已知f（x）定义域为R且函数图象关于原点对称，并满足，当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣1，则（    ） A．﹣6 B． C． D．﹣4 【答案】C 【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且周期为2，结合函数的奇偶性可得，结合函数的解析式计算可得答案. 【详解】解：根据题意，f（x）定义域为R且函数图象关于原点对称， 则f（x）为奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x）， f（x）满足，则有， f（x）为奇函数，则， 又由2<log26<3，则， 则， 故选：C. 11．（2025·天津·期末）已知函数，下面结论中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．的值域为 D．若函数有两个零点，则的取值范围是 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；将函数的解析式化为分段函数的形式，结合反比例型函数的基本性质可求得的值域，可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，则， 所以，函数的图象不关于点对称，A错； 对于B选项，因为，，B错； 对于C选项，因为， 当时，，则，则， 当时，， 当时，则，则，此时，， 综上所述，函数的定义域为，C错； 对于D选项，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因为函数有两个零点，则的取值范围是，D对. 故选：D. 12．（2025·天津南开·调研）定义在上的函数满足，对任意的、，，恒有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性以及对称性，将所求不等式变形为，根据函数的单调性和定义域可得出关于实数的不等式组，由此可得出原不等式的解集. 【详解】不妨取，则，即， 所以函数是定义在上的增函数， 对任意的，， 由可得， 即， 所以，。解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 13．（2025·天津·模拟预测）已知函数，则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案. 【详解】因为，故C错误； 又因为， 故函数的图象关于对称，故B错误； 当趋近时，趋近，趋近，所以趋近正无穷，故D错误. 故选：A. 14．（2025·天津·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，问题转化为，再判断函数的单调性，利用单调性求解即可得解. 【详解】，，， 所以不等式可转化为， 又在R上单调递增，在R上单调递增， 进而在R上单调递增，所以函数在R上单调递增， ，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 15．（2025·天津·调研）已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，恒成立，设(其中e＝2.71828…)，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a 【答案】B 【分析】由于f(x) 关于直线x＝1对称，可以得到f(-1)＝f(3)，因为当x2＞x1＞1时，，所以f(x)在(1，+∞)上单调递减，这样就能对比f(3)、、f(2)的大小，进而得到答案 【详解】解：由题意得，f(x)在(1，+∞)上单调递减， 因为函数图象关于x＝1对称， 所以f(x)在(-∞，1)上单调递增， 因为f(-1)＝f(3)，且3＞e＞2＞1， 所以f(3)＜f(e)＜f(2)， 所以a＜c＜b． 故选：B． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津滨海新·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 2．（2025·天津宁河·调研）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将变形为，求出其值域，根据其值域可得或，由此可得答案. 【详解】因为， 又因为，，， 所以， 所以当时，； 当时，. 所以函数的最小值为. 故选：B 3．（2025·天津·二模）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可 【详解】由图象可知，函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数， 对于A，，所以是偶函数，当时，令，则，得，则当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以A不合题意， 对于B，因为，所以是奇函数，所以不合题意， 对于C，因为，所以是偶函数，当时，令，则，得，所以当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以符合题意， 对于D，因为，所以是奇函数，所以不合题意， 故选：C 4．（2025·天津和平·三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项. 【详解】令，则该函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数，排除B选项. 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，函数的最小值为，排除AD选项. 故选：C. 5．（2025·天津·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则成为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用定义说明函数为奇函数，再把函数解析式变形，得到的范围，然后分类求解，即可得出结果． 【详解】∵，， ∴为奇函数， 化， ∵，∴，则． ∴当时，，； 当时，，； 当时，. ∴函数的值域是． 故选：C． 6．（2025·天津·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征.函数在区间上的图象的大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案. 【详解】因为， 所以在区间上是偶函数，故排除B，D， 又，故排除C； 故选：A. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$