精品解析：山东省东营市利津县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024－2025学年度第二学期期末教学质量调研 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分，每小题只有一项是正确的，每小题选对得3分．） 1. 下列计算结果，正确的是（ ） A. ＝－3 B. ＋＝ C. －＝1 D. ＝5 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的性质对A、D进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断． 【详解】解：A、原式=3，所以A选项错误； B、与不能合并，所以B选项错误； C、原式=，所以C选项错误； D、原式=5，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：A．x2+1=0中△=02-4×1×1=-4＜0，没有实数根； B．x2-2x+1=0中△=（-2）2-4×1×1=0，有两个相等实数根； C．x2+2x+4=0中△=22-4×1×4=-12＜0，没有实数根； D．x2-x-3=0中△=（-1）2-4×1×（-3）=13＞0，有两个不相等的实数根； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键. 3. 已知，则等于（　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题干可得y＝2x，代入计算即可求解． 【详解】∵， ∴y＝2x， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc，比较简单． 4. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法：①当时，它是矩形；②时，它是菱形；③当时，它是菱形；④当时，它是正方形．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ② 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法依次判断后即可解答. 【详解】解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当时，四边形ABCD是菱形，①错误； ②根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当时，四边形ABCD是菱形，②正确； ③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③错误； ④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当时，平行四边形ABCD是矩形，不是正方形，④错误； 综上，正确的为②． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形、矩形及正方形的判定方法，熟练运用菱形、矩形及正方形的判定方法是解决问题的关键. 5. 根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算．根据表格中函数值的符号变化，确定方程根所在的范围．当函数值由正变负或由负变正时，对应的区间内存在一个根． 【详解】解：观察表格数据： 当x在与之间或4到5之间时，的值由正到负， ∴x的取值范围是或． 故选：D． 6. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设到会的人数为x，则每个人都需要与人握一次手，再根据两人之间的握手只算做一次列出方程即可． 【详解】解：设到会的人数为x， 由题意得，， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 7. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交直线l1、l2、l3于点D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. ＝ D. ＝ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判定即可． 【详解】∵l1∥l2∥l3 ∴ ＝ ＝ ∴＝ ∴选项A、B、D正确，故不符合题意；选项C错误，符合题意 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例． 8. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用数轴结合二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得：-1＜a＜0，0＜b＜1， 故应选B 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是根据字母数字范围正确化简二次根式． 9. 如图，给出下列条件：①，②，③，④，其中不能判定的条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】解：①，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ④中不是已知的比例线段的夹角，不正确 故选：D． 10. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本大题共8小题，11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分，只要求填写最后结果．） 11. 的平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据平方根、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：， 的平方根，即45的平方根为． 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式求出它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意，该方程为关于的一元二次方程，则二次项系数，解得. 根据题意得且． 解得且． 故答案为且． 13. 在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，掌握位似图形的性质是关键．根据位似图形的坐标特征可知，对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或，据此即可得到答案． 【详解】解：，以原点O为位似中心，相似比为， 对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或， 的坐标是或， 故答案为：或． 14. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长_______米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答． 设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意， 答：生态园垂直于墙的边长为6米． 15. 如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用．设正方形零件的边长为．则，由题意易得，进而可得，然后根据相似三角形的性质可求解． 【详解】解：设正方形零件的边长为．则， 由题可知，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得．即， 故答案为：． 16. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于__________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】连接，由菱形的性质解得，再根据勾股定理解得，继而证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短解得当时，有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可． 【详解】连接， 四边形是菱形， 四边形为矩形， 当时，有最小值， 此时 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17. 如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为________秒时，与相似． 【答案】3或7.5 【解析】 【分析】主要考查的是相似三角形的性质和判定、含30度的直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质和判定、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ①当时，， ， ， ； ②当时，， ， ， ． 或7.5秒时，与相似． 故答案为：3或7.5． 18. 含角的菱形，，，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，…，和点，，，，…，分别在直线和轴上．已知，，则点的横坐标是________（为正整数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标规律，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，正确求出，，，…的坐标找到规律是解题的关键． 过点作轴于点D，证明是等边三角形，得到，进而得到，，，则，根据所给图形，依次求出点，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点D， ∵含角的菱形，，，…， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， 则， ∵，， ∴， 同理可得出：，， 依此类推可知点的横坐标是：， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共62分．写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，进而去括号合并即可得到答案； （2）利用乘法公式分别化简，进而合并即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式， ， ． 【小问2详解】 解：原式， ， ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）把方程化为，再进一步解方程即可求得答案； （2）把方程化为，再进一步解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 整理得，， 或， 解得，． 【小问2详解】 解： ， 则或， 解得，，． 21. 如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断与相似，再根据边成比例计算即可． 【详解】解：，， ， 根据镜面的反射性质， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， 旗杆高度为． 22. 2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件． （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 【答案】（1）10％ （2）110 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为x，再根据2022年1月的销售量×（1+x）2=2022年3月的销售量列出方程，求出解，舍去不符合题意的解即可； （2）设商品的售价为m元，可表示利润和每天的销售量，再根据单件利润×销售量=12000列出方程，再求出解，根据题意确定答案即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得，（舍去）． 所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是10％； 【小问2详解】 解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，每天的销售量是500-10（m-100）=（1500-10m）件，根据题意，得 ， 解得，． 因为要使销售量尽可能大， 所以． 所以每件商品的售价应该定为110元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 23. 观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，． 利用以上结论解答以下问题： （1）________； （2）比较大小：________；（填“”“”或“”） （3）应用上面的结论，求下列式子的值：； （4）拓展提高，求下列式子的值：． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先把分母有理化，然后进行计算即可； （2）先把，写成，，然后比较，的大小，再根据同分子分数比较大小的方法进行比较即可； （3）各个小题均把各个加数的分母有理化，然后进行简便计算即可； （4）各个小题均把各个加数的分母有理化，然后进行简便计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 24. 如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点． （1）求证：∽； （2）当时，求的长； （3）是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，推出，再由直角三角形的性质，得出，又因，推出，，从而证明∽； （2）根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得结论； （3）假设存在满足条件的点，设，则，由∽知，解得的值，从而得结论． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ∽； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， ， ， ， ， 中，， ； 【小问3详解】 解：假设存在满足条件的点， 设，则， ∽， 根据的周长等于周长的倍，得到两三角形的相似比为， ，即， 解得， ， ． 【点睛】此题是相似三角形的综合题，考查了矩形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，根据的周长等于周长的倍，得到两三角形的相似比为是解题的关键． 25. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）四边形是正方形， 证明：∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期末教学质量调研 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分，每小题只有一项是正确的，每小题选对得3分．） 1. 下列计算结果，正确的是（ ） A. ＝－3 B. ＋＝ C. －＝1 D. ＝5 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则等于（　　） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法：①当时，它是矩形；②时，它是菱形；③当时，它是菱形；④当时，它是正方形．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ② 5. 根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交直线l1、l2、l3于点D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. ＝ D. ＝ 8. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是( ) A. B. C. D. 9. 如图，给出下列条件：①，②，③，④，其中不能判定的条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本大题共8小题，11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分，只要求填写最后结果．） 11. 的平方根是_______． 12. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是_______． 13. 在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B对应点的坐标是______． 14. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长_______米． 15. 如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是______ 16. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于__________． 17. 如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为________秒时，与相似． 18. 含角的菱形，，，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，…，和点，，，，…，分别在直线和轴上．已知，，则点的横坐标是________（为正整数）． 三、解答题（本题共7小题，共62分．写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 22. 2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件． （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 23. 观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，． 利用以上结论解答以下问题： （1）________； （2）比较大小：________；（填“”“”或“”） （3）应用上面的结论，求下列式子的值：； （4）拓展提高，求下列式子的值：． 24. 如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点． （1）求证：∽； （2）当时，求的长； （3）是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 25. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $