专题01 相似三角形的判定与性质10大题型（专项训练）数学北京版九年级上册

专题01 相似三角形的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相似三角形的判定综合 1 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 2 题型三、利用相似三角形的性质求解 3 题型四、利用相似关系求坐标 5 题型五、相似三角形的动点问题 6 题型六、重心的有关性质 8 题型七、相似三角形与旋转问题 8 题型八、相似三角形与翻折问题 8 题型九、相似三角形与函数问题 9 题型十、相似三角形的综合问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相似三角形的判定综合 1．如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由(1)可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 2．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由矩形的性质，结合直角三角形两锐角互余及互余定义得到、，等量代换即可得到，结合“一线三垂直模型”，由两个三角形相似的判定即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键． 3．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． (1)求证：； (2)求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长度为 【分析】（1）由矩形的性质，结合直角三角形两锐角互余及互余定义得到、，等量代换即可得到，结合“一线三垂直模型”，由两个三角形相似的判定即可得证； （2）由矩形性质，结合题意得到相关线段长度，再由（1）中，列比例式，代值求解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设， ，， ，， 由（1）知， ，即， 则，整理得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的长度为． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键． 4．如图，在四边形中，平分，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）先利用直角三角形斜边中线的性质得出，则可得，再结合平分即可证明 （2）利用，，可得，再利用相似的性质即可得； （3）利用平行判定，求出，再利用线段的比例性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，所以，同理可得，故，即得答案； （2）先证明，得到，设，求出，的值，即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ， ；     （2），恰好将三等分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， 设，则，， 由得，， （负值舍去）， ． 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 6．下列各组条件中不能使与相似的是（   ） A．，， B．，， C．，，，， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则即可得出答案，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 【详解】解：A、，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵， ∴与的夹角为，与的夹角为， 而给出的条件为， ∴不能判断，故选项符合题意； 故选：D． 7．如图，点在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确，不符合题意； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确，不符合题意； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确，不符合题意； D、当时，其夹角不相等，则不能判断，故D不正确，符合题意； 故选：D． 8．在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，求解随机事件的概率，先分别在条件①或②或③的情况下，看能不能证明与相似，再利用随机事件的概率公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，而不一定等于， ∴与不一定相似； ∴当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为； 故答案为： 9．如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：． 10．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似． 题型三、利用相似三角形的性质求解 11．如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．连接，得到，即，证明，得到， 列比例式得证，解答即可． 【详解】解：连接， ∵菱形中，菱形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 12．如图，正方形的边长为2，，线段的两端分别在上滑动，那么当 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，先计算出，再分和两种情况，代入数值计算即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得； 综上所述，为或时，与相似． 故答案为：或． 13．如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）利用矩形和直垂直的定义可得、，从而证明结论； （2）首先利用勾股定理求得线段的长，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即梦． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 14．如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识： （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，再分别求出，，，从而可得结论． 【详解】（1）证明： （2）解：由（1）得 又 ，点是的中点 15．[课本回归]在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题． 如图，已知，点分别是线段上的动点，连接． （1）若点，分别是线段，上的中点时，求证： 证明： ．．．．．． 请完成以上证明过程． （2）在（1）的前提下，如图，当的面积为4时，则的面积为 ； （3）点D，分别在线段CA，上的运动时，当_____时，，并求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）（3）、 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）先证明，即可证明； （2）根据相似三角形性质可得； （3）当时，得，此时，故当时，．显然． 【详解】（1）， ， ， ． （2）． （3）当时， ， ， ， 此时，， 故当时，， ． 题型四、利用相似关系求坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 17．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 题型五、相似三角形的动点问题 18．如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ，． （2）解：①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）解：的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 19．如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ 【答案】(1) (2)或秒 (3)或秒 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论． （1）结合题意，直接得出答案即可； （2）根据三角形的面积列方程即可求出结果； （3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若，②若，然后列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得：经过t秒后，； （2）解：根据题意得：经过t秒后，，则； 当的面积等于面积的时， 即， 解得；或； 答：经过或秒后，的面积等于面积的； （3）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， ①若则，即，解得； ②若则，即，解得； 由P点在BC边上的运动速度为，Q点在边上的速度为，可求出t的取值范围应该为， 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件． 答：当运动的时间为或秒时，与相似． 20．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 21．如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 22．如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，一元一次方程的运用，根据相似三角形的性质分情况①当时，②当时，讨论建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意，设经秒后，， 由于，，， ①当时， ． 解得． 故经过秒时，． ②当时， ． 解得． 故经过秒时，． 故答案为：或． 题型六、重心的有关性质 23．如图，在中，，分别是，边上的中线，与相交于点，连接并延长交于点，连接交于点．以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的是 （只填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形的中线、重心、中位线、三角形的面积等内容．熟练利用面积转化为线段之间的关系是解题的关键． 根据重心的相关结论与证明，利用等面积求证即可． 【详解】解： ，分别是，边上的中线， 点是的中点，点是的中点， 交于点，根据三角形三条中线交于一点（重心）， 点是的中点， 是的中位线， ，即， 故①正确； 由上述分析可知点是的重心，根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是，即， 故②正确； ， 若，则， 是中线， ，但题干并无此条件， 故③不正确，不符合题意； 由①可知，并且点是的中点，点是的中点， ， ，， 点是的中点， ， 又是的中位线， ，即， 由②可知， ，， ， ， ． 故④正确． 故答案为：①②④． 24．如图，在中，，，点是的重心，连接并延长交于点，过点作交于点，连接交于点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 首先根据三角形重心的性质可得，根据直角三角形的性质可得，利用等边三角形的判定和性质得到，进一步得到，即 ，根据垂直平分线的性质和含的直角三角形的性质可得 ，，进而得到，从而得到的值． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵点是的重心， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．如图，的中线，相交于点F，点M，N分别是，的中点，连接MN，已知的面积为4，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线的性质，重心的性质，能够准确地找到所求图形面积与已知图形面积之间的联系是快速解决本题的关键．先根据，是的中线，得出点F为的重心，，，得出，，然后根据三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，进行解答即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，是的中线， ∴点F为的重心，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 26．如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键； （1）过点作，得出，证明，进而可得，，得出，即可求解． （2）同（1）可得，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 27． 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】(1)9 (2)16 (3) 【分析】本题主要考查了三角形重心性质的应用、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据重心与一边中点的连线的长是对应中线长的即可解答； （2）在中，点G是的重心，，然后求出的面积即可； （3）如图：连接，先证可得，可得可得，最后求出的面积即可． 【详解】（1）解：在中，点G是的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）解：∵在中，中线相交于点G， ∴G为的重心． ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． （3）解：如图：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型七、相似三角形与旋转问题 28．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图1，连接，，直线和直线的位置关系为________． (2)如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接， 求证：①平分； ②点为线段的中点． (3)若直线与直线交于点，当时，请直接写出的长________ 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析； (3)的长为或． 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到，延长与的延长线于点，交于点，求得，据此得解； （2）①过点作于点，由旋转可知，得到，根据 平行线的性质得到，推出平分； ②根据角平分线的性质得到，由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到； （3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形，如图2，根据直角三角形的性质结合勾股定理得到，，即可求得；如图3，同理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质知，，，， ， ， ， 延长与的延长线于点，交于点， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：①由旋转可知，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ②如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，平分， ∴， 由旋转可知，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：由旋转得，，， ∴． ∵， ∴，在四边形中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴， 如图，令与的交点为， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图， 同理可得，，， ∴ 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 29．综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与． 观察发现： (1)如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是 ；位置关系是 ．请说明理由． 探索猜想： (2)如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)依然成立，见解析 【分析】（1）根据在直角三角形中，两条直角边对应边成比例可得，再由相似即可得与的数量关系，再延长根据即可得到与的位置关系． （2）根据两边对应成比例及其夹角相等可得，再根据相似三角形的性质可得与的数量关系和位置关系． 【详解】（1）解：因为点F，H恰好为边，的中点，且，， 所以，， 又因为在和中， ，， 所以， 所以，， 延长交于点M，如图， 因为中，， 又因为， 所以， 所以在中，，即， 所以． （2）解：当时，且， 因为四边形和为矩形， 所以， 所以， 即， 由（1）知，，， ，， 所以， 所以， ，， 记与交于点P，与交于点N，如图， 因为，， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定与性质，分别由直角三角形和普通三角形证明相似的方法，证明出是解决本题的关键． 30．如图1，在中，，，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现：当时，_______；当时，_______； (2)拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决：当旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)当时，的大小没有变化，，证明见解析 (3)或 【分析】此题主要考查几何变换综合应用，涉及相似三角形的判定和性质，三角形中位线，勾股定理和旋转的性质等知识，解题的关键是分类讨论思想，数形结合思想的应用． （1）根据三角形的中位线定理，结合勾股定理和旋转的性质即可得到答案； （2）根据旋转的性质、中位线以及相似三角形的知识，可以得到仍然成立，结合两边与夹角，可以得到，由此可以得到的值； （3）根据题目可知要分：在的上方和在的下方两种情况进行分析，进而结合前面得到的的值，便可以解答本题． 【详解】（1）解：①当时， ∵中，，，， ∴． ∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴； 故答案为：； ②当， ∴，， ； 故答案为：； （2）解：当时，的大小没有变化，，证明如下： 如图2，由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ， 在图1中，∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ； ∴在图3中，； 由（2），可得：， ； ②如图4，连接， 同理可得， ； 综上所述，的长为或． 31．在和中，，，，与交于点，与交于点． (1)如图1，当点与点重合时，证明：； (2)已知，以点为旋转中心，旋转（始终在右侧） （i）如图2，当时，求的值； （ii）如图3，连接，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）证明，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）（i）勾股定理求得，根据等面积法求得，进而根据，即可求解； （ii）连接，证明，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，，， ∴， ，即， ． （2）（i）∵， ∴, ∵ ∴，， ∵，， ∴ ∵， ∴ （ii）连接， ， ， 又， 即， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， ∵， ， 即， ∴ 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形．熟练掌握全等三角形性质，相似三角形的判定和性质，旋转性质，勾股定理，等腰三角形判定和性质，面积法求三角形高，是解题的关键． 32．在中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，． (1)如图1，若点是的中点，，则___________； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，在点的运动过程中，当长取到最小值时，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质得到，得到，求出，即可求解； （2）过点作于点，则，证明，得到，证明，得到，即可得出结论； （3）过点作于点，在上截取，连接，则和都是等腰直角三角形，得到，，证明，得到，根据点在上运动时，对应的点在过点且满足的直线上运动，当时，长最小，此时是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得：，， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：过点作于点，则，如图： 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ， ； （3）解：如图，过点作于点，在上截取，连接，则和都是等腰直角三角形， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动时，对应的点在过点且满足的直线上运动， 当时，长最小，此时是等腰直角三角形， 在中，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 题型八、相似三角形与翻折问题 33．如图， 在中，， D为的中点， 连接， E为边上一动点， 连接， 将绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1， 当E在线段上时，若 求的长； (2)如图2， 当E在线段上时（点E不与C， D重合）， 连接交于点G， 求证:； (3)在（2）的条件下，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， 连接与交于点 P， 当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【分析】对于（1），根据勾股定理求出，即可求出，再证明可得答案； 对于（2），结合（1）证明，可得，进而得出，可得，可得，即可得出答案； 对于（3），先确定当点共线时，取得最小值，画出图形，由（2）得根据翻折的性质得，再设，则，根据勾股定理表示，，即可得出，，接下来说明，结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵ 根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴. ∵， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （3）解：如图所示，根据翻折的性质可知， 则， 当点共线时，取得最小值． 如图所示，由（2）得 由翻折得， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得， 则， ∴， 则，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，旋转的性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 34．综合与实践    问题情境： 如图1，在矩形中，，，点在边上且不与点，重合，连接并延长，交射线于点．将沿直线翻折，点的对应点为，延长交直线于点． 猜想验证： (1)试探究与的数量关系，并说明理由． 问题解决： (2)如图2，若点恰好落在对角线上，求的值． (3)若，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用矩形的性质得到，利用折叠的性质得到，再利用等角对等边得到，即可解答； （2）利用勾股定理求出的长，由（1）得，通过证明得到，设的长为，代入数据解出的值，即可求解； （3）先画出示意图，由（2）可知，得出，求出的长，设，表示出，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形为矩形， ， ． 由折叠的性质得，， ， ． （2）解：在中，，， ． 由（1）可知是等腰三角形，， ． ， ， ． 设的长为，则的长为， ， 解得，即， ． （3）解：如图，    由（2）可知， ，即， ， 由（1）可知， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ． 35．如图，四边形是菱形，点E是边上一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上，记为点F．若菱形的边长为5，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长交于点，根据折叠以及菱形得到，，然后设，则，再由相似三角形对应边成比例得到方程求解即可； （2）先得到，然后由三线合一得到，在中，由勾股定理求出，即可求解的面积． 【详解】（1）解：延长交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵折叠 ∴ ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 36．在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接， (1)如图1，当的面积为3时，求的值； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)当时，求的度数； (4)如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值. 【答案】(1) (2)8 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形的面积公式代入即可求得答案； （2）由（1）可得：，再根据，分别代入即可得到答案； （3）当时，分别求出，，的长，再分别利用勾股定理分别求出，，的长，再由勾股定理的逆定理即可得到答案； （4）过点作，易证得，从而可求得，在中，由勾股定理可得：，即可求得求值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）解：由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ． （3）解：由题可得，当时， ∴，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴． （4）解：过点作，交于， ∵， ，，由折叠的性质可得： ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型九、相似三角形与函数问题 37．如图，在中，的垂直平分线经过点，与的延长线交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，问在上是否存在点，使得最小？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，是解此题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，，由平行四边形的性质可得，得到，证明，到，即可得出四边形是平行四边形，结合，得出四边形是菱形； （2）作点关于的对称点，交于，延长，过点作于，连接交于点，此时最小，证明四边形是矩形，得到，，同理可得，，从而得到，证明，得到，进行计算即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，作点关于的对称点，交于，延长，过点作于，连接交于点，此时最小， ， 则， 由（1）可得，，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，， 同理可得，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 38．如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒5cm的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒4cm的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接．    (1)若，求的值； (2)求的面积与之间的函数关系式； (3)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，四边形的面积最小，最小面积为． 【分析】（1）先与勾股定理求解，由可得，再建立方程求解即可； （2）如图，过作于，而，证明，可得，可得，则，可得：，再利用三角形的面积公式建立函数关系式即可； （3）由四边形的面积等于的面积减去的面积，建立函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）如图，过作于，而，    ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）∵，， ∴， ∴当时，四边形的面积最小，最小面积为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，列面积函数关系式，二次函数的性质，熟练的建立二次函数关系式并灵活应用是解本题的关键． 39．如图所示，矩形，，，E为边上一点，．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为．    解答下列问题： (1)用含t的式子表示：____________；____________．当__________时，以P、Q、B为顶点的三角形和相似； (2)设五边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；当t为何值时，S最小？ 【答案】(1)；，或 (2)，，当时，有最小值，最小值为 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数与几何图形等知识，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． （1）由根据矩形的性质及勾股定理，利用路程速度时间可得，，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可； （2）如图，作于，可证得，得，即，可知，再根据，可得，， 再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵，， ∴，， 当时，， ∴，即，解得， 当时，， ∴，即，解得， 综上所述，当或时，以、、为顶点的三角形和相似； 故答案为：；，或； （2）如图，作于，则    ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ， 又∵， ∴，， 则， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为； 题型十、相似三角形的综合问题 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且． (1)求反比例函数与一次函数关系式； (2)点是线段上一点，且，求出点坐标 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数关系式为 (2) 【分析】本题主要考查反比例函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数等． （1）作轴于点B，将代入得到，即可求出反比例函数解析式，根据题意得到，将，代入即可求出一次函数解析式； （2）设直线与y轴交于E，由（1）知直线的解析式，过D作轴于F，得到，设，则，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：作轴于点B， 将代入得：， ∴反比例函数的解析式为； ∵，． 又∵，， ∴． 即， 将，代入得      解得： ∴一次函数关系式为． （2）解：设直线与y轴交于E， 由(1)知直线的解析式为 ∴，， ∴， 过D作轴于F， ∴， 设，则， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴，， ∴． 41．一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，能够明确题意，求得直线l与y轴的交点是解题的关键．设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则，利用勾股定理求得，即可求得C 点的坐标，进一步求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式，进一步求得过点A垂直于的直线解析式，即可求得直线l的表达式． 【详解】解：如图， 设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线l与y轴的交点为D，B关于直线l的对称点为C， 令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线l为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴直线l为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴直线l的函数表达式是， 过点A作，交y轴于点E， 则， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴直线为， ∴直线l的函数表达式是或． 故答案为或． 43．如图，在平面直角坐标系中，的中点M的坐标为，若一次函数的图象经过点M，且将分成的两个部分面积之比为，则k的值为 ．    【答案】1或 【分析】连接，先求出，再根据条件得出，由题意分两种情况讨论：当点C在边上，求出点，然后利用待定系数法即可求出k；当点C在边上，作辅助线如图，则有，易证，然后根据相似三角形的性质求出，进而可得点C坐标，再利用待定系数法即可求出结果．（也可根据面积法求解） 【详解】解：连接， ∵，点M为的中点， ∴，    设满足条件的直线与的另一边边交于点C，由题意分两种情况： 当点C在边上，且时，可得， 可得：， ∴， ∴， ∴， 将，代入， 得出：， 解得：； 当点C在边上，可得，，如图，则有，    连接，作于点D，于点E， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴点C的坐标是， 把、代入， 得出：， 解得：； 另解：∵点是边中点，是中线， ∴， 又 ∴， ∴ ∴； 设直线的解析式为， 把代入得， 所以，直线的解析式为， 设点，则， 又， ∴， ∴， ∴点C的坐标是， 把、代入， 得出：， 解得：； 故答案为：1或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识，正确得出点C坐标是解题的关键． 44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数，点M是线段的中点，连接，，则线段 ．    【答案】// 【分析】先求出点A的坐标为，点B的坐标为，则，由勾股定理得到，由M是线段的中点，则M的坐标为，，过点M作于点H，则，则，证明，则，即，即可得到答案． 【详解】解：次函数， ∴当时，，当时，，解得； ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴点M的坐标为，， 过点M作于点H，则，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】将代入得，可得，，，，在中，由勾股定理得，如图，延长，过作于，证明，则，即，，，根据，，可得，即，令，则，，根据，求值，进而可求的值以及点坐标，然后根据待定系数法求直线的表达式即可． 【详解】解：将代入得， ∴，即，， ∴， 在中，由勾股定理得， 如图，延长，过作于， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 令，则，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 1．（2024·广东珠海·一模）如图，在中，，平分，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用同旁内角互补两直线平行得出，利用角平分线的性质及等量代换得出，利用内错角相等两直线平行得出，利用两组对边分别平行即可得出平行四边形； （2）过点作交于点，利用角平分线的性质和平行四边形的性质得出相等的边，假设，则，判定出，利用相似三角形的性质得出，最后求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，过点作交于点， 又∵平分，， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， 假设，则， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 2．（2024·北京·一模）小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展． 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，将沿翻折，得到． (1)问题解决：当点关于的对称点恰好落在边上时，四边形是________形； (2)问题探究：在（1）的条件下，是边上一定点，连接，作关于的对称线段，连接，射线交射线于点，连接．当点落在边上时，如图①，求的度数； (3)拓展延伸：如图②当点不在边上时，直接写出的值． 【答案】(1)正方 (2) (3) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，折叠的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识，正确做出辅助线是解题的关键． （1）由折叠可知，再证明是等腰直角三角形，得到，从而得到四边形是菱形，结合可知四边形是正方形； （2）过点E作，垂足为H．折叠及对称性可知，设，则，继而求出，，再根据对称性可得，从而运用三角形的内角和定理求出即可； （3）过点E作于点H．设，则．得．得，得，得，得，得，： 【详解】（1）在矩形中，，，， 由折叠可知：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方； （2）解：由（1）得：四边形是正方形， ∴， 过点E作，垂足为H． 折叠及对称性可知，设，则， ∴， ∴， ∵、关于对称， ∴ ∴， ∴； （3）解：如解图，过点E作于点H． 由对称的性质可知，， 设， ∴， ∴． ∵， ∴． 由（1）知，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 3．（2024·江苏苏州·一模）问题提出 如图1，在与中，，，，若，则_______________； 问题解决 如图2，市政部门计划修建四边形绿地，要求米，，，，在四边形绿地中修建直道，将绿地分为两个三角形区域，为中点，以为斜边在内部修建一个等腰直角用作放养锦鲤的水池，内部其它区域（阴影部分）种植鲜花，内部铺设草坪作为宠物活动区． ①求鲜花区（阴影部分）的最大面积． ②在①的条件下，计算宠物活动区的占地面积． 【答案】问题提出：；问题解决：①平方米；②平方米． 【分析】问题提出：根据题意证明出，得到，进而求解即可； 问题解决：①首先求出，计算出的面积，然后得到鲜花区（阴影部分）的面积，得出当最大时，鲜花区（阴影部分）的面积取得最大值，连接，，过点C作于点G，当取得最大值时，最大，证明出，得到，求出米，然后得出点C在以点F为圆心，为半径的圆上运动，当点C，F，G三点共线时，取得最大值，进而求解即可． ②首先求出，然后由求出，求出，然后求出，最后；利用宠物活动区的占地面积求解即可． 【详解】问题提出：∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴； 问题解决：①∵米，为中点 ∴米， ∵是等腰直角三角形 ∴米， ∴的面积（平方米） ∵鲜花区（阴影部分）的面积 ∴当最大时，鲜花区（阴影部分）的面积取得最大值 如图所示，连接，，过点C作于点G ∵米 ∴当取得最大值时，最大 ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ ∵为中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴（米） ∴点C在以点F为圆心，为半径的圆上运动 ∴如图所示，当点C，F，G三点共线时，取得最大值 ∴此时（米） ∴此时（米） ∴此时（平方米） ∴鲜花区（阴影部分）的面积最大值为平方米； ②∵米，米， ∴（平方米） ∵ ∴，即 ∴（平方米） ∵为中点， ∴（平方米） ∵（米），米， ∴（米） ∴（平方米） ∴宠物活动区的占地面积 （平方米）． 【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，圆的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2024·北京海淀·一模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)连接，求的大小（用含的代数式表示）； (2)过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）过点作于点H，由旋转的性质得：，易证是等腰三角形，进而推出，求出，根据，即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论 【详解】（1）解：过点作于点H， 由旋转的性质得：， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图所示. ②， 证明：取中点P，连接， ∵，， ， 又，， ， ， ， ∴， ∴， ∴点中点， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 5．（2024·北京朝阳·一模）在矩形中，，为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接，． (1)如图，求的值． (2)求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识． （1）证明，可得； （2）利用相似三角形的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：∵为边的中点，为边中点，点为对角线的中点， ∴，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴． 6．（2024·上海·一模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质以及矩形的判定方法证明即可． （2）由矩形的性质得出，利用勾股定理求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进而可得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 7．（2024·北京·一模）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【初步探究】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①的度数为______； ②若，则的长为______； 【拓展延伸】 （2）如图2，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长． 【答案】（1）①；②； （2） 【分析】（1）①根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，由此即可求解； ②根据等腰直角三角形的性质得到，即可求解； （2）如图所示，由可将绕点逆时针旋转，至与重合，得，连接，证明，得，即，在四边形中，，则，由周角可得，在中，，由勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：（1）①∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②∵是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：①；②； （2）如图所示，由可将绕点逆时针旋转，至与重合，得，连接， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握旋转的性质，相似三角形的判定和性质是关键． 8．【探究发现】 （1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度； 【答案】（1），；（2），理由见详解；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角和平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证，得，，再由平行线的判定得即可； （2）延长至点，使，连接，证，得，，再平行线的性质得，，然后证，即可得出结论； （3）延长至使得，连接，先证明，得，，再证明，根据相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）解：为边的中点， ， ，， ， ，， ， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 如图2，延长至点，使，连接，   为的中点， ， ，， ， ，， ， ，， 平分， ， ， ； （3）解：延长至使得，连接，     为边的中点， ， ，， ， ，， ， 在中，，，，D为边的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ，即， ， ， ∴，     ， ∴， ，即， ∴． 9．如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，得，进一步证明垂直平分，即可得证； （2）证明得，推出，证明，由相似三角形的性质可得结论； （3）证明得，设，则，得，进一步推出，得，推出，得，再推出，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（2）知，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，平行线的判定和性质等知识点．掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 10．如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)的长为 (3) 【分析】（1）如图，连接，交对角线于点，根据矩形的性质得到，，则，由等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据矩形的性质得到，，则，设，则，，所以，由此列式求解即可； （3）设，，由矩形的性质，结合题意得到，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，整理得，所以，即，由（2）知，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交对角线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为． （3）解：设，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 整理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等边对等角，数形结合分析是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似三角形的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相似三角形的判定综合 1 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 2 题型三、利用相似三角形的性质求解 3 题型四、利用相似关系求坐标 5 题型五、相似三角形的动点问题 6 题型六、重心的有关性质 8 题型七、相似三角形与旋转问题 8 题型八、相似三角形与翻折问题 8 题型九、相似三角形与函数问题 9 题型十、相似三角形的综合问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相似三角形的判定综合 1．如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 2．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．求证：． 3．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． (1)求证：； (2)求的长度． 4．如图，在四边形中，平分，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 5．（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 6．下列各组条件中不能使与相似的是（   ） A．，， B．，， C．，，，， D．， 7．如图，点在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ． 9．如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有 ． 10．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 题型三、利用相似三角形的性质求解 11．如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为 ． 12．如图，正方形的边长为2，，线段的两端分别在上滑动，那么当 时，与相似． 13．如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 14．如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 15．[课本回归]在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题． 如图，已知，点分别是线段上的动点，连接． （1）若点，分别是线段，上的中点时，求证： 证明： ．．．．．． 请完成以上证明过程． （2）在（1）的前提下，如图，当的面积为4时，则的面积为 ； （3）点D，分别在线段CA，上的运动时，当_____时，，并求出的值． 题型四、利用相似关系求坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 17．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 题型五、相似三角形的动点问题 18．如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ 20．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 21．如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 22．如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 题型六、重心的有关性质 23．如图，在中，，分别是，边上的中线，与相交于点，连接并延长交于点，连接交于点．以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的是 （只填序号）． 24．如图，在中，，，点是的重心，连接并延长交于点，过点作交于点，连接交于点，则的值为 ． 25．如图，的中线，相交于点F，点M，N分别是，的中点，连接MN，已知的面积为4，则的面积为 ． 26．如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 27． 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 题型七、相似三角形与旋转问题 28．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图1，连接，，直线和直线的位置关系为________． (2)如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接， 求证：①平分； ②点为线段的中点． (3)若直线与直线交于点，当时，请直接写出的长________ 29．综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与． 观察发现： (1)如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是 ；位置关系是 ．请说明理由． 探索猜想： (2)如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 30．如图1，在中，，，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现：当时，_______；当时，_______； (2)拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决：当旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段的长． 31．在和中，，，，与交于点，与交于点． (1)如图1，当点与点重合时，证明：； (2)已知，以点为旋转中心，旋转（始终在右侧） （i）如图2，当时，求的值； （ii）如图3，连接，当时，求的值． 32．在中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，． (1)如图1，若点是的中点，，则___________； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，在点的运动过程中，当长取到最小值时，求的长． 题型八、相似三角形与翻折问题 33．如图， 在中，， D为的中点， 连接， E为边上一动点， 连接， 将绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1， 当E在线段上时，若 求的长； (2)如图2， 当E在线段上时（点E不与C， D重合）， 连接交于点G， 求证:； (3)在（2）的条件下，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， 连接与交于点 P， 当取得最小值时，直接写出的值． 34．综合与实践    问题情境： 如图1，在矩形中，，，点在边上且不与点，重合，连接并延长，交射线于点．将沿直线翻折，点的对应点为，延长交直线于点． 猜想验证： (1)试探究与的数量关系，并说明理由． 问题解决： (2)如图2，若点恰好落在对角线上，求的值． (3)若，求线段的长． 35．如图，四边形是菱形，点E是边上一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上，记为点F．若菱形的边长为5，． (1)求的长； (2)求的面积． 36．在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接， (1)如图1，当的面积为3时，求的值； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)当时，求的度数； (4)如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值. 题型九、相似三角形与函数问题 37．如图，在中，的垂直平分线经过点，与的延长线交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，问在上是否存在点，使得最小？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 38．如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒5cm的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒4cm的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接．    (1)若，求的值； (2)求的面积与之间的函数关系式； (3)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 39．如图所示，矩形，，，E为边上一点，．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为．    解答下列问题： (1)用含t的式子表示：____________；____________．当__________时，以P、Q、B为顶点的三角形和相似； (2)设五边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；当t为何值时，S最小？ 题型十、相似三角形的综合问题 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且． (1)求反比例函数与一次函数关系式； (2)点是线段上一点，且，求出点坐标 41．一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是 ． 43．如图，在平面直角坐标系中，的中点M的坐标为，若一次函数的图象经过点M，且将分成的两个部分面积之比为，则k的值为 ．    44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数，点M是线段的中点，连接，，则线段 ．    45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是 ． 1．（2024·广东珠海·一模）如图，在中，，平分，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 2．（2024·北京·一模）小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展． 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，将沿翻折，得到． (1)问题解决：当点关于的对称点恰好落在边上时，四边形是________形； (2)问题探究：在（1）的条件下，是边上一定点，连接，作关于的对称线段，连接，射线交射线于点，连接．当点落在边上时，如图①，求的度数； (3)拓展延伸：如图②当点不在边上时，直接写出的值． 3．（2024·江苏苏州·一模）问题提出 如图1，在与中，，，，若，则_______________； 问题解决 如图2，市政部门计划修建四边形绿地，要求米，，，，在四边形绿地中修建直道，将绿地分为两个三角形区域，为中点，以为斜边在内部修建一个等腰直角用作放养锦鲤的水池，内部其它区域（阴影部分）种植鲜花，内部铺设草坪作为宠物活动区． ①求鲜花区（阴影部分）的最大面积． ②在①的条件下，计算宠物活动区的占地面积． 4．（2024·北京海淀·一模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)连接，求的大小（用含的代数式表示）； (2)过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 5．（2024·北京朝阳·一模）在矩形中，，为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接，． (1)如图，求的值． (2)求证：． 6．（2024·上海·一模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 7．（2024·北京·一模）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【初步探究】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①的度数为______； ②若，则的长为______； 【拓展延伸】 （2）如图2，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长． 8．【探究发现】 （1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度； 9．如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 10．如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$