第3章 圆（单元测试·基础卷）数学浙教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第3章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．80° B．50° C．40° D．25° 2．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7．则∠B的大小是（　　） A．30° B．60° C．45° D．90° 3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，BE＝1，CD的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，连接BC．若∠B＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 6．在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 7．对于题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝120°，求∠A的度数”小亮的解答：画出△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝120°，得∠A＝60°，下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，∠A＝60°或120° B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，∠A应该等于65° D．小亮的求解不正确，∠A的度数不固定 8．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，桨轮船的轮子半径为5m，则轮子的浸水深度CD为（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 9．复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角△ABC内接于⊙O，AC＝BC，OD⊥BC于点D，点E是的中点．仅用无刻度的直尺在⊙O上找出点F，使EF∥AB．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长OD，交⊙O于点F．方法②：作直线CO，BE，相交于点G，连结AG，延长AG交⊙O于点F．下列判断正确的是（　　） A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确 C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误 10．如图，P点是圆O劣弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），且满足∠BPC＝∠APC＝60°，D是△ABC内一点，AD＝3，CD＝4，BD＝5，点P在劣弧AB上运动的过程中，2m＝PA2+PB2+PC2，则m的值满足（　　） A． B． C． D．m＝50 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知如图，扇形OAB的半径为2cm，弧长为cm，求阴影部分的面积为 　 　 ． 12．如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，AB⊥CD于M，若CD＝5cm，AB＝4cm，则OM＝　 　 cm． 13．如图所示，利用量角器可以量出一个破损的扇形零件的圆心角的度数，其依据是　 　 ． 14．如图，△ABC内接于⊙O，若AC∥BO，∠OBC＝28°，则∠CBA的度数是　 　 ． 15．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长是　 　 ． 16．如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，Q为弦AP上一点，AQ：QP＝3：2．若点A的坐标为（﹣5，0），则CQ的最小值为　 　 ． 三、解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．如图，在7×7的正方形网格中，点A，B，C，P均为格点，直线m经过点C，P．按下列步骤依次完成作图： （1）画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2； （3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成轴对称？若是，画出对称轴l； （4）△A1B1C1与△A2C2B2是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CE＝CD，交AD的延长线于点E． 求证：AB＝AE． 19．如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，交AB于点E，连接AC，BD，过点C作CF⊥BD于点F，交AB于点G． （1）求证：AC＝CG． （2）若CD＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 21．如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，连结AO，AD，CD． （1）求证：∠ABC＝∠ADB； （2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由． 22．如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE． （1）若∠BAC＝20°，求∠AFC的度数． （2）求证：FA平分∠CFE． （3）若AB＝5，CD＝4，且CF经过圆心O，求CE的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第3章 圆·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B B A A A B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（）cm2 12．1.5 13．对顶角相等 14．34° 15． 16．3 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分） 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（1.5分） （2）如图，△A2B2C2即为所求．（1.5分） （3）△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称． 如图，直线l即为所求．（1.5分） （4）△A1B1C1与△A2C2B2成中心对称． 如图，点O即为所求．（1.5分） 18．（6分） 证明：如图，连接AC． ∵BC＝CD， ∴∠BAC＝∠EAC， ∵CE＝CD， ∴CB＝CE，∠E＝∠CDE， ∵∠ABC+∠ADC＝∠ADC+∠CDE＝180°， ∴∠ABC＝∠CDE＝∠E，（3分） 在△ABC和△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（AAS）， ∴AB＝AE．（3分） 19．（8分） （1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90° ∴∠A+∠ABC＝90° ∵DO⊥AB， ∴∠A+∠D＝90° ∴∠D＝∠ABC；（4分） （2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α， ∵OE＝CE， ∴∠EOC＝∠BCO＝α， 在△BCO中，α+α+90°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠A＝60°， ∵OAAB＝3， ∴OC＝OA＝3，OD＝3，OA边上的高为， ∴S3×3π．（4分） 20．（8分） （1）证明：如图，连接CO， ∵AB⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴∠B+∠D＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠BFG＝90°， ∴∠B+∠BGF＝90°， ∴∠BGF＝∠D， ∵∠BGF＝∠AGC， ∴∠AGC＝∠D， ∵∠A＝∠D， ∴∠A＝∠AGC， ∴AC＝GC；（3分） （2）解：∵AB⊥CD，AC＝GC， ∴AE＝GE， ∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，CD＝8， ∴CECD＝4， 设OE的长为x，则AE＝GE＝x+1， ∴AO＝AE+OE＝2x+1， ∴CO＝AO＝2x+1， 在Rt△OCE中，OE2+CE2＝CO2， ∴42+x2＝（2x+1）2， 16+x2＝4x2+4x+1， 3x2+4x﹣15＝0， （3x﹣5）（x+3）＝0， 3x﹣5＝0或x+3＝0， 解得：x或x＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴CO＝2x+1， ∴⊙O的半径为．（5分） 21．（10分） （1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ADB；（4分） （2）解：OA∥CD，理由如下： ∵AB＝AC， ∴AO⊥BC， ∴∠BAO＝∠CAO， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO， ∴∠ABO＝∠CAO， 由圆周角定理得：∠ABO＝∠ACD， ∴∠CAO＝∠ACD， ∴OA∥CD．（6分） 22．（10分） 解：（1）连接OD， 在△OAC和△OBC中， ， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵OA＝OD＝OE， ∴∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED， 设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y， 在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC＝360° ∴x+x+y+y+90°＝360°， ∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝x+y＝135°；（4分） （2）连接OD， ∵∠AOC＝90°，D为AC中点， ∴， ∴OD＝OA＝AD＝3， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°， ∴的长为：．（6分） 23．（12分） （1）证明方法一：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴CD＝BD， ∵A、E、D、B四点共圆， ∴∠CED＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠CED， ∴DE＝DC， ∴DE＝BD， ∴； 方法二：如图②，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠EAD＝∠BAD， ∴；（5分） （2）解：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F， BDBC＝3，AB＝5， 又勾股定理得，AD4， ∵AD⊥BC，OF⊥BD， ∴OF∥AD，又OA＝OB， ∴OFAD＝2， 则BH3×2， 解得，BH， ∵， ∴BE＝2BH． （7分） 24．（12分） （1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H． ∵CD⊥AB， ∴， ∴∠BAC＝∠BAD＝20°， ∵AB⊥CD， ∴∠AHD＝90°， ∴∠ADH＝90°﹣∠DAB＝70°， ∴∠AFC＝∠ADH＝70°．（4分） （2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD， ∴ ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠AFE＝180°， ∴∠AFE＝∠ACD， ∵∠AFC＝∠ADC＝∠ACD， ∴∠AFC＝∠AFE， 即AF平分∠CFE． （3）解：如图2中，设AB交CD于H． ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴CH＝DH＝2， ∵OC，∠OHC＝90°， ∴OH， ∴AH＝OH+OA＝4， ∴AC2， ∵CF是直径， ∴∠CDF＝∠AHC＝90°， ∴AH∥DE， ∵CH＝HD， ∴AC＝AE， ∴CE＝2AC＝4．（4分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第3章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．80° B．50° C．40° D．25° 2．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7．则∠B的大小是（　　） A．30° B．60° C．45° D．90° 3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，BE＝1，CD的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，连接BC．若∠B＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 6．在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 7．对于题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝120°，求∠A的度数”小亮的解答：画出△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝120°，得∠A＝60°，下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，∠A＝60°或120° B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，∠A应该等于65° D．小亮的求解不正确，∠A的度数不固定 8．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，桨轮船的轮子半径为5m，则轮子的浸水深度CD为（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 9．复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角△ABC内接于⊙O，AC＝BC，OD⊥BC于点D，点E是的中点．仅用无刻度的直尺在⊙O上找出点F，使EF∥AB．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长OD，交⊙O于点F．方法②：作直线CO，BE，相交于点G，连结AG，延长AG交⊙O于点F．下列判断正确的是（　　） A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确 C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误 10．如图，P点是圆O劣弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），且满足∠BPC＝∠APC＝60°，D是△ABC内一点，AD＝3，CD＝4，BD＝5，点P在劣弧AB上运动的过程中，2m＝PA2+PB2+PC2，则m的值满足（　　） A． B． C． D．m＝50 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知如图，扇形OAB的半径为2cm，弧长为cm，求阴影部分的面积为 　 　 ． 12．如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，AB⊥CD于M，若CD＝5cm，AB＝4cm，则OM＝　 　 cm． 13．如图所示，利用量角器可以量出一个破损的扇形零件的圆心角的度数，其依据是　 　 ． 14．如图，△ABC内接于⊙O，若AC∥BO，∠OBC＝28°，则∠CBA的度数是　 　 ． 15．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长是　 　 ． 16．如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，Q为弦AP上一点，AQ：QP＝3：2．若点A的坐标为（﹣5，0），则CQ的最小值为　 　 ． 三．解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．如图，在7×7的正方形网格中，点A，B，C，P均为格点，直线m经过点C，P．按下列步骤依次完成作图： （1）画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2； （3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成轴对称？若是，画出对称轴l； （4）△A1B1C1与△A2C2B2是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CE＝CD，交AD的延长线于点E． 求证：AB＝AE． 19．如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，交AB于点E，连接AC，BD，过点C作CF⊥BD于点F，交AB于点G． （1）求证：AC＝CG． （2）若CD＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 21．如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，连结AO，AD，CD． （1）求证：∠ABC＝∠ADB； （2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由． 22．如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE． （1）若∠BAC＝20°，求∠AFC的度数． （2）求证：FA平分∠CFE． （3）若AB＝5，CD＝4，且CF经过圆心O，求CE的长． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/12 14:11:38；用户：15268541991；邮箱：15268541991；学号：21383301 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第3章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．80° B．50° C．40° D．25° 【考点】圆周角定理；直角三角形的性质 【分析】根据AB是⊙O的直径得出∠ACB＝90°，即可求解． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∠CAB+∠B＝90°， ∵∠CAB＝40°， ∴∠B＝50°， ∠ADC＝∠B＝50°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 2．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7．则∠B的大小是（　　） A．30° B．60° C．45° D．90° 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理 【分析】设∠A＝2x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程求出x，进而求出∠B． 【解答】解：设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝7x， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°，即2x+7x＝180°， 解得：x＝20°， ∴∠B＝3x＝60°， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 【分析】直接利用圆周角定理求解． 【解答】解：∵∠AOB和∠C都对， ∴∠C∠AOB100°＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，BE＝1，CD的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理 【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OE，再由BE＝1，可设CE＝OE＝x，则OC＝x+1，再由勾股定理即可得出结论． 【解答】解：∵∠A＝22.5°， ∴∠BOC＝2∠A＝45°， ∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形， ∵BE＝1， ∴设CE＝OE＝x，则OC＝x+1， ∵CE2+OE2＝OC2，即x2+x2＝（x+1）2， 解得x＝1（负值舍去）， ∴CD＝2x＝22． 故选：B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及勾股定理，熟知以上知识是解题的关键． 5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，连接BC．若∠B＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理 【分析】连接OC，由垂径定理得到CECD＝2，由圆周角定理得到∠COE＝2∠B＝45°，判定△COE是等腰直角三角形，求出OCCE＝2，于是得到⊙O的半径的长为2． 【解答】解：连接OC， ∵直径AB⊥CD于点E， ∴CECD4＝2， ∵∠B＝22.5°， ∴∠COE＝2∠B＝45°， ∴△COE是等腰直角三角形， ∴OCCE＝2， ∴⊙O的半径的长为2． 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，关键是由垂径定理求出CE＝2，由圆周角定理得到∠COE＝2∠B＝45°，判定△COE是等腰直角三角形． 6．在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【考点】弧长的计算 【分析】设⊙O的半径是r cm，由弧长公式得到2.5π，求出r＝6，即可得到⊙O的半径长． 【解答】解：设⊙O的半径是r cm， ∴2.5π， ∴r＝6， ∴⊙O的半径是6cm． 故选：A． 【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）． 7．对于题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝120°，求∠A的度数”小亮的解答：画出△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝120°，得∠A＝60°，下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，∠A＝60°或120° B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，∠A应该等于65° D．小亮的求解不正确，∠A的度数不固定 【考点】三角形的外接圆与外心 【分析】分△ABC是锐角三角形、钝角三角形两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：如图1，∠A∠BOC120°＝60°， 如图2，∠D∠BOC120°＝60°， ∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形， ∴∠A＝180°﹣∠D＝120°， 综上所述：∠A＝60°或120°， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 8．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，桨轮船的轮子半径为5m，则轮子的浸水深度CD为（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 【考点】垂径定理的应用；勾股定理 【分析】利用垂径定理，勾股定理求出OD，即可由CD＝OC﹣OD求解． 【解答】解：∵OC⊥AB，OA＝OC＝5m， ∴AD＝BDAB8＝4（m）， ∴OD3（m）， ∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（m）， 故选：A． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，熟知 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 9．复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角△ABC内接于⊙O，AC＝BC，OD⊥BC于点D，点E是的中点．仅用无刻度的直尺在⊙O上找出点F，使EF∥AB．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长OD，交⊙O于点F．方法②：作直线CO，BE，相交于点G，连结AG，延长AG交⊙O于点F．下列判断正确的是（　　） A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确 C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误 【考点】三角形的外接圆与外心；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 【分析】方法①正确，只要证明∠BAF＝∠AFE即可；方法②正确，只要证明AF平分∠BAC可得结论． 【解答】解：方法①②都正确． 理由：如图，方法①中， ∵OF⊥BC， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵CB＝CA， ∴， ∴， ∴∠BAF＝∠AFE， ∴EF∥AB． 如图，方法②中． ∵E是的中点， ∴， ∴BE平分∠ABC， ∵CA＝CB， ∴， ∴CO⊥AB， ∴CO平分∠ACB， ∴AG平分∠ABC， ∴∠BAF＝∠CAF， ∴， ∴， ∴∠BAF＝∠AFE， ∴EF∥AB． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．如图，P点是圆O劣弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），且满足∠BPC＝∠APC＝60°，D是△ABC内一点，AD＝3，CD＝4，BD＝5，点P在劣弧AB上运动的过程中，2m＝PA2+PB2+PC2，则m的值满足（　　） A． B． C． D．m＝50 【考点】圆周角定理；勾股定理 【分析】延长BP到点F，使得PF＝AP，过点A作AE⊥PF于点E，先求出∠APF＝60°，根据等边三角形的判定和性质可得AF＝AP，∠FAP＝60°，推得AC＝BC，根据圆内接四边形的性质可得∠ACB＝60°，根据等边三角形的判定和性质可得AB＝AC，∠BAC＝60°，根据全等三角形的判定的和性质可得BF＝PC，推得PC＝AP+BP；根据直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据勾股定理可得出AB2＝AP2+BP2+BP•AP，结合题意可得m＝AB2；将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACD′，连接DD′，过点C作CG⊥AD延长线交于点G，根据全等三角形的判定和性质可得DD′＝CD＝4，∠D′DC＝60°，根据勾股定理的逆定理可得∠ADD′＝90°，求得∠GDC＝30°，根据直角三角形的性质可得CG＝2，根据勾股定理求得，，即可求解． 【解答】解：如图：延长BP到点F，使得PF＝AP，过点A作AE⊥PF于点E， ∵∠BPC＝∠APC＝60°， ∴∠APB＝∠BPC+∠APC＝120°， 则∠APF＝180°﹣∠APB＝60°， ∵∠APF＝60°，PF＝AP， ∴△APF是等边三角形， ∴AF＝AP，∠FAP＝60°， ∵∠BPC＝∠APC＝60°， ∴AC＝BC， ∵A、B、C、P四点共圆，∠APB＝120°， ∴∠ACB＝180°﹣∠APB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠FAP＝∠BAC＝60°， ∴∠FAP+∠PAB＝∠BAC+∠PAB， 即∠FAB＝∠PAC， ∴△FAB≌△PAC（SAS）， ∴BF＝PC， 即PC＝PF+BP＝AP+BP， ∵AE⊥BE， ∴∠PAE＝90°﹣∠APE＝30°， 故， 则， 在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，BE＝BP+PE， 即， 整理得：AB2＝AP2+BP2+BP•AP， ∵2m＝PA2+PB2+PC2＝PA2+PB2+（PB+PA）2＝2（PB2+PA2+PB•PA）， ∴2m＝PA2+PB2+PC2＝2AB2， ∴m＝AB2， 将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACD′，连接DD′，过点C作CG⊥AD延长线交于点G，如图： 则CD＝CD′，BD＝AD′＝5，∠DCD′＝60°， ∵CD＝CD′，∠DCD′＝60°， ∴△DCD′是等边三角形， ∴DD′＝CD＝4，∠D′DC＝60°， ∵AD2+D′D2＝32+42＝25，D′A2＝52＝25， ∴AD2+D′D2＝D′A2， 即△ADD′是直角三角形， ∴∠ADD′＝90°， ∴∠ADC＝∠ADD′+∠D′DC＝90°+60°＝150°， ∴∠GDC＝180°﹣∠ADC＝30°， ∴，， ∴， 则， ∵AC＝AB， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定的和性质，直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，圆心角、弦、弧的关系，圆周角定理等，解题的关键是借助旋转构建全等三角形得出PC＝AP+BP，推出m＝AB2． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知如图，扇形OAB的半径为2cm，弧长为cm，求阴影部分的面积为 　（）cm2　 ． 【考点】扇形面积的计算；弧长的计算 【分析】过点O作OH⊥AB于点H，根据弧长公式求出∠AOB的度数，由等边三角形的判定与性质、特殊角的三角形函数值、三角形的面积公式求出△AOB的面积，由扇形面积公式求出扇形AOB的面积，再根据阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积计算即可． 【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于点H． 设∠AOB＝n°， 根据题意，得2π×2π， 解得n＝60， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2cm， ∵∠AOH∠AOB＝30°， ∴OH＝OA•cos∠AOH＝2（cm）， ∴S△AOBAB•OH2（cm2）， ∵S扇形AOB2π（cm2）， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝（）（cm2）． 故答案为：（）cm2． 【点评】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，掌握等边三角形的判定与性质、特殊角的三角形函数值、三角形的面积和扇形面积计算公式、弧长计算公式是解题的关键． 12．如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，AB⊥CD于M，若CD＝5cm，AB＝4cm，则OM＝　1.5　 cm． 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接OA，根据已知易得：OA＝2.5cm，再根据垂径定理可得：AM＝BM＝2cm，然后在Rt△AOM中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：连接OA， ∵CD为⊙O的直径，CD＝5cm， ∴OACD＝2.5（cm）， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BMAB＝2（cm）， 在Rt△AOM中，OM1.5（cm）， 故答案为：1.5． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．如图所示，利用量角器可以量出一个破损的扇形零件的圆心角的度数，其依据是　对顶角相等　 ． 【考点】圆周角定理；对顶角、邻补角 【分析】根据对顶角相等，即可解答． 【解答】解：如图所示，利用量角器可以量出一个破损的扇形零件的圆心角的度数，其依据是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等． 【点评】本题考查了圆周角定理，对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角相等是解题的关键． 14．如图，△ABC内接于⊙O，若AC∥BO，∠OBC＝28°，则∠CBA的度数是　34°　 ． 【考点】圆周角定理；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质 【分析】连接OA，先利用平行线的性质可得∠OBC＝∠ACB＝28°，再利用等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠OBC＝28°，从而可得∠OCA＝56°，然后再利用等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA＝56°，从而利用三角形内角和定理可得∠AOC＝68°，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答． 【解答】解：连接OA， ∵AC∥BO， ∴∠OBC＝∠ACB＝28°， ∵OA＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC＝28°， ∴∠OCA＝∠OCB+∠ACB＝56°， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA＝56°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝68°， ∴∠ABC∠AOC＝34°， 故答案为：34°． 【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长是　　 ． 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】过点O作OH⊥AB于H，连接OA，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得． 【解答】解：过点O作OH⊥AB于H，连接OA， 在Rt△POH中，∠PHO＝90°，∠P＝30°，OP＝4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了垂径定理，掌握勾股定理，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 16．如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，Q为弦AP上一点，AQ：QP＝3：2．若点A的坐标为（﹣5，0），则CQ的最小值为　3　 ． 【考点】垂径定理；坐标与图形性质 【分析】连接OP，过Q点作QT∥OP交AB于T点，连接CT、CQ，如图，证明△AQT∽△APO，利用相似比得到QT＝3，AT＝3，则OD＝1，再利用勾股定理计算出CT，然后根据三角形三边的关系得到CQ≥CD﹣DQ（当且仅当Q点在CD上时取等号），从而得到CQ的最小值为3． 【解答】解：连接OP，过点Q作QT∥OP交AB于点T，连接CT，CQ． ∵AQ：QP＝2：3， ∴AQ：AP＝3：5， ∵A（0，﹣5）， ∴OA＝OD＝OP＝5， ∵QT∥OP， ∴△AQT∽△APO， ∴， ∴AT＝3，TQ＝3， ∴OT＝OA﹣AT＝2， ∴CT， ∵CQ≥CT﹣QT3， ∴CQ的最小值为3． 故答案为： 【点评】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了圆的有关性质． 三、解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．如图，在7×7的正方形网格中，点A，B，C，P均为格点，直线m经过点C，P．按下列步骤依次完成作图： （1）画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2； （3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成轴对称？若是，画出对称轴l； （4）△A1B1C1与△A2C2B2是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）结合轴对称的性质可得答案． （4）结合中心对称的性质可得答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称． 如图，直线l即为所求． （4）△A1B1C1与△A2C2B2成中心对称． 如图，点O即为所求． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CE＝CD，交AD的延长线于点E． 求证：AB＝AE． 【考点】圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系 【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠EAC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC＝180°，得到∠ABC＝∠E，证明△ABC≌△AEC，根据全等三角形的性质证明即可． 【解答】证明：如图，连接AC． ∵BC＝CD， ∴∠BAC＝∠EAC， ∵CE＝CD， ∴CB＝CE，∠E＝∠CDE， ∵∠ABC+∠ADC＝∠ADC+∠CDE＝180°， ∴∠ABC＝∠CDE＝∠E， 在△ABC和△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（AAS）， ∴AB＝AE． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 19．如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【考点】扇形面积的计算；圆周角定理 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC计算即可． 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90° ∴∠A+∠ABC＝90° ∵DO⊥AB， ∴∠A+∠D＝90° ∴∠D＝∠ABC； （2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α， ∵OE＝CE， ∴∠EOC＝∠BCO＝α， 在△BCO中，α+α+90°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠A＝60°， ∵OAAB＝3， ∴OC＝OA＝3，OD＝3，OA边上的高为， ∴S3×3π． 【点评】本题考查扇形的面积，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，交AB于点E，连接AC，BD，过点C作CF⊥BD于点F，交AB于点G． （1）求证：AC＝CG． （2）若CD＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定；勾股定理；垂径定理 【分析】（1）连接CO，根据已知条件和直角三角形的性质证明∠BGF＝∠D，∠AGC＝∠D，从而证明AC＝GC，然后根据等腰三角形的性质证明AE＝EG； （2）根据垂径定理求出CE，最后在Rt△COE中，利用勾股定理求出OE，进而求出OC即可． 【解答】（1）证明：如图，连接CO， ∵AB⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴∠B+∠D＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠BFG＝90°， ∴∠B+∠BGF＝90°， ∴∠BGF＝∠D， ∵∠BGF＝∠AGC， ∴∠AGC＝∠D， ∵∠A＝∠D， ∴∠A＝∠AGC， ∴AC＝GC； （2）解：∵AB⊥CD，AC＝GC， ∴AE＝GE， ∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，CD＝8， ∴CECD＝4， 设OE的长为x，则AE＝GE＝x+1， ∴AO＝AE+OE＝2x+1， ∴CO＝AO＝2x+1， 在Rt△OCE中，OE2+CE2＝CO2， ∴42+x2＝（2x+1）2， 16+x2＝4x2+4x+1， 3x2+4x﹣15＝0， （3x﹣5）（x+3）＝0， 3x﹣5＝0或x+3＝0， 解得：x或x＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴CO＝2x+1， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理及勾股定理． 21．如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，连结AO，AD，CD． （1）求证：∠ABC＝∠ADB； （2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由． 【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB，证明∠ABC＝∠ADB； （2）根据垂径定理得到∠BAO＝∠CAO，根据圆周角定理得到∠ABO＝∠ACD，得到∠CAO＝∠ACD，根据平行线的判定证明即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ADB； （2）解：OA∥CD，理由如下： ∵AB＝AC， ∴AO⊥BC， ∴∠BAO＝∠CAO， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO， ∴∠ABO＝∠CAO， 由圆周角定理得：∠ABO＝∠ACD， ∴∠CAO＝∠ACD， ∴OA∥CD． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 【考点】弧长的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理 【分析】（1）连接OD，先证明△OAC≌△OBC（SSS），得到∠AOC＝∠BOC＝90°，由等腰三角形性质得到∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED，设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y，在四边形OADE中，由四边形内角和等于360°计算即可； （2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即可求解． 【解答】解：（1）连接OD， 在△OAC和△OBC中， ， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵OA＝OD＝OE， ∴∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED， 设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y， 在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC＝360° ∴x+x+y+y+90°＝360°， ∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝x+y＝135°； （2）连接OD， ∵∠AOC＝90°，D为AC中点， ∴， ∴OD＝OA＝AD＝3， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°， ∴的长为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系 【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BD，根据弦、弧、圆心角的关系定理证明结论； （2）连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，根据勾股定理求出AD，根据三角形中位线定理求出OF，根据三角形的面积公式求出BH，根据垂径定理解答． 【解答】（1）证明方法一：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴CD＝BD， ∵A、E、D、B四点共圆， ∴∠CED＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠CED， ∴DE＝DC， ∴DE＝BD， ∴； 方法二：如图②，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠EAD＝∠BAD， ∴； （2）解：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F， BDBC＝3，AB＝5， 又勾股定理得，AD4， ∵AD⊥BC，OF⊥BD， ∴OF∥AD，又OA＝OB， ∴OFAD＝2， 则BH3×2， 解得，BH， ∵， ∴BE＝2BH． 【点评】本题考查的是圆周角定理、弦、弧、圆心角的关系、垂径定理的应用，掌握相关定理、并灵活运用是解题的关键． 24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE． （1）若∠BAC＝20°，求∠AFC的度数． （2）求证：FA平分∠CFE． （3）若AB＝5，CD＝4，且CF经过圆心O，求CE的长． 【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理 【分析】（1）如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H．求出∠ADC即可解决问题． （2）想办法证明∠ACD＝∠ADC，∠AFE＝∠ACD，∠AFC＝∠ADC即可解决问题． （3）解直角三角形求出AC，再证明AC＝AE，即可解决问题． 【解答】（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H． ∵CD⊥AB， ∴， ∴∠BAC＝∠BAD＝20°， ∵AB⊥CD， ∴∠AHD＝90°， ∴∠ADH＝90°﹣∠DAB＝70°， ∴∠AFC＝∠ADH＝70°． （2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD， ∴ ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠AFE＝180°， ∴∠AFE＝∠ACD， ∵∠AFC＝∠ADC＝∠ACD， ∴∠AFC＝∠AFE， 即AF平分∠CFE． （3）解：如图2中，设AB交CD于H． ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴CH＝DH＝2， ∵OC，∠OHC＝90°， ∴OH， ∴AH＝OH+OA＝4， ∴AC2， ∵CF是直径， ∴∠CDF＝∠AHC＝90°， ∴AH∥DE， ∵CH＝HD， ∴AC＝AE， ∴CE＝2AC＝4． 【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是熟练应用垂径定理，圆周角定理解决问题，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$