第十一讲：一元二次方程的根与系数的关系（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十一讲：一元二次方程的根与系数的关系 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：一元二次方程根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2＋ bx＋c=0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1，x2，这两个根与系数的关系是x1＋x2=－，x1x2=. 2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 知识点02：二次项系数为1 的一元二次方程的性质 1. 以x1，x2 为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2=0. 2. 如果方程x2＋mx＋n= 0 的两个实数根为x1，x2，那么x1＋x2=－m，x1x2=n. 考点1：已知一元二次方程一个根求另一个根 【典型例题】 关于x一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A．-7 B．6 C．7 D．-6 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系. 利用根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设另一根为m，根据根与系数的关系可知：， 解得， 故选：A． 【变式训练1】 若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可. 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 【变式训练2】 已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，计算即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得：， 解得：， 则它的另一个根是． 故选：A． 考点2：根据根与系数的关系解决问题 【典型例题】 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系“两根之积等于”，直接计算即可求解． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选：B． 【变式训练1】 若方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次方程根与系数的关系及代数式求值．首先根据一元二次方程根与系数的关系可得：, ，根据多项式乘以多项式的法则计算可得：，然后现整体代入求值即可． 【详解】解：方程 的两根为 和 ， , ， ， ． 故选：B． 【变式训练2】 已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 先将方程整理为标准形式，利用根与系数的关系求出根的和与积，再将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：原方程 移项得， 依题得 、是方程的两个实数根， ，， ， 原式． 故选：． 一、单选题 1．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为α和β，则，直接代入题目方程的系数进行求解，作答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故选：A． 2．若方程的两根为， 则 的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．对于方程 ，若其两根为 和 ，则 ． 【详解】解题目中方程为 ，对应系数 ，，． 根据根与系数的关系，两根的积为： 故选A． 3．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记“当时，方程有两个实数根”． 根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故选B． 4．已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次方程根与系数的关系，直接计算两根的倒数和． 【详解】已知方程 的两根为 和 ，由根与系数的关系可得： 根的和：， 根的积：， 所求表达式为 ，通分后得： ， 将根的和与积代入： ． 故选： B． 5．方程的根是，，则的值为（    ） A．2 B． C． D．24 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，使用是解决本题的关键． 根据二次方程根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：对于方程，其二次项系数，常数项， 根据二次方程根与系数的关系，两根的乘积为， 因此，的值为． 故选：C． 6．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，先整理得，结合，则，进行解出k的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 解得 故选：D 7．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于（    ） A．16 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系． 将方程化为一般式，利用根与系数的关系求出，进而求解即可． 【详解】解：一元二次方程可化为， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：A． 8．已知方程有两个实数根，其中一个根是（），则方程的另一个根是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设另一个根为，结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得解，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：设另一个根为， ∵方程有两个实数根，其中一个根是（）， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据题意，得，，变形代入，计算解答即可． 本题主要考查了根与系数的关系，方程根的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， 则，， ∴， ∴， 故答案为：4． 10．关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系．根据方程有两不同实数根，得，求得再根据得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不同实数根， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ， 解得， ，是方程的两个实数根， ， 又， ， 即， 解得，或， 又， 的值是. 故答案为： 12．若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如果，是方程的两根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，因式分解的应用，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子因式分解为，整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，则：， ∴； 故答案为：4． 15．若关于的方程的两根分别是，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，由此可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程的两根分别是，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程根与系数关系即可求解． 【详解】解；∵ ∴， ∴ 故答案为：11 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 【答案】(1)； (2)m的值为1， 另一根为3 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2 ）设为方程的另一个根，根据根与系数的关系可得出，，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程总有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：设为方程的另一个根， ∴，． 解得：，， ∴m的值为1，另一个根为3． 18．关于x得一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围； (2)若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【详解】（1）解：方程有两个实数根，． ， ． 当时，方程有两个实数根． （2）解：由根与系数关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 20．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：当时，原方程为， ∵原方程的两实数根分别为和， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十一讲：一元二次方程的根与系数的关系 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：一元二次方程根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2＋ bx＋c=0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1，x2，这两个根与系数的关系是x1＋x2=－，x1x2=. 2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 知识点02：二次项系数为1 的一元二次方程的性质 1. 以x1，x2 为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2=0. 2. 如果方程x2＋mx＋n= 0 的两个实数根为x1，x2，那么x1＋x2=－m，x1x2=n. 考点1：已知一元二次方程一个根求另一个根 【典型例题】 关于x一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A．-7 B．6 C．7 D．-6 【变式训练1】 若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C． D．3 考点2：根据根与系数的关系解决问题 【典型例题】 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【变式训练1】 若方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 2．若方程的两根为， 则 的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 4．已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 5．方程的根是，，则的值为（    ） A．2 B． C． D．24 6．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．7 7．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于（    ） A．16 B．9 C．6 D．4 8．已知方程有两个实数根，其中一个根是（），则方程的另一个根是（    ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 9．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 10．关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则 ． 11．若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 12．若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 13．如果，是方程的两根，那么的值为 ． 14．若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是 ． 15．若关于的方程的两根分别是，，则的值为 ． 16．若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 18．关于x得一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围； (2)若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 19．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 20．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$