第08讲 应用一元二次方程 （知识清单+8大题型+好题必刷） 【暑假预习】讲义2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第08讲 应用一元二次方程 （知识清单+8大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型七 其他问题(一元二次方程的应用) 题型八 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 题型方法 【题型一】传播问题(一元二次方程的应用) 【例1】（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为（   ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【举一反三】 1．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 3．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【题型二】增长率问题(一元二次方程的应用) 【例2】（24-25九年级上·天津滨海新·期中）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）凉州区某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则可列方程 ． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）仙毫茶为一芽一叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 【题型三】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例3】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍，其面积为21．在鸡舍的边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则长为（    ） A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东济宁·期中）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度，设花带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为 步；长为 步． 3．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米． (1)要使鸡场面积200平方米，且长和宽都为整数，鸡场的长应为多少米？ (2)鸡场的面积能否达到210平方米，如果能直接写出此时x的值，如果不能请说明理由． 【题型四】数字问题(一元二次方程的应用) 【例4】（24-25九年级上·广东佛山·期中）两个数的差等于，积等于，则这两个数为（   ） A．， B．， C．， D．，或， 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答） 2．（24-25九年级上·全国·期中）两个连续整数的积是42，则这两个数为 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【题型五】营销问题(一元二次方程的应用) 【例5】（2025·山东济宁·三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）随着山西旅游热持续升温，某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）某大型楼盘陆续交付后，家装灯具店纷纷推出各类优惠政策．某灯具店通过大数据分析，发现当成本为每个30元的台灯的售价为每个40元时，平均每天售出600个；若售价每个每下降2元，每日销售量就增加400个．为迎接“双十一”，该店决定降价促销．在库存为1220个台灯的情况下，若预计日销售获利恰好为8400元，则每个台灯的售价应为 元． 3．（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【题型六】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例6】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了（   ）秒． A．4 B．或4 C．或8 D． 2．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 【题型七】其他问题(一元二次方程的应用) 【例7】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为45次，则参加聚会的人数为（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）元旦将至，九年三班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2070张，若设九年三班共有x名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）某果农计划在一片向阳的坡地上种植50棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量．经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是120个桃子，若每多种1棵桃树，则每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子．如果要使桃子产量增加到6050个，那么应多种多少棵桃树？ 【题型八】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例8】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 好题必刷 一、单选题 1．两个连续奇数的积为99，设较小的奇数为，列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某纪念品原价160元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（　　） A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950 C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=950 4．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．据报道，为推进某市绿色农业发展．2020～2022年，该市将完成农业绿色发展项目总投资616亿元．已知福州2020年已完成项目投资100亿元，假设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．为了让返乡农民工尽快实现再就业，某区加强了对返乡农民工培训经费的投入．2008年投入3000万元，预计2010年投入5000万元．设培训经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） A．3000（1+x）2=5000 B．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000 C．3000x2=5000 D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2=5000 7．张明同学参加“献爱心”储蓄活动，把积蓄的100元存入银行，如果月利率是0.2%，那么x个月后，本金与利息的和是(　　) A．100(1+0.2%)x B．100×0.2%x C．100(1+0.2%x) D．100(1+x)×0.2% 8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率均为x，两年后这台机器的价位约为y万元，则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 9．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（    ） A． B． C． D． 10．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如下图1，2，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（    ） A．289 B．1225 C．1024 D．1378 二、填空题 11．《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 12．形如的方程可用如图所示的图解法研究：画，使，，再在斜边上截取．则可以发现该方程的一个正根是线段 的长． 13．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 ． 14．疫情期间，市政府为解决市民买药贵的问题，下调了某药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒64元下调至49元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程 ． 15．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为，则的值为 ． 16．要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为21cm，宽为10cm，求镜框的宽度．设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为 ． 17．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为 元． 18．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间房价定为元（，且为10的倍数），宾馆每天利润为元，则与的函数关系式为 . 三、解答题 19．某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，预计2018年蔬菜产量达到121吨，求蔬菜产量的年平均增长率． 20．某单位要兴建一个活动区，某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 21．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 22．某水库计划修建一条横截面为梯形的输水渠道．已知横截面面积为，上口宽比渠底宽大，渠深比渠底宽小．求渠道的上口宽和渠深． 23．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 24．“农村特色产业规模化”是我市重点扶持的脱贫攻坚项目，我市某镇特色产业园生产的“雪梨”以原价每千克10元对外销售，为了减少库存，同时回馈广大市民厚爱，决定降价销售，经过两次降价后，售价为每千克8.1元． (1)求平均每次降价的百分率； (2)某超市计划从该特色产业园购进一批雪梨，由于购买量较大，特色产业园在每千克8.1元的基础上决定再给予两种优惠方案． 方案一：不超过300千克的部分不打折，超过300千克的部分打九折； 方案二：每千克优惠0.51元 设该超市购进雪梨重量为x（千克）（千克），方案一费用为（元），方案二费用为（元）， ①直接写出，与x的函数关系式； ②若超市选择方案一合算，试求超市购进雪梨重量情况． 25．2022年11月19日湖南首届旅游发展大会开幕式在张家界市隆重开幕．上午10点，永定区某电商平台通过网络平台直播，为张家界市优质特色产品宣传推广．已知葛根粉每盒60元，茅岩莓茶每盒100元．统计显示，本次直播，共卖出葛根粉和茅岩莓茶共计1000盒，葛根粉和茅岩莓茶的总销售额为76000元． (1)本次直播共卖出茅岩莓茶多少盒？ (2)第二天茶厂为了回馈顾客，举行了线上半小时秒杀促销活动，茅岩莓茶每盒降价，销量比11月19日直播时茅岩莓茶的销量增加了，最终，该次秒杀活动茅岩莓茶的销售额比11月19日直播时茅岩莓茶的销售额多80a元，求a的值． 26．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍． （1）求A社区居民人口至少有多少万人？ （2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 应用一元二次方程 （知识清单+8大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型七 其他问题(一元二次方程的应用) 题型八 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 题型方法 【题型一】传播问题(一元二次方程的应用) 【例1】（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为（   ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程． 设参加聚餐的人数为x人，每人碰杯次数为次，根据一共碰杯66次，列出一元二次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设参加聚餐的人数为x人， 依题可得：， 化简得：， 解得：，（舍去）， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡，与全组共送贺卡90张，据此列出关于x的一元二次方程即可解答． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡， 依题意得：． 故选A． 2．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【答案】10 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中，平均一个人传染了人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设平均一个人传染了个人，根据题意得， 解得，，（舍去） 所以，平均一个人传染了10个人， 故答案为：10． 3．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 【题型二】增长率问题(一元二次方程的应用) 【例2】（24-25九年级上·天津滨海新·期中）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的增长率问题成为解题的关键． 根据原售价降低率降低后的售价得出两次降价后的价格列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：依题意可得：． 故选C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）凉州区某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题，根据一月份的营业额得到二月及三月的营业额，根据第一季度的营业额共1000万元列方程即可． 【详解】解：一月份的营业额为200万元， 二月份的营业额为万元， 三月份的营业额为万元， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则可列方程 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该快递店揽件日平均增长率为，列方程为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）仙毫茶为一芽一叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 【答案】小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为，根据“第一天签了100单，第三天签了169单，连续三天签单数量的增长率相同，”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为， 由题意，得， 解得：，（不合题意，舍去） 故小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为． 【题型三】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例3】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍，其面积为21．在鸡舍的边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则长为（    ） A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设，则，根据题意列方程为：，解方程即可得出答案． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又墙长， ， 长为6m． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东济宁·期中）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度，设花带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程与图形问题．找到各图形面积之间的等量关系是解题关键． 种花区域矩形空地面积，剩下区域矩形空地面积，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可知，剩下区域为规则的矩形，其长为，宽为， ∵种花区域矩形空地面积 ∴剩下区域矩形空地面积， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为 步；长为 步． 【答案】 24 36 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设阔为步，则长为步，根据直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】解：设阔为步，则长为步， 根据题意得：， 整理得：， 解得：(不符合题意，舍去)， ， 阔为24步，长为36步． 故答案为：24，36 3．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米． (1)要使鸡场面积200平方米，且长和宽都为整数，鸡场的长应为多少米？ (2)鸡场的面积能否达到210平方米，如果能直接写出此时x的值，如果不能请说明理由． 【答案】(1)鸡场的长应为20米； (2)鸡场的面积不能达到210平方米，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设鸡场的长为x米，则宽为米，根据鸡场面积200平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据鸡场面积210平方米，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设鸡场的长为x米，则宽为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：鸡场的长应为20米； （2）解：鸡场的面积不能达到210平方米，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴鸡场的面积不能达到210平方米． 【题型四】数字问题(一元二次方程的应用) 【例4】（24-25九年级上·广东佛山·期中）两个数的差等于，积等于，则这两个数为（   ） A．， B．， C．， D．，或， 【答案】D 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两个数中的大数为，则小数为 ，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这两个数中的大数为，则小数为 ， 由题意得，, 解得，， ∴小数为或， ∴这两个数为，或，， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答） 【答案】这个最大的数为16 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 2．（24-25九年级上·全国·期中）两个连续整数的积是42，则这两个数为 ． 【答案】或6，7 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用；表示出两个连续整数的积的等量关系是解决本题的关键． 连续整数相差1，等量关系为：较小的数较小的数，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设较小的数为x． 根据题意，得， 解得 则或7， 故答案为：或6，7． 3．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 【题型五】营销问题(一元二次方程的应用) 【例5】（2025·山东济宁·三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 【答案】D 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）随着山西旅游热持续升温，某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，根据题意得： ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）某大型楼盘陆续交付后，家装灯具店纷纷推出各类优惠政策．某灯具店通过大数据分析，发现当成本为每个30元的台灯的售价为每个40元时，平均每天售出600个；若售价每个每下降2元，每日销售量就增加400个．为迎接“双十一”，该店决定降价促销．在库存为1220个台灯的情况下，若预计日销售获利恰好为8400元，则每个台灯的售价应为 元． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每个台灯的售价为元，根据售价每下降2元，其月销售量就增加400个即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解． 【详解】解：设每个台灯的售价为元， 根据题意得，， 解得，， 当时，，不合，舍去； 当时，； ∴， 答：每个台灯的售价为元． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 【题型六】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例6】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， ． 当运动时间为时，，，， 依题意得：，即， 解得：（不合题意舍去）， ∴点，的运动时间为． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了（   ）秒． A．4 B．或4 C．或8 D． 【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，利用勾股定理，找出等量关系是解题的关键． 利用时间=路程÷速度，可求出点P运动到点B所需时间，过点Q作于点E，则四边形是矩形，当运动时间为t秒时，，，结合，可得出，根据，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（秒）． 过点Q作于点E，则四边形是矩形，如图所示． ， 当运动时间为t秒时，，， ∴． 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： ，， ∴当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了或4秒． 故选：B． 2．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 根据题意得：，， ，，， ，， ， 线段将分成面积的两部分， 或， 即或， 整理得：或（无实数解）， 解得：，， 即线段将分成面积的两部分，运动时间为或秒． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 【答案】 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据的面积为列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， ， ， 整理，得 解得， ，则， ， 经过，的面积为． 【题型七】其他问题(一元二次方程的应用) 【例7】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为45次，则参加聚会的人数为（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加聚会的人数为人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设参加聚会的人数为人， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故参加聚会的人数为10， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）元旦将至，九年三班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2070张，若设九年三班共有x名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．由题意可知，每个学生都赠送了张贺卡，所有学生共赠送贺卡张，结合题意即可列出方程． 【详解】解：设九年三班共有名学生， 每个学生都赠送了张贺卡， 共赠送贺卡张， 又共赠贺卡张， ， 故选：． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程是解决问题的关键．由题意可知物体回落到地面，也就离地面的高度为0，建立方程，求得答案即可． 【详解】解：由题意知 ：，解得：（舍）或， 答：物体经过秒回落地面， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）某果农计划在一片向阳的坡地上种植50棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量．经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是120个桃子，若每多种1棵桃树，则每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子．如果要使桃子产量增加到6050个，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】应多种5棵桃树 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设多种x棵树，根据总产量等于每棵桃树的产量乘以桃树的数量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设多种x棵树， 则， 整理得：， 解得， 答：应多种5棵桃树． 【题型八】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例8】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系列出一元二次方程是解题的关键． 设参赛选手有y人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参赛选手有y人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛， 则有：． 故选：C． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数），即可列出关于一元二次方程． 【详解】解：设参加比赛的队伍共有支，根据题意得： ． 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 好题必刷 一、单选题 1．两个连续奇数的积为99，设较小的奇数为，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个连续的奇数相差2，据此即可建立方程 【详解】解：∵较小的奇数为 x ∴较大的奇数为 故： 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．注意正确理解题意． 2．某纪念品原价160元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据增长率公式求解即可． 【详解】解：160元降价后的价格为元， 再降价后为元， 根据题意可列方程． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用--增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率． 3．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（　　） A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950 C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=950 【答案】D 【详解】设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，列出方程为：300（1+x）2=950．故选D． 4．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设它的宽为x步，则长为(60-x)步，根据面积列出方程即可得出结果． 【详解】解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步， ∴x(60-x)=864， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 5．据报道，为推进某市绿色农业发展．2020～2022年，该市将完成农业绿色发展项目总投资616亿元．已知福州2020年已完成项目投资100亿元，假设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平均增长率，分别表示2021年，2022年的投资，计算三年的投资总和，列方程即可． 【详解】设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用平均增长率问题，熟练掌握平均增长率是解题的关键． 6．为了让返乡农民工尽快实现再就业，某区加强了对返乡农民工培训经费的投入．2008年投入3000万元，预计2010年投入5000万元．设培训经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） A．3000（1+x）2=5000 B．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000 C．3000x2=5000 D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2=5000 【答案】A 【分析】利用a（1+x%）n=b（a为增长前的量，x为平均增长率，n为增长时间，b为增长后的量）列方程即可． 【详解】解：∵增长后的量=增长前的量×（1+增长率） ∴3000（1+x）2=5000． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，灵活利用a（1+x%）n=b（a为增长前的量，x为平均增长率，n为增长时间，b为增长后的量）是解答本题的关键． 7．张明同学参加“献爱心”储蓄活动，把积蓄的100元存入银行，如果月利率是0.2%，那么x个月后，本金与利息的和是(　　) A．100(1+0.2%)x B．100×0.2%x C．100(1+0.2%x) D．100(1+x)×0.2% 【答案】C 【分析】利用本金与利息的和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数，即可求得答案. 【详解】解：利息＝100×0.2％×x,利用本金与利息的和＝100+100×0.2％×x.故选：C. 【点睛】熟练掌握本金和利息的和和利息的计算公式是本题解题的关键. 8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率均为x，两年后这台机器的价位约为y万元，则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：原价为60，一年后的价格是60×（1-x），二年后的价格是为：60×（1-x）×（1-x）=60（1-x）2，则函数解析式求得． 二年后的价格是为： 60×（1-x）×（1-x）=60（1-x）2， 则函数解析式是：y=60（1-x）2． 故选A． 考点：本题考查根据实际问题列二次函数关系式 点评：解答本题的关键是需注意二年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的． 9．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（40-2x）m，宽为（26-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（40-2x）（26-x）=144×6． 【详解】解：设道路的宽为xm，由题意得： （40-2x）（26-x）=144×6． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解题的关键． 10．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如下图1，2，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（    ） A．289 B．1225 C．1024 D．1378 【答案】B 【分析】图1中求出1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2．然后把各数分别代入，若解出的n是正整数，则说明符合条件就是所求． 【详解】解：根据题意得：三角形数的第n个图中点的个数为； 正方形数第n个图中点的个数为n2． A、令=289，解得：n= （不合题意，舍去）；再令n2=289，n=±17；不符合条件，错误； B．令=1225，解得n1=49，n2=﹣50（不合题意，舍去）；再令n2=1225，n1=35，n2=﹣35（不合题意，舍去），符合条件，正确． C．令=1024，解得：n=（都不合题意，舍去）；再令n2=1024，n=±32；不符合条件，错误； D．令=1378，解得n1=52，n2=﹣53（不合题意，舍去）；再令n2=1378，n= （不合题意，舍去），不符合条件，错误． 故选B． 【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 二、填空题 11．《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可． 【详解】解：依题得：门的宽为尺，高为尺， 门为矩形， 有， 即． 故答案为：． 12．形如的方程可用如图所示的图解法研究：画，使，，再在斜边上截取．则可以发现该方程的一个正根是线段 的长． 【答案】AD 【分析】根据勾股定理得出方程，整理后得出即可． 【详解】解：由勾股定理得． ， ，整理得． ， 该方程的一个正根是线段的长． 故答案为：AD． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能根据勾股定理得出方程是解此题的关键． 13．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形，根据种植花苗的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为． 故答案为：1． 14．疫情期间，市政府为解决市民买药贵的问题，下调了某药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒64元下调至49元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程 ． 【答案】 【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为，利用该药品经过两次降价后的价格该药品的原价每次降价的百分率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为， 依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30-2x）m，宽为（20-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30-2x）（20-x）=6×78，解之即可． 【详解】解：设道路的宽为xm，由题意得： （30-2x）（20-x）=6×78， 整理得：（x-2）（x-33）=0， 解得x=2或x=33（舍去）， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 16．要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为21cm，宽为10cm，求镜框的宽度．设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为 ． 【答案】8x2+124x﹣105＝0 【分析】镜框所占的面积为照片面积的四分之一,为了不出差错,最好表示出照片的面积=4(镜框面积-照片面积). 【详解】解：设镜框的宽度为xcm, 依题意,得：21×10＝4[（21+2x）（10+2x）﹣21×10], 整理,得：8x2+124x﹣105＝0． 故答案为：8x2+124x﹣105＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的难点在于把给出的关键描述语进行整理,解决本题的关键是要正确分析题目中等量关系. 17．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为 元． 【答案】56 【分析】将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出件，根据总利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． ∵要使顾客获得实惠， ∴． 即该商品的销售定价为56元． 故答案为：56． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间房价定为元（，且为10的倍数），宾馆每天利润为元，则与的函数关系式为 . 【答案】. 【分析】根据题意表示出每间房间的利润以及住满的房间数，进而得出答案． 【详解】解：设每间每天房价定为x元，宾馆每天利润为y元， 根据题意可知，每间房的利润为（x-20）元， ∵每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲 ∴共住个房间 ∴y与x的函数关系式为：，整理为： 故答案为 【点睛】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，正确表示出住满的房间数是解题关键． 三、解答题 19．某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，预计2018年蔬菜产量达到121吨，求蔬菜产量的年平均增长率． 【答案】蔬菜产量的年平均增长率为10% 【分析】设蔬菜产量的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】设蔬菜产量的年平均增长率为x， 根据题意得：100（1+x）2＝121， 即（1+x）2＝1.21， 开方得：1+x＝1.1或1+x＝﹣1.1， 解得：x＝0.1＝10%或x＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：蔬菜产量的年平均增长率为10%． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 20．某单位要兴建一个活动区，某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】10% 【分析】可先列出第一次降价后承包金额的代数式，再根据第一次的承包金额列出第二次降价的承包金额的代数式，根据“以40.5万元达成一致”即可列出方程求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：50（1﹣x）2＝40.5， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）， 答：每次降价的百分率为10%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，构建方程解决问题． 21．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 【答案】100个；60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每个商品的定价是元， 由题意，得， 整理，得， 解得． 当时，进货个个，不符合题意，舍去； 当时，进货个个，符合题意． 答：商店若将准备获利2000元，该商品每个定价为60元时，进货100个． 22．某水库计划修建一条横截面为梯形的输水渠道．已知横截面面积为，上口宽比渠底宽大，渠深比渠底宽小．求渠道的上口宽和渠深． 【答案】渠道的上口宽是，渠深是． 【分析】设渠底宽为，则上口的宽度是，渠深，根据横截面面积为，列出方程，求解即可． 【详解】解：设渠底宽为，则上口的宽度是，渠深是，根据题意得： ， 解得：（舍去），， 则渠道的上口宽是：， 渠深是． 答：渠道的上口宽是，渠深是． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出方程，用到的知识点是梯形的面积公式． 23．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 【答案】道路的宽为2米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设道路的宽为，利用平移得到草坪为一个长为，宽为的一个矩形，利用矩形的面积公式列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设道路的宽为，由题意，得：， 解得：（舍去），； 答：道路的宽为2米． 24．“农村特色产业规模化”是我市重点扶持的脱贫攻坚项目，我市某镇特色产业园生产的“雪梨”以原价每千克10元对外销售，为了减少库存，同时回馈广大市民厚爱，决定降价销售，经过两次降价后，售价为每千克8.1元． (1)求平均每次降价的百分率； (2)某超市计划从该特色产业园购进一批雪梨，由于购买量较大，特色产业园在每千克8.1元的基础上决定再给予两种优惠方案． 方案一：不超过300千克的部分不打折，超过300千克的部分打九折； 方案二：每千克优惠0.51元 设该超市购进雪梨重量为x（千克）（千克），方案一费用为（元），方案二费用为（元）， ①直接写出，与x的函数关系式； ②若超市选择方案一合算，试求超市购进雪梨重量情况． 【答案】(1)平均每次降价10% (2)①；；②当所购雪梨重量超过810千克时，超市选择方案一合算． 【分析】（1）设平均每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格＝原价×，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出平均每次降价的百分率为10%； （2）①设该超市购进雪梨重量为x（千克）（千克），根据题意即可解得答案； ②由题意若超市选择方案一合算可知，方案一的费用小于方案二费用，据此列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设平均每次降价百分率为a．由题意，得： ． 解得，．（舍去） 答：平均每次降价10%． （2）解：①设该超市购进雪梨重量为x（千克）（千克）， 方案一的费用为：（元）， 方案二的费用为：（元）． ②由题意，得， 解得． 即当所购雪梨重量超过810千克时，超市选择方案一合算． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据题意，正确列出一元一次不等式． 25．2022年11月19日湖南首届旅游发展大会开幕式在张家界市隆重开幕．上午10点，永定区某电商平台通过网络平台直播，为张家界市优质特色产品宣传推广．已知葛根粉每盒60元，茅岩莓茶每盒100元．统计显示，本次直播，共卖出葛根粉和茅岩莓茶共计1000盒，葛根粉和茅岩莓茶的总销售额为76000元． (1)本次直播共卖出茅岩莓茶多少盒？ (2)第二天茶厂为了回馈顾客，举行了线上半小时秒杀促销活动，茅岩莓茶每盒降价，销量比11月19日直播时茅岩莓茶的销量增加了，最终，该次秒杀活动茅岩莓茶的销售额比11月19日直播时茅岩莓茶的销售额多80a元，求a的值． 【答案】(1)400盒 (2)a的值7.5 【分析】（1）据“卖出葛根粉和茅岩莓茶共计1000盒；葛根粉和茅岩莓茶的总销售额为76000元”两个等量关系，列二元一次方程组求解； （2）在（1）的基础上依题意据“销售额=单价×销售量”，列方程求解． 【详解】（1）设直播当日，共卖出茅岩莓茶x盒，葛根粉y盒，由题意得 解得 答：直播当日共卖出茅岩莓茶400盒． （2）依题意得方程 化简得 解得（舍去），． 答：a的值． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 26．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍． （1）求A社区居民人口至少有多少万人？ （2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值． 【答案】(1) A社区居民人口至少有2.5万人；(2)50. 【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可； （2）A社区的知晓人数＋B社区的知晓人数＝7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答． 【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5−x）万人， 依题意得：7.5−x≤2x， 解得x≥2.5． 即A社区居民人口至少有2.5万人； （2）依题意得：1.2（1＋m%）2＋1×（1＋m%）×（1＋2m%）＝7.5×76%， 设m%＝a，方程可化为：1.2（1＋a）2＋（1＋a）（1＋2a）＝5.7， 化简得：32a2＋54a−35＝0， 解得a＝0.5或a＝−（舍）， ∴m＝50， 答：m的值为50． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$