第十讲：用因式分解法求解一元二次方程（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十讲：用因式分解法求解一元二次方程 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：因式分解法 1. 因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据 若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，即若ab= 0，则a=0 或b=0. 3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想 通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程. 4. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 知识点02：选择适当的方法解一元二次方程 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(x＋m)2=n(n ≥ 0)的方程 平方根的意义 开方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分 解法 一边是0，另一边是易分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 考点1：因式分解法解一元二次方程 【典型例题】 一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 【变式训练2】 一元二次方程的解是（   ）． A． B． C．， D．， 考点2：换元法法解一元二次方程 【典型例题】 已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1】 已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【变式训练2】 已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 一、单选题 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 2．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 3．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 4．用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 5．方程的根是（  ） A．， B．， C． D． 6．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 7．若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 8．的三边长都是方程的解，则的周长是（   ） A．4 B．5 C．3或5或6 D．3或4或5或6 二、填空题 9．方程的解为 10．方程的解为 ． 11．定义新运算，则方程的解是 ． 12．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 13．已知的两边长为3和6，若第三边的长为方程的一个根，则该三角形的第三条边长为 ． 14．关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 15．方程的解是 ． 16．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为 ． 三、解答题 17．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求另一个根及的值． 19．常见的因式分解的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件． 根据以上内容，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)请尝试用上面的方法分解因式：； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 20．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式； 竖分二次项与常数项： ，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或； （3）故此方程可以这样写出求解过程： ， ， ∴或 ∴，． 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程 (1)； (2)； (3)已知关于的方程，若方程有一个根大于，请直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十讲：用因式分解法求解一元二次方程 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：因式分解法 1. 因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据 若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，即若ab= 0，则a=0 或b=0. 3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想 通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程. 4. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 知识点02：选择适当的方法解一元二次方程 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(x＋m)2=n(n ≥ 0)的方程 平方根的意义 开方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分 解法 一边是0，另一边是易分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 考点1：因式分解法解一元二次方程 【典型例题】 一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程整理为后，通过因式分解法求解，即可作答． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：C． 【变式训练1】 方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 由因式分解法即可求解． 【详解】解： 或。 解得：或， 故选：C． 【变式训练2】 一元二次方程的解是（   ）． A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．通过因式分解法求解即可． 【详解】解： 则或， 解得：，， 故选：C． 考点2：换元法法解一元二次方程 【典型例题】 已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过变量替换法，将新方程转化为已知解的方程形式，再解出对应的x值即可． 【详解】解：设，则原方程可转化为， ∵方程 的解是 ， ， ∴方程的解为，， 当时，，解得， 当时，，解得， 因此，方程的解为，， 故选：C． 【变式训练1】 已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 【变式训练2】 已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 一、单选题 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程整理为标准形式后，通过因式分解法求解即可． 【详解】解∶原方程变形为 ∴， ∴， 解得：， 故选∶C． 2．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，先通过移项并提取公因式，然后将方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，进而求解根． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴或； 解得， 综上，方程的根为和， 故选：C． 3．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解解一元二次方程．判断各选项是否适合因式分解法，需观察方程是否能整理为两个一次因式乘积等于0的形式． 【详解】解：A：，展开后为，无法直接分解为两个一次因式相乘，需用公式法，不适合因式分解． B：，移项得，提取公因子，得，可直接分解为两个一次方程，适合因式分解法． C：，常数项无法分解为两数之积为且和为5的整数，需用公式法，不适合因式分解． D：，化简后为，适合直接开平方法，无需因式分解． 综上，选项B的方程结构最便于因式分解法求解． 故选：B． 4．用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】题目主要考查因式分解法解一元二次方程，理解因式分解方法是解题关键 根据因式分解法的原理，若两数相乘为零，则至少有一个因数为零，将原方程的每个因式分别等于零，即可转化为两个一元一次方程，即可求解 【详解】解：原方程为 ， 根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， ∴， 故选：C 5．方程的根是（  ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 因式分解得：， 解得：，， 故选：B． 6．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质． 先解方程得到对角线可能的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长度，最后计算面积． 【详解】解：方程可分解为， 解得或， ∴菱形的一条对角线可能为6或4， 设菱形边长为5，两条对角线分别为和，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，故有：， 整理得． 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为； 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为． ∴菱形的面积可能为24或， 故选：C． 7．若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算与一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为常规一元二次方程． 根据新定义运算“Δ”，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解法求解． 【详解】根据定义，． 原方程化为： 移项并整理得： 提取公因式： 解得： 或，即 或． 因此，方程的实数根为，， 故选：C． 8．的三边长都是方程的解，则的周长是（   ） A．4 B．5 C．3或5或6 D．3或4或5或6 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系， 首先解方程得到根为1和2，确定三角形的边长可能为1或2．然后根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证所有可能的组合，排除不符合条件的组合，最后计算符合条件的周长． 【详解】 ， 解得，． ∴三角形的边长可能为1或2． ∴当边长为1，1，1时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为2，2，2时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为1，2，2时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为1，1，2时，此时，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； 综上所述，的周长是3或5或6． 故选：C． 二、填空题 9．方程的解为 【答案】2或3 【分析】本题主要考查了利用因式分解解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解解一元二次方程的步骤． 先对方程进行因式分解，再求方程的解即可． 【详解】解： ∴， 故答案为：2或3． 10．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取一元二次方程的解法是关键；利用因式分解法即可求解． 【详解】解：原方程可化为， 分解因式得， 即， ∴． 11．定义新运算，则方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新运算得出一元二次方程．根据题目所给的运算得出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：根据题意，即， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 12．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解．把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得，，， 故答案为：，． 13．已知的两边长为3和6，若第三边的长为方程的一个根，则该三角形的第三条边长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元二次方程，求出第三边的范围，因式分解法求出方程的根，进行判断即可． 【详解】解：由题意，第三边的长，即：第三边的长； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴该三角形的第三条边长为5； 故答案为：5． 14．关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程换元法，利用关于的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 或， ，， 方程的解为和． 故答案为：，． 15．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 通过移项、因式分解求解方程． 【详解】解； 或 解得，； 故答案为，． 16．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知或，从而求解； 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴解得：． 三、解答题 17．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解法求解方程的根，熟练进行因式分解是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 解得． （2）解：∵， ∴ ∴， 解得． （3）解：∵， ∴ ∴， 解得． （4）解：∵， ∴ ∴， 解得． 18．已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求另一个根及的值． 【答案】(1)且 (2)另一个根是， 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义得到，再由方程有两个不相等的实数根，利用判别式求出的范围，即可得出答案； （2）代入到，求出的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出另一个根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为且； （2）解：代入到，得， 解得， ∴方程为， ∴， 解得：，， ∴另一个根是， ∴综上所述，另一个根是，． 19．常见的因式分解的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件． 根据以上内容，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)请尝试用上面的方法分解因式：； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了因式分解以及利用因式分解来解决三角形周长相关问题．熟练掌握因式分解的方法以及三角形三边关系的结合是解题的关键． （1）先提取公因式2得到，再根据完全平方公式进行化简得到； （2）将式子前两项分为一组，后两项分为一组，对于，根据平方差公式可得到，对于提取公因式3可得到， 此时原式变为，再提取公因式即可； （3）先将通过拆项分组，得到，根据完全平方公式化简为，根据非负数的性质得到式子，，求出，的值，再根据三角形的三边关系求出，最后计算的周长即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：，．．，．，．由三角形的三边关系，可知，即．又为正整数，．的周长为． 20．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式； 竖分二次项与常数项： ，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或； （3）故此方程可以这样写出求解过程： ， ， ∴或 ∴，． 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程 (1)； (2)； (3)已知关于的方程，若方程有一个根大于，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查了十字相乘法解一元二次方程，解一元一次不等式，熟练掌握十字相乘法解一元二次方程是解题的关键． （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，进一步求解可得答案； （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，进一步求解可得答案； （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，求出，，然后根据方程有一个根大于，即，然后求出的取值范围． 【详解】（1）解： 或， ∴，； （2）解： 或， ∴，； （3）解：， ∴， ∴，， ∵方程有一个根大于， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$