第十二讲：应用一元二次方程（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十二讲：应用一元二次方程 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平均增长率(降低率)问题 a 为起始量，b 为终止量，平均增长率公式： a(1＋x)n =b(x 为平均增长率，n 为增长的次数). 平均降低率公式：a(1－x)n =b(x 为平均降低率，n为降低的次数) 知识点02：商品销售问题 利润= 售价－进价；利润率=×100% ； 售价= 进价×(1＋利润率)； 总利润= 总售价－总成本= 单件利润× 总销量 知识点03：几何图形问题 涉及的常见计算与证明有：三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长公式. 常用面积、体积公式： (1)面积公式：S 矩形=ab，S 正方形=a2，S 圆=πr2，S 三角形=ah； (2)体积公式：V 长方体=abh，V 正方体=a3，V 圆柱=πr2h，V圆锥=πr2h 知识点04：数字问题 (1)两位数= 十位上的数字×10 ＋个位上的数字； (2)三位数= 百位上的数字×100 ＋ 十位上的数字×10 ＋ 个位上的数字 考点1：平均增长率问题 【典型例题】 学校统计今年近视学生人数是前年近视学生人数的80%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少？设平均每年降低的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户，2025年预计增长至80万户，设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多亿元．若全国旅游收入这三天每日平均增长率为，则可以列出方程（   ） A． B． C． D． 考点2：商品销售问题 【典型例题】 某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 考点4：几何问题 【典型例题】 用14米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为10平方米．若设它的一条边长为x米，则根据意可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 考点5：数字问题 【典型例题】 已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A．B． C． D． 【变式训练2】 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 2．某企业今年1月份产值为万元，2月份产值比1月份减少了，3月份产值开始回升．已知3、4月份产值月平均增长率为，则4月份的产值是（   ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 3．某科技公司研发的智能手环，今年1月份的用户激活量为800台，3月份的用户激活量达到1250台．若用户激活量每个月的平均增长率为x，则（    ） A． B． C． D． 矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的面积为，若设人行小道的宽度为m，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱．某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．两年前生产甲种药品的成本是元，随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是元，设甲种药品成本的年平均下降率为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（    ） A．3步 B．5步 C．6步 D．9步 8．某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校八年级下学期学生平均每天书面作业时长为分钟，经两次调整后，作业时长降至分钟．设两次调整中的平均下降率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为 ． 10．今年10月份以来，我国经济得到回升，股某一支股票指数由两周前的2700点涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为，可根据题意列方程为 ． 11．某新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至万元/辆，则月平均降价率为 ． 12．有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为 ． 13．为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 米． 14．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于的方程 ． 15．某中学科技社团在2025年第二季度（4、5、6月）连续3个月举办机器人体验活动，已知4月开放体验名额320个，6月开放体验名额500个，那么该科技社团这两个月开放体验名额的月平均增长率为 ． 16．某商品购买价100元，第一年使用后折旧，第二、三年折旧率相同．在第三年末它折旧后的价值是20元，求该商品第二、三年折旧率为 ． 三、解答题 17．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 18．某种商品在某电商平台1月份的销量是5万件，3月份的销量是万件． (1)若该平台1月份到3月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)某商场销售这种商品，每件进价为40元．市场调研发现：当每件售价为80元时，平均每天能售出20件；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出4件．为尽量减少库存，商场决定降价促销，若想使这种商品的销售利润平均每天达到1400元，每件售价应降低多少元？ 19．商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． (1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 20．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十二讲：应用一元二次方程 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平均增长率(降低率)问题 a 为起始量，b 为终止量，平均增长率公式： a(1＋x)n =b(x 为平均增长率，n 为增长的次数). 平均降低率公式：a(1－x)n =b(x 为平均降低率，n为降低的次数) 知识点02：商品销售问题 利润= 售价－进价；利润率=×100% ； 售价= 进价×(1＋利润率)； 总利润= 总售价－总成本= 单件利润× 总销量 知识点03：几何图形问题 涉及的常见计算与证明有：三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长公式. 常用面积、体积公式： (1)面积公式：S 矩形=ab，S 正方形=a2，S 圆=πr2，S 三角形=ah； (2)体积公式：V 长方体=abh，V 正方体=a3，V 圆柱=πr2h，V圆锥=πr2h 知识点04：数字问题 (1)两位数= 十位上的数字×10 ＋个位上的数字； (2)三位数= 百位上的数字×100 ＋ 十位上的数字×10 ＋ 个位上的数字 考点1：平均增长率问题 【典型例题】 学校统计今年近视学生人数是前年近视学生人数的80%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少？设平均每年降低的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程. 根据今年近视学生人数是前年近视学生人数的80%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 【变式训练1】 宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户，2025年预计增长至80万户，设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据2023年注册用户及2025年注册用户，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为，则2024年用户数为，2025年用户数为， 根据2025年用户数为80万，得方程， 故选：B． 【变式训练2】 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多亿元．若全国旅游收入这三天每日平均增长率为，则可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．由每日平均增长率为，则5月2日的收入为亿元，5月3日的收入为亿元．根据题意，5月3日比5月2日多亿元，根据两者的差值为，等于列出方程即可． 【详解】解：由题意可得， 故选：A． 考点2：商品销售问题 【典型例题】 某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每个电子产品降价x元，则销售量为件，每个的利润为元，根据每个的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每个电子产品降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 【变式训练1】 太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利2240元， ∴， 故选：B． 【变式训练2】 某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 考点4：几何问题 【典型例题】 用14米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为10平方米．若设它的一条边长为x米，则根据意可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列方程以及矩形的面积，由周长表示出矩形的另外一条边长是解决本题的关键． 设矩形的一条边长为x米，根据周长为14米可得另一条边长为米，再利用面积公式建立方程即可． 【详解】解：∵矩形周长为14米，则长与宽之和为米， 设一条边长为x米，则另一条边长为米， ∴矩形的面积为平方米，根据题意得方程：． 故选：B． 【变式训练1】 如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故选：B． 【变式训练2】 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程． 六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程 【详解】解：设道路的宽为，根据题意，得 ． 故选：A． 考点5：数字问题 【典型例题】 已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． 【变式训练1】 已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设较小的偶数为x，根据“相邻的两个偶数之积为360”作为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x， 由题意得，． 故选：D． 【变式训练2】 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 一、单选题 1．某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后的售价建立方程求解即可- 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后售价为元，第二次降价后售价为元， 根据题意，得方程：， ∴， 开平方得：或， ∴或（舍去） 故选：A 2．某企业今年1月份产值为万元，2月份产值比1月份减少了，3月份产值开始回升．已知3、4月份产值月平均增长率为，则4月份的产值是（   ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，根据各月产值的变化情况逐步计算：1月份产值为a万元，2月份减少，3、4月份平均每月增长，依次计算各月产值即可得出4月份的表达式，即可作答． 【详解】解：∵今年1月份产值为万元， 2月份产值比1月份减少了， ∴2月份产值万元， ∵3、4月份产值月平均增长率为， ∴4月份的产值是万元， 故选：B． 3．某科技公司研发的智能手环，今年1月份的用户激活量为800台，3月份的用户激活量达到1250台．若用户激活量每个月的平均增长率为x，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平均增长率的应用，根据今年1月份的用户激活量为800台，3月份的用户激活量达到1250台，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设每月平均增长率为，则1月至3月共经过2个月的增长， 1月份激活量为800台，2月份为台，3月份为台。 根据题意，3月份激活量达到1250台，因此方程为： 故选：A 4．某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的面积为，若设人行小道的宽度为m，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移思想，根据矩形的面积公式进行列出方程即可． 【详解】解：由题意和图可列方程为：； 故选B． 5．以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱．某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为，进行列方程，即可作答． 【详解】解：∵1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为， ∴， 故选：A 6．两年前生产甲种药品的成本是元，随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是元，设甲种药品成本的年平均下降率为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率（下降率）问题，初始成本为6400元，经过两年的下降，变为3600元，设年平均下降率为x，则每年成本为前一年的倍，两年后的成本为，据此建立方程即可, 【详解】设年平均下降率为x，则第一年后的成本为元，第二年后的成本为元， 根据题意，两年后的成本为3600元， 因此方程为：，选项B符合此方程， 故选B 7．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（    ） A．3步 B．5步 C．6步 D．9步 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设矩形田地的长为步，则宽为步，根据面积公式列出一元二次方程，解方程后确定长和宽的具体数值，再求两者的差即可． 【详解】解：设长为步，则宽为步， ∴， 解得，， 当时，宽为步，满足长>宽，此时长比宽多（步）； 当时，宽为步，不符合长>宽的条件，舍去； 故选：C． 8．某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校八年级下学期学生平均每天书面作业时长为分钟，经两次调整后，作业时长降至分钟．设两次调整中的平均下降率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用经两次调整后作业时长=八年级下学期学生平均每天书面作业时长两次调整中每次的平均下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 二、填空题 9．某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为 ． 【答案】3 【分析】题目主要考查循环赛问题，理解题意，列出代数式求解是解题关键． 设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场，根据题意，代入计算求解即可． 【详解】解：设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场， ∵比赛结束统计共赛25场， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 此时，选手未参加的比赛场数为场； 当时，，，不符合题意； 故答案为：3． 10．今年10月份以来，我国经济得到回升，股某一支股票指数由两周前的2700点涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为，可根据题意列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设两周平均每周上涨的百分率为，根据两周的增长情况列出方程即可． 【详解】解：设两周平均每周上涨的百分率为，依题意得， ， 故答案为：． 11．某新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至万元/辆，则月平均降价率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用． 设月平均降价率为x，新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至万元/辆，据此列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均降价率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月平均降价率为． 故答案为： 12．有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式学会通过图形求出面积是解题关键．设截去的小正方形的边长为，从而得出这个长方体盒子的底面的长是，宽是，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可． 【详解】解：设截去的小正方形的边长为，根据题意列方程，得 ． 故答案为：． 13．为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 米． 【答案】15 【分析】本题考查一元二次方程的应用．若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 整理，得． 解得（舍去），． 所以，该正方形空地的边长为15米， 故答案为：15． 14．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于的方程 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，利用平移，得到草坪的长和宽分别为：米和米，根据草坪的面积为243平方米，列出方程即可． 【详解】解：设草坪的长和宽分别为：米和米， 由题意，得：； 故答案为：． 15．某中学科技社团在2025年第二季度（4、5、6月）连续3个月举办机器人体验活动，已知4月开放体验名额320个，6月开放体验名额500个，那么该科技社团这两个月开放体验名额的月平均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该科技社团这两个月开放体验名额的月平均增长率为x，根据4月开放体验名额320个，6月开放体验名额500个建立方程求解即可． 【详解】解：设该科技社团这两个月开放体验名额的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该科技社团这两个月开放体验名额的月平均增长率为， 故答案为：． 16．某商品购买价100元，第一年使用后折旧，第二、三年折旧率相同．在第三年末它折旧后的价值是20元，求该商品第二、三年折旧率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该商品第二、三年折旧率为x，根据在第三年末它折旧后的价值是20元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该商品第二、三年折旧率为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 即该商品第二、三年折旧率为． 故答案为：． 三、解答题 17．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)患病的人数会超过700人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2） 三轮感染后，患病的人数为（人 ∵， 患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人 18．某种商品在某电商平台1月份的销量是5万件，3月份的销量是万件． (1)若该平台1月份到3月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)某商场销售这种商品，每件进价为40元．市场调研发现：当每件售价为80元时，平均每天能售出20件；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出4件．为尽量减少库存，商场决定降价促销，若想使这种商品的销售利润平均每天达到1400元，每件售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)30元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是x，然后根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，再利用总利润、每件的销售利润和日销售量的关系列出关于y的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 由题意可得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：月平均增长率是 （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， 答：每件售价应降低30元． 19．商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． (1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 【答案】(1)15元 (2)不可能；理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利每天销售的利润是解题关键． （1）利用衬衣每件盈利平均每天售出的件数每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可． （2）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得， 答：每件衬衫应降价15元． （2）解：不可能．理由如下： 设每件衬衫应降价x元， ， 整理得， ，方程无实数根． 商场平均每天不可能盈利1400元． 20．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【答案】(1) (2)最小的数为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）观察日历表即可推出； （2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理． 【详解】（1）解：观察图形可得， 故答案为：； （2）解：设最小的数为，则． 由题意可得，整理得， 解得（舍去）， 最小的数为20． 学科网（北京）股份有限公司 $$