第七讲：认识一元二次方程（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第七讲：认识一元二次方程 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：一元二次方程的定义 1.一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c= 0(a，b，c 为常数，a ≠ 0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程必须同时满足“三要素” (1)整式方程 (2)只含有一个未知数； (3)整理后未知数的最高次数是2． 知识点02：一元二次方程的一般形式 1. 一般形式：我们把ax2＋bx＋c= 0(a，b，c 为常数， a ≠ 0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a，b 分别称为二次项系数和一次项系数. 知识点03：根据实际问题列一元二次方程 从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤 (1)审清题意，设出合适的未知数； (2)找出已知量与未知量之间的等量关系； (3)列出一元二次方程. 知识点04：一元二次方程的解(根)(拓展点) 1. 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 2. 检验一元二次方程根的步骤 步骤1：将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边求值. 步骤2：若方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解(根)；否则，这个数不是一元二次方程的解(根) 知识点05：用估算法求一元二次方程的近似解 一元二次方程的近似解：当x 取某一值时，代数式ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a ≠ 0)的值无限接近 0 时，x 的值可以作为一元二次方程ax2＋bx＋c= 0 的近似解． 考点1：一元二次方程的定义 【典型例题】 下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点2：化成一元二次方程的一般式 【典型例题】 把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【变式训练1】 关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 【变式训练2】 关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 考点3：根据一元二次方程的定义求参数 【典型例题】 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【变式训练2】 用公式法解一元二次方程时，若，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 考点4：一元二次方程的估算 【典型例题】 观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【变式训练1】 根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【变式训练2】 根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 一、单选题 1．若m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．2024 B． C．2025 D．4050 2．关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是(　　) A． B．且 C．且 D．a为任意实数 3．若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 4．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．若关于的方程是一元二次方程，则的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．或1 6．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 7．将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（   ） A．4 B． C．5 D． 二、填空题 8．一元二次方程的一次项系数是 ． 9．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 10．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则实数k的值为 ． 11．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 12．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 13．已知关于的一元二次方程中一次项的系数是 ． 14．方程的二次项系数是 ． 15．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 三、解答题 16．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 17．已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 18．把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 19．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第七讲：认识一元二次方程 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：一元二次方程的定义 1.一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c= 0(a，b，c 为常数，a ≠ 0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程必须同时满足“三要素” (1)整式方程 (2)只含有一个未知数； (3)整理后未知数的最高次数是2． 知识点02：一元二次方程的一般形式 1. 一般形式：我们把ax2＋bx＋c= 0(a，b，c 为常数， a ≠ 0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a，b 分别称为二次项系数和一次项系数. 知识点03：根据实际问题列一元二次方程 从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤 (1)审清题意，设出合适的未知数； (2)找出已知量与未知量之间的等量关系； (3)列出一元二次方程. 知识点04：一元二次方程的解(根)(拓展点) 1. 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 2. 检验一元二次方程根的步骤 步骤1：将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边求值. 步骤2：若方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解(根)；否则，这个数不是一元二次方程的解(根) 知识点05：用估算法求一元二次方程的近似解 一元二次方程的近似解：当x 取某一值时，代数式ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a ≠ 0)的值无限接近 0 时，x 的值可以作为一元二次方程ax2＋bx＋c= 0 的近似解． 考点1：一元二次方程的定义 【典型例题】 下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 方程中含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B． 方程仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； C． 方程含两个未知数和，不是一元方程，故此选项不符合题意； D． 方程未明确，当时不是二次方程，因此不满足条件，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项即可． 【详解】解：A．方程中，若，则二次项消失，不一定是二次方程，排除； B．方程含有两个未知数和，属于二元方程，排除； C．方程含有分式，不是整式方程，排除； D．方程展开后为，满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义； 故选：D． 【变式训练2】 下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据一元二次方程的定义逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】①方程中，未明确说明，因此不一定是二次方程，排除． ②方程含有分式，不是整式方程，排除． ③方程含有两个未知数和，是二元二次方程，排除． ④方程展开后化简为，是一元一次方程，排除． ⑤方程符合一元二次方程的定义，正确． ⑥方程展开后为，是一元二次方程，正确． 综上，符合条件的方程有⑤和⑥，共2个． 故选C． 考点2：化成一元二次方程的一般式 【典型例题】 把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 【变式训练1】 关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式. 先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可． 【详解】解：转化为一般形式为：， ∴一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，3，， 故选：C． 【变式训练2】 关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，常数项为0且二次项系数不为0，解方程即可确定k的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 考点3：根据一元二次方程的定义求参数 【典型例题】 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 【变式训练2】 用公式法解一元二次方程时，若，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 将原方程整理为标准形式，通过移项确定一次项系数的值． 【详解】解：原方程为，移项得：， 此时方程的标准形式为，其中，，， 因此，当时，的值为2， 故选：A． 考点4：一元二次方程的估算 【典型例题】 观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 【变式训练1】 根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 【变式训练2】 根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【详解】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 一、单选题 1．若m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．2024 B． C．2025 D．4050 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，将方程的根代入方程，得到关于m的等式，从而求出代数式的值. 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，将代入方程得： ， 移项可得： 因此，的值为2025， 故选：C 2．关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是(　　) A． B．且 C．且 D．a为任意实数 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，直接求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（其中）， 若该方程为一元二次方程，则需满足二次项系数不为零，即： 解得： 故选：A． 3．若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 4．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解．把代入方程，把问题转化为关于a的方程求解． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴． 故选：A． 5．若关于的方程是一元二次方程，则的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．或1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，其一般形式为：；根据一元二次方程的概念得，且，即可得m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，且， ∴． 故选：B． 6．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 7．将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：D． 二、填空题 8．一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 9．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义，把代入方程得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 10．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解是能使得等式两边相等的值． 把代入方程，即可得到一个关于k的方程，解方程即可求出k值． 【详解】解：把代入方程得：， 解方程得． 故答案为：． 11．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 12．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程，得， 所以， 所以． 故答案为：． 13．已知关于的一元二次方程中一次项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项进行判断即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程中一次项的系数是， 故答案为：． 14．方程的二次项系数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 15．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再根据计算求解即可． 【详解】解；∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 17．已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键，将代入一元二次方程中，可得到关于的三元一次方程组，再将两个式子相加即可得到答案． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴代入可得：， ∴两式相加得：． 18．把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：， ， ∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 19．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$