第05讲 用配方法解一元二次方程（知识清单+3大题型+好题必刷）【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第05讲 用配方法解一元二次方程（知识清单+3大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 题型二 解一元二次方程——配方法 题型三 配方法的应用 知识清单 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型方法 【题型一】解一元二次方程——直接开平方法 【例1】（24-25九年级上·广东梅州·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）给出一种运算：对于函数，规定例如：若函数则有已知函数则方程的解是 ． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程： 解：原方程可变形， 得 直接开平方并整理，得，， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程： 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得， 上述过程中“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：． 【题型二】解一元二次方程——配方法 【例2】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程配方后可化为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）用配方法解方程，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）将方程化成（m，n为常数）的形式，则 ． 3．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【题型三】配方法的应用 【例3】（24-25九年级上·四川自贡·期中）若一元二次方程（a，b为常数)，化成一般形式为，则a，b的值分别是（   ） A．3，4 B．，4 C．3， D．， 【举一反三】 1．（24-25九年级上·北京·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 好题必刷 一、单选题 1．一元二次方程 的根是（　　） A．3 B． C．9 D． 2．将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为(    ) A．(x+4)2＝7 B．(x+4)2＝25 C．(x+4)2＝﹣9 D．(x+8)2＝7 3．将关于x的方程x2﹣6x＋8＝0配方成（x﹣3）2＝p的形式，则p的值是（    ） A．1 B．28 C．17 D．44 4．方程4x2-12x+9=0的解是(   ) A．x=0 B．x＝1 C． D．无法确定 5．方程3x2－1=0的解是(     ) A．x=± B．x=±3 C．x=± D．x=± 6．阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 7．方程（b＞0）的根是（    ） A． B． C． D． 8．对形如(x+m)2=n的方程,下列说法正确的为(　　) A．可用直接开平方法求得根x=± B．当n≥0时,x=±-m C．当n≥0时,x=±+m D．当n≥0时,x=± 9．无论x为何值，关于x的多项式﹣x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（　　） A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜ 10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（     ） A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2 二、填空题 11．方程 的解是 ． 12．一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的实数根是 ． 13．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为 ． 14．若5x2=0，则方程解为 . 15．已知，则的值为 ． 16．方程的根是 ． 17．用配方法解方程，则配方后的方程是 18．用配方法解一元二次方程2x2+3x+1＝0，变形为（x+h）2＝k，则h＝ ，k＝ ． 三、解答题 19．解方程：x2﹣6x﹣9=0(用配方法) 20．用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 21．解方程 (1)； (2)． 22．用配方法解下列方程： （1）； （2）． 23．用配方法证明： 的值不小于3． 24．用配方法解下列方程： （1）； （2）． 25．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______； (2)比较代数式与的大小． 26．阅读材料后再解答问题： 阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个解． [阿尔·花拉子米解法]如图22－2－1，将边长为的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为，宽为1的长方形拼合在一起，面积就是，而由变形可得，即左边为边长是的正方形的面积，右边为36，所以，取正根得x＝5. 请你运用上述方法求方程的正根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 用配方法解一元二次方程（知识清单+3大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 题型二 解一元二次方程——配方法 题型三 配方法的应用 知识清单 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型方法 【题型一】解一元二次方程——直接开平方法 【例1】（24-25九年级上·广东梅州·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，两边直接开平方即可得． 【详解】解：， 或， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）给出一种运算：对于函数，规定例如：若函数则有已知函数则方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了利用直接开平方解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生阅读理解能力；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．首先根据新定义求出，得出：，用直接开平方法解方程即可． 【详解】由， 得： 即， 解得：， 故答案为： 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程： 解：原方程可变形， 得 直接开平方并整理，得，， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程： 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得， 上述过程中“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】运用平方差公式进行运算、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的“”，“○”，“☆”，“”表示的数即可； （2）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ ∴， 两边直接开平方得：， 解得：， ∴“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是， 故答案为：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 直接开平方法得：， 解得：． 【题型二】解一元二次方程——配方法 【例2】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程配方后可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 方程变形后，利用完全平方公式化简即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）用配方法解方程，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤． 利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为 1 ，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）将方程化成（m，n为常数）的形式，则 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过配方法将原方程变形为，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 【题型三】配方法的应用 【例3】（24-25九年级上·四川自贡·期中）若一元二次方程（a，b为常数)，化成一般形式为，则a，b的值分别是（   ） A．3，4 B．，4 C．3， D．， 【答案】B 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查配方法的应用，将利用配方法转化为：，即可得出结论． 【详解】解： ∴， ∴； 故选B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·北京·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】配方法的应用 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【详解】解：移项得， 配方得，即． 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【知识点】代入消元法、配方法的应用 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）利用完全平方公式变形为，求得和的值即可解决； （3）将变形为即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ∴代数式的最小值为4． 好题必刷 一、单选题 1．一元二次方程 的根是（　　） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为(    ) A．(x+4)2＝7 B．(x+4)2＝25 C．(x+4)2＝﹣9 D．(x+8)2＝7 【答案】A 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 3．将关于x的方程x2﹣6x＋8＝0配方成（x﹣3）2＝p的形式，则p的值是（    ） A．1 B．28 C．17 D．44 【答案】A 【分析】利用配方法，首先移项，再等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将可以配方成，则可得出的值． 【详解】， 移常数得：， 配方得：， ， 根据题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是掌握解一元二次方程的方法-配方法． 4．方程4x2-12x+9=0的解是(   ) A．x=0 B．x＝1 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】用配方法解一元二次方程即可． 【详解】, 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开方法，公式法，配方法，因式分解法是解题的关键． 5．方程3x2－1=0的解是(     ) A．x=± B．x=±3 C．x=± D．x=± 【答案】C 【分析】先移项，然后利用数的开方解答． 【详解】解：移项得，3x2=1，系数化1得，x2=， 解得x=±=±． 故选C． 【点睛】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 6．阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查的是配方法的应用，把化为，再结合可得答案，掌握配方法的步骤与方法是解本题的关键． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴代数式有最大值． 故选D 7．方程（b＞0）的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵在方程中，， ∴， ∴. 故选A. 8．对形如(x+m)2=n的方程,下列说法正确的为(　　) A．可用直接开平方法求得根x=± B．当n≥0时,x=±-m C．当n≥0时,x=±+m D．当n≥0时,x=± 【答案】B 【分析】解形如(x+m)2=n的方程时，只有当n≥0时，方程有实数解.当n＜0时，方程没有实数解.由此即可解答. 【详解】(x+m)2=n（n≥0）， x+m=， ∴x=±-m. 故选B. 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 9．无论x为何值，关于x的多项式﹣x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（　　） A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜ 【答案】B 【分析】首先判断出：﹣x2+3x+m＝﹣（x﹣3）2+m+，然后根据偶次方的非负性质，可得-（x﹣3）2+m+≤m+，再根据无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0，推得m+＜0，据此判断出常数m的取值范围即可． 【详解】解：∵﹣x2+3x+m＝﹣（x2﹣6x+9）+m+＝﹣（x﹣3）2+m+ ∵﹣（x﹣3）2≤0， ∴﹣（x﹣3）2+m+≤m+， ∵无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0， ∴m+＜0， 解得m＜﹣． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用，将多项式进行配方是解此题的关键． 10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（     ） A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2 【答案】B 【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±， 而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2， 所以-h-=-3，-h+=2， 方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±， 所以x1=3-3=0，x2=3+2=5． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法． 二、填空题 11．方程 的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用开平方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 12．一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的实数根是 ． 【答案】x1＝x2＝3 【分析】先把左边直接配方，得（x﹣3）2＝0，直接开平方即可． 【详解】解：配方，得（x﹣3）2＝0， 直接开平方，得x﹣3＝0， ∴方程的解为x1＝x2＝3， 故答案为：x1＝x2＝3． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 13．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为 ． 【答案】3 【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得，可得，解方程即可得c的值． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 14．若5x2=0，则方程解为 . 【答案】x1=x2=0 【分析】首先两边同时除以5,再根据0的平方根是0即可得出. 【详解】解：原方程两边同时除以5得：x2=0， ∴x=0， ∴方程的根是：x1=x2=0． 故答案为x1=x2=0． 【点睛】本题主要考查的了解一元二次方程-直接开平方，熟练掌握直接开平方解方程的方法是解决问题的关键，直接开平方法适合没有一次项的方程，本题难度较小，属于基础题型. 15．已知，则的值为 ． 【答案】1. 【分析】先把化成完全平方式，然后直接开平方，即可求解． 【详解】∵, ∴, ∴, ∴, ∴. 故答案为1. 【点睛】本题考查用直接开平方法解一元二次方程和完全平方公式，本题中对已知等式进行变形时，应把看成一个整体进行计算. 16．方程的根是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出配方得出，开方得出：，即可求解得出根． 【详解】解：∵． ∴配方得出， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了运用配方法求解二次方程的根的问题，难度很小，很容易做出，本题属于基础题． 17．用配方法解方程，则配方后的方程是 【答案】 【详解】用配方法解方程， 移项、二次项系数化为1得：， 配方，得：， 即：. 故答案为. 18．用配方法解一元二次方程2x2+3x+1＝0，变形为（x+h）2＝k，则h＝ ，k＝ ． 【答案】 /0.75 /0.0625 【分析】根据配方法的定义“通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法”进行解答即可得． 【详解】解： 二次项系数化为1，得， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，得， 配方，得， 则，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握配方法． 三、解答题 19．解方程：x2﹣6x﹣9=0(用配方法) 【答案】x1=3+3 ，x2=3﹣3 【详解】试题分析：首选移项，然后配方，解出x即可. 试题解析：x2﹣6x﹣9=0， 移项，得x2－6x=9， 配方，得x2－6x+32=9+32，即（x－3）2=18， 解得，x－3=±3， 即x1=3+3，x2=3－3. 20．用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）移项，得，根据平方根的定义，得．即，． （2）根据平方根的定义，得，即，． 【详解】解：（1） ∴ ∴ 解得， （2） ∴ ∴， 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 21．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 即或， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据方程的形式选择不同的解法． 22．用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），．（2），． 【分析】（1）先把两边都除以3，再把3移到方程的右边，然后方程两边都加4，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可. （2）先把右边3x移到左边，把左边的1移到右边，两边都除以2，然后方程两边都加，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可. 【详解】（1）方程两边同除以3，得， 移项，得， 配方，得，即， 两边开平方，得， 即或， 所以，． （2）移项，得， 方程两边同除以2，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 即或， 所以，． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 23．用配方法证明： 的值不小于3． 【答案】证明见解析． 【分析】先在一次项和二次项中通过提公因式将二次项系数化为1，再将二次项和一次项添上一个常数项化为完全平方的形式，并注意减去添上的项，最后化为的形式，根据以下情形：当时代数式有最小值为k；当时代数式有最大值k，即证． 【详解】证明：∵，且 ∴， 即的值不小于3． 【点睛】本题考查完全平方公式及配方法的应用，解题关键是熟悉的形式有以下情形：当时代数式有最小值为k；当时代数式有最大值k． 24．用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），   （2）， 【分析】（1）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可； （2）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可. 【详解】（1）移项得， 配方，得， 即． 两边开平方，得， 即，或． 所以，． （2）移项得， 配方，得， 即． 两边开平方，得， 即，或． 所以，． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 25．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______； (2)比较代数式与的大小． 【答案】(1)，2，2，小，2 (2)大于 【分析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答； （2）利用求差法和配方法解答即可． 【详解】（1）， 所以当时，代数式有最小值，这个最值为2， 故答案为：；2；2；小；2； （2） 则 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用． 26．阅读材料后再解答问题： 阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个解． [阿尔·花拉子米解法]如图22－2－1，将边长为的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为，宽为1的长方形拼合在一起，面积就是，而由变形可得，即左边为边长是的正方形的面积，右边为36，所以，取正根得x＝5. 请你运用上述方法求方程的正根． 【答案】正根得. 【分析】因为，配方之后得到，由此可构造出边长为x+4的正方形，然后可得到x+4=5，得到答案 【详解】如图所示，大正方形的边长为，四个图形面积的和为，而， 所以， 即，取正根得. 【点睛】本题属于阅读理解题型，知识点考查对配方法的应用，正确理解题意，能够构造出x+4为边长的正方形是解题关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $$