第1章 有理数（复习讲义）数学浙教版2024七年级上册

第1章 有理数（复习讲义） 有理数章节是初中数学的奠基模块，课标核心在于建立数系扩展思想与符号意识，中考命题则突出基础性与应用性。教学中需紧扣“实际意义→抽象概念→运算应用”主线，备考中需重点攻克符号判定、数形结合与模型建立三大能力，确保基础题满分。 层级 目标要求 典型实例 基础目标 能复述正负数定义，识别数轴要素，计算简单加减法 -3.5是负分数；数轴上-1.5的位置36 进阶目标 理解相反数的代数与几何意义（数轴上对称点），掌握绝对值的非负性及去绝对值分类讨论方法 如|a| = a（a≥0）或 -a（a<0） 拓展目标 理解并应用数轴解决动态问题，设计有理数应用模型 点P从-2左移3单位再右移5单位，终点为0 知识点 重点归纳 常见易错点 有理数定义 整数和分数统称有理数（包括正/负整数、正/负分数、0） 误认为、等无理数属于有理数以及0的特殊性 数轴三要素 原点、正方向、单位长度（缺一不可） 单位长度不一致（如左半轴1格=2，右半轴1格=1） 相反数 a的相反数是−a；a+(−a)=0 混淆“相反数”与“倒数” 绝对值 去绝对值时未分类讨论 题型一 正数负数 【例1】（2024秋•上城区校级期中）在下列各对量中，具有相反意义的量是（　　） A．胜两局与负两局 B．气温升高3℃与气温为﹣3℃ C．盈利3万元与支出3万元 D．向东走5米与向北走3米 【考点】正数和负数． 【分析】根据正数和负数的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、胜两局与负两局，故A符合题意； B、气温升高3℃与气温降低3℃，故B不符合题意； C、盈利3万元与亏损3万元，故C不符合题意； D、向东走5米与向西走3米，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键． 【变式1-1】（2024秋•浙江期中）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1060元表示（　　） A．支出60元 B．收入60元 C．支出1060元 D．收入1060元 【考点】正数和负数． 【分析】根据相反意义的量，解答即可． 【解答】解：根据题意和正负数的意义可知， 如果支出1000元记作﹣1000元， 故+1060元表示收入1060元． 故选：D． 【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键． 【变式1-2】（2024秋•海曙区校级期中）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 　不合格　 （填“合格”或“不合格”）． 【考点】正数和负数． 【分析】φ20±0.02 mm，知零件直径最大是20+0.02＝20.02mm，最小是20﹣0.02＝19.98mm，合格范围在19.98mm和20.02mm之间． 【解答】解：零件合格范围在19.98mm和20.02mm之间．19.9mm＜19.98mm，所以不合格． 故答案为：不合格． 【点评】本题考查数学在实际生活中的应用． 【变式1-3】（2024秋•浙江期中）商人小周于上周日买进某农产品10000斤，每斤2.4元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的农产品，每个摊位的市场管理价为每天20元．下表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该农产品的批发价格为每斤2.7元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） +0.3 ﹣0.1 +0.25 +0.2 ﹣0.5 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 （1）星期四该农产品价格为每斤多少元？ （2）本周内该农产品的最高价格为每斤多少元？最低价格为每斤多少元？ （3）小周在销售过程中采用逐步减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱？请你帮他算一算． 【考点】正数和负数． 【分析】（1）根据价格的涨跌情况即可作出判断； （2）计算出每天的价格即可作出判断； （3）根据售价﹣进价﹣摊位费用＝收益，即可进行计算． 【解答】解：（1）2.7+0.3﹣0.1+0.25+0.2＝3.35元； （2）星期一的价格是：2.7+0.3＝3元； 星期二的价格是：3﹣0.1＝2.9元； 星期三的价格是：2.9+0.25＝3.15元； 星期四是：3.15+0.2＝3.35元； 星期五是：3.35﹣0.5＝2.85元． 因而本周内该农产品的最高价格为每斤3.35元，最低价格为每斤2.85元； （3）列式：（2500×3﹣5×20）+（2000×2.9﹣4×20）+（3000×3.15﹣3×20）+（1500×3.35﹣2×20） +（1000×2.85﹣20）﹣10000×2.4 ＝7400+5720+9390+4985+2830﹣24000 ＝6325（元）． 答：小周在本周的买卖中共赚了6325元钱． 【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 题型二 有理数分类 【例2】（2024•绍兴开学）在﹣18，，0，12%，﹣7.2，，7中，非负数有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【考点】有理数． 【分析】根据非负数的概念，要求是正数或0，对所给数字逐一判断，即可得到结果． 【解答】解：在﹣18，，0，12%，﹣7.2，，7中， 非负数是：，0，12%，7，共有4个． 故选：C． 【点评】本题考查了实数的分类，关键是理解“非负数”是指正数或0，即可得到结果． 【变式2-1】（2024秋•浙江月考）关于，0.99，，0，3.1415这六个数，下列说法错误的是（　　） A．﹣1，0是整数 B．，0.99，0，3.1415是正数 C．是负数 D．，0.99，，0，3.1415是有理数 【考点】有理数． 【分析】根据有理数的概念和分类依次判断即可． 【解答】解：A、﹣1，0是整数，正确，故A选项不符合题意； B、0既不是正数也不是负数，故原说法错误，B选项符合题意； C、是负数，正确，故C选项不符合题意； D、，0.99，，0，3.1415是有理数，正确，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的概念和分类的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2-2】（2024秋•上城区校级月考）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①﹣5，②，③0，④+1.5，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥﹣30%；则是非正整数的是 　①③　 ． 【考点】有理数． 【分析】本题考查有理数的分类，根据非正整数，包括0和负整数，进行判断即可． 【解答】解：把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①﹣5，②，③0，④+1.5，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥﹣30%，中，是非正整数的是①③， 故答案为：①③． 【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【变式2-3】（2024秋•浙江校级月考）将下列各数填入适当的括号内： π，5，﹣3，，8.9，，﹣3.14，﹣9，0， 正数集合：{ 　π，5，，8.9，　 …}； 负数集合：{ 　﹣3，，﹣3.14，﹣9　 …}； 整数集合：{ 　5，﹣3，﹣9，0　 …}； 分数集合：{ 　，8.9，，﹣3.14，　 …}； 正整数集合：{ 　5　 …}； 负整数集合：{ 　﹣3，﹣9　 …}； 非负数集合：{ 　π，5，，8.9，0，　 …}． 【考点】有理数． 【分析】利用有理数的概念解答． 【解答】解：π，5，﹣3，，8.9，，﹣3.14，﹣9，0，， 正数集合：{ π，5，，8.9，}； 负数集合：{﹣3，，﹣3.14，﹣9…}； 整数集合：{ 5，﹣3，﹣9，0…}； 分数集合：{ ，8.9，，﹣3.14，；…}； 正整数集合：{ 5…}； 负整数集合：{﹣3，﹣9…}； 非负数集合：{ π，5，，8.9，0，；…}． 故答案为：π，5，，8.9，； ﹣3，，﹣3.14，﹣9； 5，﹣3，﹣9，0； ，8.9，，﹣3.14，； 5； ﹣3，﹣9； π，5，，8.9，0，2． 【点评】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的分类以及概念． 题型三 数轴 【例3】（2024秋•杭州月考）如图，点A，B对应的数分别为a，b，对于结论：①ab＜0，②﹣a＜0，③a+b＜0，其中说法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．② D．①②③ 【考点】数轴． 【分析】根据数轴可知b＜0＜a，|a|＜|b|，据此根据乘法和加法计算法则求解即可． 【解答】解：∵b＜0＜a，|a|＜|b|， ①∴ab＜0，正确， ②﹣a＜0，正确， ③a+b＜0，正确， ∴正确的有①②③， 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法和乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式3-1】（2024秋•鹿城区校级期中）将点A沿数轴向左移动2个单位长度可到达点B，若点B在数轴上对应的数为﹣1，则点A对应的数为（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 【考点】数轴． 【分析】点A向左移动2的单位长度得到点B，已知点B在数轴上对应的数为﹣1，则﹣1+2，求出点A对应的数即可． 【解答】解：由条件可知：点A对应的数为：﹣1+2＝1． 故选：B． 【点评】本题考查数轴的知识，解题的关键是熟练掌握数轴的性质． 【变式3-2】（2024秋•西湖区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小之在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：在数轴上剪下从﹣6到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　﹣3或﹣2或﹣1　 ． 【考点】数轴． 【分析】分三种情况进行讨论：分别画出对应的图形，①当AB：BC：CD＝1：1：2时所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝8a＝2，得出AB、BC、CD的值计算折痕处对应的点所表示的数的值，当AB：BC：CD＝1：2：1时，当AB：BC：CD＝2：1：1时，同理可得出折痕处对应的点所表示的数的值． 【解答】解：如图：①当AB：BC：CD＝1：1：2时， 设AB＝a，BC＝a，CD＝2a， ∵AB+BC+CD＝8， ∴a+a+2a＝8，解得：a＝2， ∴AB＝2，BC＝2，CD＝4， ∴折痕处所表示的数为：﹣6+2+1＝﹣3； ②当AB：BC：CD＝1：2：1时， 设AB＝a，BC＝2a，CD＝a， ∵AB+BC+CD＝8， ∴a+2a+a＝8，解得：a＝2， ∴AB＝2，BC＝4，CD＝2； ∴折痕处所表示的数为：﹣6+2+2＝﹣2； ③当AB：BC：CD＝2：1：1时， 设AB＝2a，BC＝a，CD＝a， ∵AB+BC+CD＝8， ∴a+a+2a＝8，解得：a＝2， ∴AB＝4，BC＝2，CD＝2； ∴折痕处所表示的数为：﹣6+4+1＝﹣1； 综上所述：折痕处所表示的数可能为：﹣3或﹣2或﹣1． 故答案为：﹣3或﹣2或﹣1． 【点评】本题考查了数轴上的折叠变换问题，有理数的加法运算，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【变式3-3】（2024秋•上城区校级月考）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 　9　 ；图中点A所表示的数是 　12　 ；点B所表示的数是 　21　 ； （2）受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： ①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生；你若是我现在这么大，我就84岁啦！”则爸爸的年龄是 　56　 岁．（在图中标出分析过程） ②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要14年才出生；你若是我现在这么大．我就118岁啦！”则爷爷的年龄是 　74　 岁．（画出示意图展示分析过程） 【考点】数轴． 【分析】（1）由图象可知3倍的AB长为30﹣3＝27，即可求AB得长度．A点在3的右侧，距离3有9个单位长度，故A点为12；B点在A的左侧，距离A有9个单位长度，故B点为21． （2）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示小明的年龄，B端表示爸爸（爷爷）的年龄，则木棒的长度表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出． 【解答】解：（1）由题意得：三根这样长的木棒长为30﹣3＝27， 则这根木棒的长为27÷3＝9， ∴B点表示的数是3+9+9＝21，A点表示为3+9＝12， 故答案为：9，12，21； （2）①把小明和爸爸的年龄差看作木棒AB， 同理可得爸爸比小明大84÷3＝28， ∴爸爸的年龄是84﹣28＝56（岁）， 故答案为：56． ②把小明和爷爷的年龄差看作木棒AB， 同理可得爷爷比小明大（118+14）÷3＝44， ∴爷爷的年龄是118﹣44＝74（岁）， 故答案为：74． 【点评】本题考查了数轴的认识、用数轴表示数及有理数的加减法，读懂题干及正确理解题意是解决本题的关键． 题型四 相反数 【例4】（2024秋•娄底期中）有理数2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【考点】相反数． 【分析】根据相反数的定义解题． 【解答】解：2024的相反数是﹣2024， 故选：B． 【点评】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【变式4-1】（2024秋•上城区校级期中）﹣100的相反数是（　　） A．100 B．﹣100 C．±100 D．﹣200 【考点】相反数． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣100的相反数是100． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 【变式4-2】（2024秋•乐清市校级月考）如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是 　﹣2　 ． 【考点】相反数；数轴． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：4÷2＝2， 则这两个数是+2和﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了相反数的定义，数轴的知识，熟记互为相反数的两个数的绝对值相等是解题的关键． 【变式4-3】（2024秋•浙江校级月考）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）﹣（﹣2）；（2）+（）；（3）﹣[﹣（﹣4）]（4）﹣[﹣（+3.5）]；（5）（﹣{﹣[﹣（﹣5）]}）（6）﹣{﹣[﹣（+5）]} 问：①当+5前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当﹣5前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【考点】相反数． 【分析】根据相反数的定义分别进行化简即可； 根据化简的结果回答问题即可． 【解答】解：（1）﹣（﹣2）＝2； （2）+（）； （3）﹣[﹣（﹣4）]＝﹣4； （4）﹣[﹣（+3.5）]＝3.5； （5）（﹣{﹣[﹣（﹣5）]}）＝5； （6）﹣{﹣[﹣（+5）]}＝﹣5； ①当+5前面有2012个负号，化简后结果是+5； ②当﹣5前面有2013个负号，化简后结果+5， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【点评】本题考查了利用相反数的定义进行化简，是基础题，熟记概念是解题的关键． 题型五 绝对值 【例5】（2024秋•上城区校级期中）当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　） A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2 【考点】绝对值． 【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b＞0，进一步确定a、b的值，再代入求解即可． 【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7， ∴a＝±5，b＝±7 ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∴a＝±5．b＝7， 当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2； 当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣12； 故a﹣b的值为﹣2或﹣12． 故选：B． 【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出a、b的值是解答此题的关键． 【变式5-1】（2024秋•萧山区期中）若abc≠0，则（　　） A．0或±1 B．±3或0 C．±3或0或±1 D．±3或±1 【考点】绝对值． 【分析】分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解． 【解答】解：有四种情况讨论如下： ①都为正数，则原式； ②都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设a为正数，b，c为负数，则原式＝﹣1； ④一个负数，两个正数，假设a为负数，b，c为正数，则原式＝1； 综上，的值为±3或±1， 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式5-2】（2024秋•杭州期中）已知a、b、c的位置如图：则化简|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b|＝　﹣2a+b　 ． 【考点】绝对值． 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：由数轴图可知，a＜0＜b＜c，|a|＜b＜c， ∴a﹣c＜0，c﹣b＞0， ∴|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b| ＝﹣a+[﹣（a﹣c）]﹣（c﹣b） ＝﹣a﹣a+c﹣c+b ＝﹣2a+b． 故答案为：﹣2a+b． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 【变式5-3】（2024秋•金华月考）若|a|＝5，|b|＝3． （1）若ab＜0，求a+b的值； （2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 【考点】绝对值． 【分析】（1）若ab＜0，则a、b异号，求出a、b的值，再把它们相加即可． （2）若|a+b|＝a+b，则a+b≥0，求出a、b的值，再把它们相减即可． 【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝3， ∴a＝±5，b＝±3， （1）若ab＜0， 则a＝5，b＝﹣3或a＝﹣5，b＝3， ①a＝5，b＝﹣3时， a+b＝5﹣3＝2． ②a＝﹣5，b＝3时， a+b＝﹣5+3＝﹣2． （2）若|a+b|＝a+b， 则a+b≥0， ∴a＝5，b＝﹣3或3， ∴a﹣b＝5﹣（﹣3）＝8， 或a＝5，b＝3时，a﹣b＝5﹣3＝2． 故a﹣b＝8或2． 【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是分别求出a、b的值各是多少． 题型六 有理数大小比较 【例6】（2024秋•西湖区期中）在﹣4，﹣（﹣2），﹣|﹣4.5|，0中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣（﹣2） C．﹣4 D．﹣|﹣4.5| 【考点】有理数大小比较；相反数；绝对值． 【分析】先化简各式，然后再进行比较即可解答． 【解答】解：﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣4.5|＝﹣4.5， 在﹣4，﹣（﹣2），﹣|﹣4.5|，0中， ∵﹣4.5＜﹣4＜0＜2， ∴最小的数是﹣4.5， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数大小比较，相反数，绝对值，准确地化简各式是解题的关键． 【变式6-1】（2023秋•路桥区期末）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列大小关系正确的是（　　） A．m＞n＞0 B．m＞0＞n C．n＞m＞0 D．n＞0＞m 【考点】有理数大小比较；数轴． 【分析】根据数轴上点坐标的特点：数轴上原点右边的数大于0可得m大于0，原点左边的数小于0，可得n小于0作出解答即可． 【解答】解：由数轴上m、n的位置可知：m＞0＞n， 故选：B． 【点评】此题考查了数轴，利用了数形结合的思想是关键． 【变式6-2】（2024秋•杭州期中）比较大小：0 　＞　 ﹣1， 　＜　 ，|﹣0.25|　＞　 ．（填“＞”，“＜”号） 【考点】有理数大小比较；绝对值． 【分析】利用有理数大小的比较方法：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；先运算绝对值，再进行比较，据此解答即可． 【解答】解：0＞﹣1； ； |﹣0.25|， 故答案为：＞；＜；＞． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是根据有理数大小比较的方法解答． 【变式6-3】（2024秋•吴兴区期中）已知五个数分别为﹣5，|﹣1|，，﹣（﹣3），4．在如图所示的数轴上表示各数，并用“＜”号把这些数连接起来． 【考点】有理数大小比较；数轴；相反数；绝对值． 【分析】先在数轴上表示各个数，再根据右边的数总比左边的数大用“＜”把这些数连接起来即可． 【解答】解：|﹣1|＝1； ﹣（﹣3）＝3 如图所示： 故：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，在数轴上表示各数是关键． 基础巩固通关测 1．（2025•浙江）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【考点】相反数． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2．（2024•浙江）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　） 北京 济南 太原 郑州 0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃ A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 【考点】有理数大小比较；正数和负数． 【分析】有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：|﹣1|＝1，|﹣2|＝2， ∵1＜2， ∴﹣1＞﹣2； ∵3℃＞0℃＞﹣1℃＞﹣2℃， ∴所给的四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 3．（2024•柯桥区模拟）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】数轴． 【分析】根据﹣1＜a＜0，0＜b＜1，，可以得到a﹣b＜0且a﹣b＜a，然后结合选项中的数轴，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵﹣1＜a＜0，0＜b＜1，， ∴a＝bc， ∴0＜|c|≤1，或|c|＞1，c＜0， |A|＞|B|时，c＜﹣1， |A|＜|B|时，﹣1＜c＜0， 故选：D． 【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2024•嘉善县一模）如图，点A，C分别表示数﹣1与5，点B在线段AC上，且AB＝2BC，则点B对应的数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】数轴． 【分析】根据数轴上两点之间的距离进行列式计算即可． 【解答】解：设B点对应的数是x，由AB＝2BC，可知x﹣（﹣1）＝5﹣x，解得：x＝3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴上点的有关知识，题目难度不大，掌握数轴上两点之间的距离计算方法是解答该题的关键． 5．（2025•杭州模拟）计算：|﹣2025|＝ 　2025　 ． 【考点】绝对值． 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答； 【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数可得： |﹣2025|＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 6．（2025•金华模拟）如图为小明微信账单．收到微信红包3.71元显示“+3.71”，则扫码付款7.35元，在阴影处显示的是 　﹣7.35　 ． 【考点】正数和负数． 【分析】根据一对具有相反意义的量可以用正负数表示，进行解答即可． 【解答】解：∵收到微信红包3.71元显示“+3.71”，一对具有相反意义的量可以用正负数表示， ∴扫码付款7.35元，在阴影处显示的是﹣7.35， 故答案为：﹣7.35． 【点评】本题主要考查了正负数，解题根据是理解一对具有相反意义的量可以用正负数表示． 7．（2024秋•东阳市期末）某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） ﹣2.1 ﹣2 ﹣1.5 0 1 1.2 2 箱数 1 2 4 5 3 4 1 （1）在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ （2）与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？ 【考点】正数和负数． 【分析】（1）分别找出与标准质量的差值最大的数和最小的数，作差即可； （2）求出20箱苹果与标准质量的差值的总和，即可得出答案． 【解答】解：（1）2﹣（﹣2.1）＝2+2.1＝4.1（千克）， 答：在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重4.1千克． （2）﹣2.1+（﹣2）×2+（﹣1.5）×4+1×3+1.2×4+2×1 ＝﹣2.1﹣4﹣6+3+4.8+2 ＝﹣2.3（千克）， 答：与标准质量比较，20箱苹果总计不足2.3千克． 【点评】本题主要考查正负数，读懂题意是解题的关键． 8．（2024秋•上城区期末）近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　49　 km； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【考点】正数和负数． 【分析】（1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）50km的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）分别求出汽油费和电费，即可求解． 【解答】解：（1）由表格得：（+33）﹣（﹣16）＝49（km）， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走49km， 故答案为：49； （2）（﹣8）+（﹣12）+（﹣16）+0+（+22）+（+31）+（+33） ＝﹣36+86 ＝50（km）， 50×7+50＝400（km）； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400km． （3）用汽油的费用：（元）， 用电的费用：（元）， 213.2﹣33.6＝179.6（元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省179.6元． 【点评】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 9．（2024秋•海曙区期末）如图，数轴上每一小段的长度为1，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d， （1）若a与d互为相反数，则c＝　﹣1　 ； （2）若|b|＞|d|，则c　小于　 0（填“大于”或“小于”）；a、b、c、d中，可能互为相反数的是　c与d　 ． 【考点】数轴；相反数；绝对值． 【分析】（1）根据相反数的定义以及观察数轴即可求解； （2）根据绝对值、相反数的定义，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴a在数轴上表示﹣4，d在数轴上表示4， ∴c＝﹣1， 故答案为：﹣1； （2）∵|b|＞|d|， ∴c小于0， ∴a、b、c、d中，可能互为相反数的是c与d， 故答案为：小于；c与d． 【点评】本题考查了数轴，相反数、绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识并数形结合． 10．（2024秋•嵊州市期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，C为线段AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）点C表示的数是　1　 （2）当t＝　5　 秒时，点P到达点A处； （3）点P表示的数是　2t﹣4　 （用含字母t的代数式表示）； （4）求t为多少秒时，线段PC的长为2个单位长度． 【考点】数轴． 【分析】（1）根据线段中点坐标公式可求点C表示的数； （2）根据时间＝路程÷速度，可求t的值； （3）根据两点之间的距离公式可求点P表示的数； （4）分P在点C左边和点C右边两种情况讨论求解． 【解答】解：（1）（6﹣4）÷2 ＝2÷2 ＝1． 故点C表示的数是1． 故答案为：1； （2）[6﹣（﹣4）]÷2 ＝10÷2 ＝5（秒）． 答：当t＝5秒时，点P到达点A处． 故答案为：5； （3）点P表示的数是2t﹣4． 故答案为：2t﹣4； （4）P在点C左边， [1﹣2﹣（﹣4）]÷2 ＝3÷2 ＝1.5（秒）． P在点C右边， [1+2﹣（﹣4）]÷2 ＝7÷2 ＝3.5（秒）． 答：当t＝1.5秒或3.5秒秒时，线段PC的长为2个单位长度． 【点评】本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的应用． 能力提升进阶练 1．（2024秋•余杭区期末）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（　　） A．1 B．1或﹣1 C．5或﹣5 D．4或6 【考点】数轴． 【分析】先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【解答】解：由条件可知：点B表示的数是：﹣1和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 【点评】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，掌握数轴的性质是解题关键． 2．（2024秋•嘉兴期末）已知实数a，b满足|a﹣b|＝﹣a﹣b，且a≠b，则下列说法中正确的是（　　） A．若a＝0，则a＜b B．若b＝0，则a＞b C．若a＞b，则a＝0 D．若a＜b，则a＝0 【考点】绝对值． 【分析】根据绝对值的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．若a＝0，则|a﹣b|＝|﹣b|＝﹣b，即﹣b＞0，也就是b＜0，所以a＞b，因此选项A不符合题意； B．若b＝0，则|a﹣b|＝|a|＝﹣a，即a＜0，所以a＜b，因此选项B不符合题意； C．若a＞b，则|a﹣b|＝a﹣b＝﹣a﹣b，即a＝﹣a，所以a＝0，因此选项C符合题意； D．若a＜b，则|a﹣b|＝﹣a+b＝﹣a﹣b，即b＝﹣b，所以b＝0，a＜0，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查绝对值，连接绝对值的定义是正确解答的关键． 3．（2024秋•镇海区期末）已知点A、B在数轴上对应的数为5和9，点C对应的数为c．点A关于点B的对称点为D，点E为线段AC的中点，当BD+BE＝12时，C的值为（　　） A．﹣3或11 B．﹣3或29 C．29 D．11 【考点】数轴． 【分析】根据题中所给条件分别求出相应的对应点，结合线段的和差即可得解． 【解答】解：∵点A、B在数轴上对应的数为5和9，点A关于点B的对称点为D， ∴D点表示的数为9+（9﹣5）＝13，AB＝BD＝9﹣5＝4， ∵BD+BE＝12， ∴BE＝8， 如图，当E在D的右侧时，E表示的数为9+8＝17， ∵点E为线段AC的中点， ∴点C表示的数为2×17﹣5＝29， 如图，当E在D的左侧时，E表示的数为9﹣8＝1， ∵点E为线段AC的中点， ∴点C表示的数为2×1﹣5＝﹣3， 综上所述，点C的值为﹣3或29， 故选：B． 【点评】本题考查数轴的性质，掌握数形相结合是解题的关键． 4．（2024秋•拱墅区期末）数轴上有A，B两点（A在B的左侧）到原点O的距离相等，点C在线段AB上，点D在直线AB上．已知2AC＝BC，BD＝CO，若AD＝10，则点D表示的数是 　或4　 ． 【考点】数轴． 【分析】根据题意，点D在直线AB上，分两种情况讨论，分别画出数轴，结合数轴上点的位置，求得结果． 【解答】解：如图1，点D在点B的右侧， 设AC＝x， ∵2AC＝BC， ∴BC＝2x， ∴AB＝AC+BC＝3x， ∵A，B两点（A在B的左侧）到原点O的距离相等， ∴AO＝BOAB， ∴AO， ∴CO＝AO﹣ACx， ∵BD＝CO， ∴BDx， ∴AD＝AB+BD＝3xx， ∵AD＝10， ∴x＝10， ∴x， ∴OD＝OB+BD2， ∴点D表示的数是； 如图2，点D在点B的左侧， 设AC＝x， ∵2AC＝BC， ∴BC＝2x， ∴AB＝AC+BC＝3x， ∵A，B两点（A在B的左侧）到原点O的距离相等， ∴AO＝BOAB， ∴AO， ∴CO＝AO﹣ACx， ∵BD＝CO， ∴BDx， ∴AD＝AB﹣BD＝3xxx， ∵AD＝10， ∴x＝10， ∴x＝4， ∴OD＝OB﹣BDx＝4， ∴点D表示的数是4， 综上，点D表示的数是或4． 故答案为：或4． 【点评】本题考查了有理数的运算，数轴的应用，熟练应用数轴解决问题是解题的关键． 5．（2024秋•嵊州市期末）如图，数轴上点A表示数是0，则点B表示的数是 　﹣1　 ． 【考点】数轴． 【分析】根据所给图形，结合数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【解答】解：由所给数轴可知， 因为3﹣2＝1， 所以点B在点A左边，且与点A相距1． 因为点A表示的数是0， 所以点B表示的数是﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 6．（2024秋•钱塘区期末）如图，已知a，b两个数落在隐去原点的数轴上，有下列说法：①a﹣b＜0；②a+b＜﹣2；③a+b+ab+1＜0，其中正确的是 　①②③　 ．（只填写序号） 【考点】数轴． 【分析】根据数轴得出a＜﹣1＜b，根据a＜b推出a﹣b＜0，根据a＜﹣1＜b推出a+1＜0，b+1＞0，求出（a+1）（b+1）＜0，即可得出答案． 【解答】解：∵从数轴可知：a＜﹣1＜b， ∴a﹣b＜0，a+b＜0，a+1＜0，b+1＞0， ∴（a+1）（b+1）＜0， 即a+b+ab+1＜0， ∴①③正确； 设a到﹣1的距离为x，﹣1到b的距离为y， ∵x＞y， ∴﹣x+y＜0， ∴a+b＝﹣1﹣x+（﹣1+y）＝﹣2+（﹣x+y ）＜﹣2， 故②正确． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了数轴，有理数的大小比较，不等式的基本性质的应用，解此题的关键是能根据a＜﹣1＜b推出a+1＜0，b+1＞0，a﹣b＜0，难度不是很大． 7．（2024秋•临海市期末）一般用[x]表示不大于x的最大整数，如[1.8]＝1．现规定{x}＝x﹣[x]，如{2}＝2﹣[2]＝2﹣2＝0；{﹣3.1}＝﹣3.1﹣[﹣3.1]＝﹣3.1﹣（﹣4）＝0.9．可借助数轴上两点之间的距离理解{x}的意义，如图，表示2与[2]的点A，B重合，所以{2}＝0；表示﹣3.1与[﹣3.1]的点C，D距离为0.9，所以{﹣3.1}＝CD＝0.9． （1）分别求{1.8}与{﹣1.8}的值； （2）当a＞0时， ①{a}+{﹣a}的值为 　0或1　 ； ②已知{﹣a}＝0.4，求{a+1}+{a+2}+…+{a+10}的值； （3）当a＞0时，{4a}＝{a}，请直接写出{a}的值． 【考点】有理数大小比较；数轴． 【分析】（1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是a为整数时，{a}＝a﹣[a]＝0，{﹣a}＝﹣a﹣[﹣a]＝0，故{a}+{﹣a}＝0，二是a不是整数时，{a}等于a的小数部分，{﹣a}等于a的整数部分加1后再减去a，故{a}+{﹣a}＝1； ②{﹣a}＝0.4可知a不是整数，再由①可知{a}+{﹣a}＝1，故{a}＝1﹣{﹣a}＝1﹣0.4＝0.6，从而有{a+1}＝{a+2}＝⋯＝{a+10}＝{a}＝0.6，列出算式进行计算即可； （3）由a＞0时，{4a}＝{a}可知，4a与a的小数部分相同，即a的小数部分只能是0或使得4倍后小数部分不变的值，故{a}的值是0或． 【解答】解：（1）{1.8}＝1.8﹣[1.8]＝1.8﹣1＝0.8， {﹣1.8}＝（﹣1.8）﹣[﹣1.8]＝（﹣1.8）﹣（﹣2）＝0.2； （2）①∵a＞0， ∴当a为整数时，[a]＝a，[﹣a]＝﹣a ∴{a}＝a﹣[a]＝0，{﹣a}＝﹣a﹣[﹣a]＝0， ∴{a}+{﹣a}＝0， 当a不是整数时，由题意得{a}+{﹣a}＝1， 故答案为：0或1； ②∵{﹣a}＝0.4， ∴{a}＝1﹣{﹣a}＝1﹣0.4＝0.6， ∴{a+1}＝{a+2}＝⋯＝{a+10}＝{a}＝0.6， ∴{a+1}+{a+2}+⋯+{a+10}＝0.6×10＝6； （3）∵a＞0时，{4a}＝{a}， ∴4a与a的小数部分相同， ∴a的小数部分只能是0或使得4倍后小数部分不变的值， 即a的小数部分为0或或， ∴{a}＝0或或． 【点评】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用． 8．（2024秋•义乌市期中）【定义】已知点C是线段AB上的一个分点，若点C到线段两个端点的距离之比为1：2时，则称点C为线段AB的“理想点”．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）求点A、B之间的距离； （2）求线段AB的“理想点”C所对应的数； （3）现将一纸条AB如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为1：1：3，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【考点】数轴． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可．； （2）根据“理想点”定义及C到A、B距离的比例关系，分情况讨论C对应数轴上的数即可； （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【解答】解：（1）AB＝10﹣（﹣20）＝120， ∴点A、B间的距离为120； （2）由（1）知AB＝120， ①当AC：CB＝1：2时， ∴AC40， ∴C所对应的数为20， ②当AC：CB＝2：1时， ∴BC＝80， ∴C所对应的数为60， 综上，线段AB的“理想点”C所对应的数为20或60； （3）∵AB＝120，三条纸条的长度为1：1：3三部分， ∴三条纸条的长度分别是24，24，72， ①如图所示，当从A到B三条纸条长度为24，24，72时 此时折痕表示的数为﹣20+24+12＝16； ②如图所示，当从A到B三条纸条长度为24，72，24时 此时折痕表示的数为﹣20+24+36＝40； ③如图所示，当从A到B三条纸条长度为72，24，24时 此时折痕表示的数为﹣20+72+12＝64； 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16或40或64． 【点评】此题考查了数轴上任意两点之间的距离，结合分类讨论数学思想进行求解，要做到不重不漏． 9．（2024秋•西湖区校级期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东记为正，向西记为负，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： 14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的位置； （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【考点】数轴；正数和负数． 【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向； （2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案． 【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20， 答：B地在A地的东边20千米； （2）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|＝74千米， 应耗油74×0.5＝37（升）， 故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升）， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油． 【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键，有理数的大小比较得出最远距离． 10．（2024秋•杭州期中）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，﹣2，+1，﹣5，﹣2，+9，﹣6． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？ （3）若汽车消耗天然气量为0.2m3/km，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ （4）若出租车起步价为5元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【考点】数轴；正数和负数． 【分析】（1）求出这几个数的和，根据符号、绝对值判断位置； （2）分别计算出送每一个顾客时，距公园的距离，进而得出答案； （3）求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量； （4）八名顾客均有起步价，再求出超出3千米的加价 即可求出总车费． 【解答】解：（1）﹣3+6﹣2+1﹣5﹣2+9﹣6＝﹣2km， 答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在迎泽公园门口西边2km处． （2）|﹣3|＝3， |﹣3+6|＝3， |﹣3+6﹣2|＝1， |﹣3+6﹣2+1|＝2， |﹣3+6﹣2+1﹣5|＝3， |﹣3+6﹣2+1﹣5﹣2|＝5， |﹣3+6﹣2+1﹣5﹣2+9|＝4， |﹣3+6﹣2+1﹣5﹣2+9﹣6|＝2． ∵5＞4＞3＝3＝3＞2＝2＞1， ∴将第6位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远． （3）（|﹣3|+|6|+|﹣2|+|1|+|﹣5|+|﹣2|+|9|+|﹣6|）×0.2＝6.8m3 答：这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米． （4）[（6+5+9+6）﹣3×4]×1.2+8×5＝56.8元， 答：小李这天上午共得车费56.8元． 【点评】考查正负数的意义，理解有理数的意义，明确符号和绝对值的意义是正确解答的前提． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数（复习讲义） 有理数章节是初中数学的奠基模块，课标核心在于建立数系扩展思想与符号意识，中考命题则突出基础性与应用性。教学中需紧扣“实际意义→抽象概念→运算应用”主线，备考中需重点攻克符号判定、数形结合与模型建立三大能力，确保基础题满分。 层级 目标要求 典型实例 基础目标 能复述正负数定义，识别数轴要素，计算简单加减法 -3.5是负分数；数轴上-1.5的位置36 进阶目标 理解相反数的代数与几何意义（数轴上对称点），掌握绝对值的非负性及去绝对值分类讨论方法 如|a| = a（a≥0）或 -a（a<0） 拓展目标 理解并应用数轴解决动态问题，设计有理数应用模型 点P从-2左移3单位再右移5单位，终点为0 知识点 重点归纳 常见易错点 有理数定义 整数和分数统称有理数（包括正/负整数、正/负分数、0） 误认为、等无理数属于有理数以及0的特殊性 数轴三要素 原点、正方向、单位长度（缺一不可） 单位长度不一致（如左半轴1格=2，右半轴1格=1） 相反数 a的相反数是−a；a+(−a)=0 混淆“相反数”与“倒数” 绝对值 去绝对值时未分类讨论 题型一 正数负数 【例1】（2024秋•上城区校级期中）在下列各对量中，具有相反意义的量是（　　） A．胜两局与负两局 B．气温升高3℃与气温为﹣3℃ C．盈利3万元与支出3万元 D．向东走5米与向北走3米 【变式1-1】（2024秋•浙江期中）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1060元表示（　　） A．支出60元 B．收入60元 C．支出1060元 D．收入1060元 【变式1-2】（2024秋•海曙区校级期中）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 　　 （填“合格”或“不合格”）． 【变式1-3】（2024秋•浙江期中）商人小周于上周日买进某农产品10000斤，每斤2.4元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的农产品，每个摊位的市场管理价为每天20元．下表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该农产品的批发价格为每斤2.7元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） +0.3 ﹣0.1 +0.25 +0.2 ﹣0.5 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 （1）星期四该农产品价格为每斤多少元？ （2）本周内该农产品的最高价格为每斤多少元？最低价格为每斤多少元？ （3）小周在销售过程中采用逐步减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱？请你帮他算一算． 题型二 有理数分类 【例2】（2024•绍兴开学）在﹣18，，0，12%，﹣7.2，，7中，非负数有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式2-1】（2024秋•浙江月考）关于，0.99，，0，3.1415这六个数，下列说法错误的是（　　） A．﹣1，0是整数 B．，0.99，0，3.1415是正数 C．是负数 D．，0.99，，0，3.1415是有理数 【变式2-2】（2024秋•上城区校级月考）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①﹣5，②，③0，④+1.5，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥﹣30%；则是非正整数的是 　 　 ． 【变式2-3】（2024秋•浙江校级月考）将下列各数填入适当的括号内： π，5，﹣3，，8.9，，﹣3.14，﹣9，0， 正数集合：{ 　 　 …}； 负数集合：{ 　 　 …}； 整数集合：{ 　 　 …}； 分数集合：{ 　 　 …}； 正整数集合：{ 　 　 …}； 负整数集合：{ 　 　 …}； 非负数集合：{ 　 　 …}． 题型三 数轴 【例3】（2024秋•杭州月考）如图，点A，B对应的数分别为a，b，对于结论：①ab＜0，②﹣a＜0，③a+b＜0，其中说法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．② D．①②③ 【变式3-1】（2024秋•鹿城区校级期中）将点A沿数轴向左移动2个单位长度可到达点B，若点B在数轴上对应的数为﹣1，则点A对应的数为（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（2024秋•西湖区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小之在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：在数轴上剪下从﹣6到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　 　 ． 【变式3-3】（2024秋•上城区校级月考）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 　　 ；图中点A所表示的数是 　　 ；点B所表示的数是 　　 ； （2）受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： ①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生；你若是我现在这么大，我就84岁啦！”则爸爸的年龄是 　　 岁．（在图中标出分析过程） ②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要14年才出生；你若是我现在这么大．我就118岁啦！”则爷爷的年龄是 　　 岁．（画出示意图展示分析过程） 题型四 相反数 【例4】（2024秋•娄底期中）有理数2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【变式4-1】（2024秋•上城区校级期中）﹣100的相反数是（　　） A．100 B．﹣100 C．±100 D．﹣200 【变式4-2】（2024秋•乐清市校级月考）如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是 　　 ． 【变式4-3】（2024秋•浙江校级月考）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）﹣（﹣2）；（2）+（）；（3）﹣[﹣（﹣4）]（4）﹣[﹣（+3.5）]；（5）（﹣{﹣[﹣（﹣5）]}）（6）﹣{﹣[﹣（+5）]} 问：①当+5前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当﹣5前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 题型五 绝对值 【例5】（2024秋•上城区校级期中）当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　） A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2 【变式5-1】（2024秋•萧山区期中）若abc≠0，则（　　） A．0或±1 B．±3或0 C．±3或0或±1 D．±3或±1 【变式5-2】（2024秋•杭州期中）已知a、b、c的位置如图：则化简|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b|＝　 　 ． 【变式5-3】（2024秋•金华月考）若|a|＝5，|b|＝3． （1）若ab＜0，求a+b的值； （2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 题型六 有理数大小比较 【例6】（2024秋•西湖区期中）在﹣4，﹣（﹣2），﹣|﹣4.5|，0中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣（﹣2） C．﹣4 D．﹣|﹣4.5| 【变式6-1】（2023秋•路桥区期末）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列大小关系正确的是（　　） A．m＞n＞0 B．m＞0＞n C．n＞m＞0 D．n＞0＞m 【变式6-2】（2024秋•杭州期中）比较大小：0 　 　 ﹣1， 　 　 ，|﹣0.25|　 　 ．（填“＞”，“＜”号） 【变式6-3】（2024秋•吴兴区期中）已知五个数分别为﹣5，|﹣1|，，﹣（﹣3），4．在如图所示的数轴上表示各数，并用“＜”号把这些数连接起来． 基础巩固通关测 1．（2025•浙江）的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•浙江）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　） 北京 济南 太原 郑州 0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃ A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 3．（2024•柯桥区模拟）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•嘉善县一模）如图，点A，C分别表示数﹣1与5，点B在线段AC上，且AB＝2BC，则点B对应的数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025•杭州模拟）计算：|﹣2025|＝ 　　 ． 6．（2025•金华模拟）如图为小明微信账单．收到微信红包3.71元显示“+3.71”，则扫码付款7.35元，在阴影处显示的是 　　 ． 7．（2024秋•东阳市期末）某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） ﹣2.1 ﹣2 ﹣1.5 0 1 1.2 2 箱数 1 2 4 5 3 4 1 （1）在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ （2）与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？ 8．（2024秋•上城区期末）近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　49　 km； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 9．（2024秋•海曙区期末）如图，数轴上每一小段的长度为1，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d， （1）若a与d互为相反数，则c＝　　 ； （2）若|b|＞|d|，则c　　 0（填“大于”或“小于”）；a、b、c、d中，可能互为相反数的是　 　 ． 10．（2024秋•嵊州市期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，C为线段AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）点C表示的数是　　 （2）当t＝　　 秒时，点P到达点A处； （3）点P表示的数是　　 （用含字母t的代数式表示）； （4）求t为多少秒时，线段PC的长为2个单位长度． 能力提升进阶练 1．（2024秋•余杭区期末）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（　　） A．1 B．1或﹣1 C．5或﹣5 D．4或6 2．（2024秋•嘉兴期末）已知实数a，b满足|a﹣b|＝﹣a﹣b，且a≠b，则下列说法中正确的是（　　） A．若a＝0，则a＜b B．若b＝0，则a＞b C．若a＞b，则a＝0 D．若a＜b，则a＝0 3．（2024秋•镇海区期末）已知点A、B在数轴上对应的数为5和9，点C对应的数为c．点A关于点B的对称点为D，点E为线段AC的中点，当BD+BE＝12时，C的值为（　　） A．﹣3或11 B．﹣3或29 C．29 D．11 4．（2024秋•拱墅区期末）数轴上有A，B两点（A在B的左侧）到原点O的距离相等，点C在线段AB上，点D在直线AB上．已知2AC＝BC，BD＝CO，若AD＝10，则点D表示的数是 　　 ． 5．（2024秋•嵊州市期末）如图，数轴上点A表示数是0，则点B表示的数是 　　 ． 6．（2024秋•钱塘区期末）如图，已知a，b两个数落在隐去原点的数轴上，有下列说法：①a﹣b＜0；②a+b＜﹣2；③a+b+ab+1＜0，其中正确的是 　 　 ．（只填写序号） 7．（2024秋•临海市期末）一般用[x]表示不大于x的最大整数，如[1.8]＝1．现规定{x}＝x﹣[x]，如{2}＝2﹣[2]＝2﹣2＝0；{﹣3.1}＝﹣3.1﹣[﹣3.1]＝﹣3.1﹣（﹣4）＝0.9．可借助数轴上两点之间的距离理解{x}的意义，如图，表示2与[2]的点A，B重合，所以{2}＝0；表示﹣3.1与[﹣3.1]的点C，D距离为0.9，所以{﹣3.1}＝CD＝0.9． （1）分别求{1.8}与{﹣1.8}的值； （2）当a＞0时， ①{a}+{﹣a}的值为 　 　 ； ②已知{﹣a}＝0.4，求{a+1}+{a+2}+…+{a+10}的值； （3）当a＞0时，{4a}＝{a}，请直接写出{a}的值． 8．（2024秋•义乌市期中）【定义】已知点C是线段AB上的一个分点，若点C到线段两个端点的距离之比为1：2时，则称点C为线段AB的“理想点”．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）求点A、B之间的距离； （2）求线段AB的“理想点”C所对应的数； （3）现将一纸条AB如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为1：1：3，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 9．（2024秋•西湖区校级期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东记为正，向西记为负，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： 14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的位置； （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 10．（2024秋•杭州期中）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，﹣2，+1，﹣5，﹣2，+9，﹣6． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？ （3）若汽车消耗天然气量为0.2m3/km，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ （4）若出租车起步价为5元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$