专题04 数列求和综合13种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题04 数列求和题型归类 目录 专题04 数列求和题型归类 类型一、分组求和型 类型二、分段求和型 类型三、正负相间分奇偶型 类型四、倒序求和型 类型五、错位相消型 类型六、项相消：基础思维 类型七、裂项相消：f（n）/pq型 类型八、裂项相消：指数函数型 类型九、裂项相消：分离常数裂项型 类型十、 裂项相消：同构仿写型 类型十一、裂项相消：有理化型裂项 类型十二、裂项相消：三角函数型 25 类型十三、裂项相消：（-1）n次幂裂和或者差型 压轴专练 类型一、分组求和型 等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式： 等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 等比：前n项和公式：Sn＝ 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 例1．（24-25高二下·湖北·期末）已知数列的前n项和是，且满足，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1． （2025·福建泉州·模拟预测）已知数列满足，，，则的第2025项为（   ） A． B． C． D． 变式1-2． （2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 变式1-3． （24-25高二下·湖北·阶段练习）已知数列、满足，，这两个数列的项组成一个集合，集合中的数按从小到大的顺序排列组成数列，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 类型二、分段求和型 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项： （1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和 例2、（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列满足，且，则的前50项的和为（    ） A．36 B．39 C．41 D．45 变式2-1． （24-25高二上·河南·阶段练习）已知数列中，，则数列前2024项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 变式2-2． （23-24高三上·天津和平·阶段练习）设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 变式2-3． （23-24高二下·河南漯河·期末）已知数列满足. ①；②是等差数列；③是等比数列；④数列前项和为. 上述语句正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 类型三、正负相间分奇偶型 正负相间求和： 1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 例3．（2025·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 变式3-1． （2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为82，则写错之前这个数为（    ） A．64 B． C．100 D． 变式3-2． （24-25高二下·辽宁丹东·期中）已知数列的通项公式为为其前项和，则（    ） A． B． C．493 D．495 变式3-3． （2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 类型四、倒序求和型 正负相间求和： 1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 例4．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 变式4-1． （24-25高二下·北京西城·阶段练习）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 变式4-2． （24-25高二下·云南丽江·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，记曲线C：，设函数．曲线C的对称中心为点M，曲线C上两个不重合的动点、关于点M对称，求的取值范围和的值（   ） A．， B．，8098 C．， D．，4049 变式4-3． （24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 类型五、错位相消型 错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解． 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）思维结构结构图示如下 例5．（24-25高二下·广西崇左·期末）若数列满足，，的前项和为，则的整数部分为（   ） A． B． C． D． 变式5-1． （24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，．数列满足，，且数列是等比数列．设数列的前n项和为，则满足不等式成立的整数n的最小值为（   ） A．99 B．100 C．199 D．200 变式5-2．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B． C．， D．， 类型六、项相消：基础思维 (1)；（2） ； （3）；（4）； 例6．（21-22高一下·四川绵阳·期中）已知数列满足：，，令，是数列的前项和，若对任意的恒成立，则整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（21-22高二下·安徽·期末）已知数列满足，设，则数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 变式6-2． （21-22高二下·河南开封·期末）已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式6-3． （22-23高三上·河南·阶段练习）在各项均为正数的等差数列中，、、构成公比不为的等比数列，是的前项和．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 类型七、裂项相消：f（n）/pq型 函数型，指的是 （1） f（n）=t（q-p），差型； （2） f（n）是分离常数型； 例7．（21-22高二下·河南平顶山·期末）已知正项数列满足，则数列的前8项和为（    ） A． B． C． D． 变式7-1． （2019·广东·一模）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-2． （23-24高二·江苏·假期作业）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式7-3． （2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 类型八、裂项相消：指数函数型 指数型，类似函数型的列项思维 形如 例8．（21-22高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式8-1．（23-24高二下·山西运城·期中）已知数列满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 变式8-2．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和满足，若，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 变式8-3． （24-25高二上·全国·课后作业）设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 得，解得，故选：A 类型九、裂项相消：分离常数裂项型 分离常数型 分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。 例9．（21-22高二下·浙江·阶段练习）已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（　　） A．1010 B．1011 C．2021 D．2022 变式9-1． （22-23高二下·福建厦门·期末）设数列的前n项和为，则（　　） A． B． C． D． 变式9-2． （18-19高二上·辽宁·期中）已知数列满足，对任意k∈N*，有，成公差为k的等差数列，数列，则的前项和 变式9-3． （2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列与的前n项和分别为，则 ；若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 . 类型十、 裂项相消：同构仿写型 例10．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）设数列满足，，则数列的前19项和为（    ） A． B． C． D． 变式10-1．（2023·江西宜春·一模）已知数列满足，若数列的前项和，对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式10-2． （2023·陕西安康·模拟预测）已知数列的首项为,数列的前项和小于实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式10-3． （2023·山东·模拟预测）已知非零数列，点在函数的图像上，则数列的前2023项的和为（    ） A． B． C． D． 类型十一、裂项相消：有理化型裂项 无理根式型裂项： 一般情况下，无理型裂项相消满足： 例11．（22-23高三上·江苏南通·期末）已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若，则（    ） A． B． C． D． 变式11-1． （22-23高三下·云南曲靖·阶段练习）已知数列各项均为正数，且，数列满足，若，则为（    ） A． B． C． D． 变式11-2． （2023·陕西咸阳·二模）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 变式11-3． （22-23高二下·河南南阳·阶段练习）数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 类型十二、裂项相消：三角函数型 例12．（2023高二上·全国·专题练习）已知数列满足，且的前项的和记为，则（　　） A． B． C． D． 变式12-1． （24-25高三下·广西·开学考试）设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（     ） A． B． C． D． 变式12-2． （2018·山西吕梁·一模）设等差数列的公差为，前项和为，记，则数列的前项和是 A． B． C． D． 变式12-3． （17-18高二上·上海宝山·期中）设函数，点表示原点，点，是向量与向量的夹角，，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 类型十三、裂项相消：（-1）n次幂裂和或者差型 正负型：等差裂和型 例13．（21-22高二下·北京海淀·期中）若数列满足，为其前n项和，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．有最小值 D．无最大值 变式13-1． （2022·浙江湖州·模拟预测）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题： ①若数列各项单调递增，则首项 ②若数列各项单调递减，则首项 ③若数列各项单调递增，当时， ④若数列各项单调递增，当时，， 则以下说法正确的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式13-2． （2023·广东广州·一模）若数列满足，则的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 变式13-3． （23-24高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，其前项和为，设函数，则（    ） A．0 B．1 C．1012 D．2024 压轴专练 一、单选题 1．（24-25高二下·四川·阶段练习）已知数列的通项公式为的前项和为，若，则的最大值为（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）已知等差数列的，公差，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 5．（23-24高二上·浙江温州·阶段练习）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前24项和为（    ） A． B．3 C． D．6 6．（18-19高一下·黑龙江·期中）已知数列与前项和分别为，，且,，对任意的恒成立，则的最小值是（      ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江西萍乡·期末）若表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2025项和为（   ） A．2028 B．2030 C．4054 D．4055 二、多选题 9．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，，，设，记数列的前项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列的前项和为，.则下列式子的值可以确定的是（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·四川成都·期中）已知各项都是正数的数列{an}的前 n 项和为Sn ，且，则（    ） A．∀n ∈， B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·四川广元·期中）已知数列满足的前项和为，若，则 ． 13．（22-23高一上·福建厦门·开学考试）有一组数据：，，，，.记，则 . 14．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列满足，则 ．（表示不大于的最大整数） 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数列求和题型归类 目录 专题04 数列求和题型归类 类型一、分组求和型 类型二、分段求和型 类型三、正负相间分奇偶型 类型四、倒序求和型 类型五、错位相消型 类型六、项相消：基础思维 类型七、裂项相消：f（n）/pq型 类型八、裂项相消：指数函数型 类型九、裂项相消：分离常数裂项型 类型十、 裂项相消：同构仿写型 类型十一、裂项相消：有理化型裂项 类型十二、裂项相消：三角函数型 25 类型十三、裂项相消：（-1）n次幂裂和或者差型 压轴专练 类型一、分组求和型 等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式： 等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 等比：前n项和公式：Sn＝ 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 例1．（24-25高二下·湖北·期末）已知数列的前n项和是，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式，求出数列奇数项和偶数项各自的性质，再根据等比数列求和公式，求出数列前2025项的和. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是首项为3，公比为4的等比数列. 因为，， 所以数列是首项为24，公比为4的等比数列. 所以， 故选：C. 变式1-1． （2025·福建泉州·模拟预测）已知数列满足，，，则的第2025项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及递推关系得、，再依次写出，应用等比数列前n项和公式及余弦函数的周期性求值即可. 【详解】由，则，可得，且， 所以，，，，， 所以 . 故选：B 变式1-2． （2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【分析】由题意可得数列的前项和，数列的前项和，利用，可求解. 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 变式1-3． （24-25高二下·湖北·阶段练习）已知数列、满足，，这两个数列的项组成一个集合，集合中的数按从小到大的顺序排列组成数列，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出数列、的公共项构成的数列的通项公式，计算得出，分析可知数列的前项包含数列的前项，数列的前项，且、、这三项出现两次，各记为一次，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】数列的各项为：、、、、、、、、、、、， 数列的各项为：、、、、、、、、、、、， 所以，数列、的公共项为：、、、， 则数列、公共项构成以首项为，公差为的等差数列， 所以，，则，且， 所以，数列的前项包含数列的前项，数列的前项，且、、这三项出现两次，各记为一次， 所以，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于确定数列的前项的构成，进而利用等差数列求和公式求解. 类型二、分段求和型 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项： （1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和 例2、（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列满足，且，则的前50项的和为（    ） A．36 B．39 C．41 D．45 【答案】B 【分析】根据已知有，由，则，，，依次类推有，再应用分组求和即可得. 【详解】当且为奇数，， 当且为偶数，，则， 而，则，，，依次类推有， 所以. 故选：B 变式2-1． （24-25高二上·河南·阶段练习）已知数列中，，则数列前2024项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】C 【分析】根据题目中的递推公式，利用列举法，写出数列前若干项，可得数列的周期性，可得答案. 【详解】由题意可得，，，，，… 则可得下表： 易知数列存在周期性，最小正周期为， 由，则. 故选：C. 变式2-2． （23-24高三上·天津和平·阶段练习）设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法求解即得. 【详解】数列满足，，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即， 因此，显然的周期为4， 则 ， 令，则有， 因为， 所以数列是等差数列， 所以数列的前100项和，即数列的前25项和为. 故选：B. 变式2-3． （23-24高二下·河南漯河·期末）已知数列满足. ①；②是等差数列；③是等比数列；④数列前项和为. 上述语句正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】依次代入n的值即可判断①，利用等比数列的定义即可判断②③；根据②③可以求出数列的通项公式，然后利用分组求和即可判断④. 【详解】对于①， ，故①正确； 对于②，令，由①知，， ， 所以，是公比为2的等比数列，即是公比为2的等比数列，故不是等差数列，故②错误； 对于③，令， 由①知，，所以， ， 所以是等比数列，即是等比数列，故③正确； 对于④，由②知，，， 数列前项和为数列前n项的和与数列前n项的和的和，即所求和为. 又， ， 所以，故④正确； 故选：D. 类型三、正负相间分奇偶型 正负相间求和： 1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 例3．（2025·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 【答案】C 【分析】通过将数列的前2025项和进行分组，根据相邻两项的规律，并项求出和. 【详解】设数列的前项和为，则. 可以将相邻两项看作一组，即，，，，，一共有组，还剩下最后一项2025. 每一组的值都为，例如，，，以此类推. 因为一共有1012组，每组的值为，所以前2024项分组后的和为. 等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即. 故选：C. 变式3-1． （2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为82，则写错之前这个数为（    ） A．64 B． C．100 D． 【答案】A 【分析】由并项求和及等差数列的求和公式即可直接求得答案． 【详解】，则其前20项和为． 设写错项为，则，解得， 故写错之前这个数为． 故选：A． 变式3-2． （24-25高二下·辽宁丹东·期中）已知数列的通项公式为为其前项和，则（    ） A． B． C．493 D．495 【答案】A 【分析】根据给定的通项公式，利用并项求和法求解. 【详解】数列中，由，得， 所以. 故选：A 变式3-3． （2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列求和公式计算，再结合分组求和计算求解. 【详解】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以， 则数列的前2025项和为 . 故选：D. 类型四、倒序求和型 正负相间求和： 1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 例4．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足，则对于，，当时，， 则， 设， 则， 两式相加可得，解得. 故选：B. 变式4-1． （24-25高二下·北京西城·阶段练习）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】D 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， 解得. 故选：D. 变式4-2． （24-25高二下·云南丽江·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，记曲线C：，设函数．曲线C的对称中心为点M，曲线C上两个不重合的动点、关于点M对称，求的取值范围和的值（   ） A．， B．，8098 C．， D．，4049 【答案】A 【分析】由幂函数的概念和单调性的定义可得，从而，再由对称性可知曲线的对称中心为，得到，由，，根据二次函数的性质可得.由对称性可得曲线关于点对称，利用倒序相加可得的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以，即， 解得或．当时，；当时，． 因为函数对任意的，且，满足， 所以函数在上单调递增，所以，∴曲线C：， 因为， 得曲线的对称中心为，所以，即，， 又因为A、B两点不重合，故，得，所以. ∵， ∴曲线关于点对称. 设①， ②， 两式相加得. 故选：A． 变式4-3． （24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倒序相加法即可求解 【详解】因， 且① 则，② 由①+②可得：， 故. 故选：C. 类型五、错位相消型 错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解． 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）思维结构结构图示如下 例5．（24-25高二下·广西崇左·期末）若数列满足，，的前项和为，则的整数部分为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系式变形可构造出数列是首项为2，公比为2的等比数列，得到，再利用分组求和及错位相减法求和即可得到，再取的整数部分即可. 【详解】，， 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 则， 设数列的前项和为， 则，， 两式相减得：， 解得， 所以， 所以，故的整数部分为. 故选：A. 变式5-1． （24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，．数列满足，，且数列是等比数列．设数列的前n项和为，则满足不等式成立的整数n的最小值为（   ） A．99 B．100 C．199 D．200 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列，进而求出的通项，再利用错位相减法求和并解不等式即得. 【详解】由，得，则数列为常数列，，因此， ，由数列是等比数列，得数列的公比为2， ，又，则，， ，两式相减， 得，则， 不等式，解得， 所以不等式成立的整数n的最小值为199. 故选：C 变式5-2．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用递推关系式构造出等差数列，可求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和，根据所求可对各选项做出判断. 【详解】由题意，，等式两边同时除以，可得. 设，则，又因为， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列. 则，.故A 正确； 所以，， 则， 两式相减可得 ， 所以.故B正确； 对于C，.故C正确； 对于D，，， 则.故D错误. 故选：D. 变式5-3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【分析】方法一：利用错位相减求和可得答案； 方法二：利用代入求出可得答案. 【详解】方法一： 令， 则， 两式相减得 ， 可得， 对一切都成立，那么，； 方法二：对一切都成立， 当时有， 即，解得. 故选：A. 类型六、项相消：基础思维 (1)；（2） ； （3）；（4）； 例6．（21-22高一下·四川绵阳·期中）已知数列满足：，，令，是数列的前项和，若对任意的恒成立，则整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数列满足，，变形为：，利用等差数列的通项公式可得：，再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出． 【详解】数列满足，， ， 数列是等差数列，公差为4，首项为1． ， ． ． 数列的前项和 ， 若对任意恒成立，，， 则整数的最大值为5． 故选：． 变式6-1．（21-22高二下·安徽·期末）已知数列满足，设，则数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求出，即可求出则可写出的通项公式，再利用裂项相消即可求出答案. 【详解】因为①， 当时，； 当时，②， ①-②化简得， 当时：，也满足， 所以，， 所以的前2022项和. 故选:D. 变式6-2． （21-22高二下·河南开封·期末）已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的关系求出的通项公式，继而求出的通项公式，再用裂项相消法求出，进而得解. 【详解】因为数列中，，所以，所以，所以．因为，所以， 所以．因为数列是递增数列，当时，，当时，，，所以，所以的取值范围为． 故选：A． 变式6-3． （22-23高三上·河南·阶段练习）在各项均为正数的等差数列中，、、构成公比不为的等比数列，是的前项和．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，则且，根据已知条件可得出与的关系式，求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出，根据题意可得出关于，解之即可. 【详解】设等差数列的公差为，则且， 由已知可得，即，可得， 所以，， ， 所以，， ，，则，可得， 因此，的最小值为. 故选：A. 类型七、裂项相消：f（n）/pq型 函数型，指的是 （1） f（n）=t（q-p），差型； （2） f（n）是分离常数型； 例7．（21-22高二下·河南平顶山·期末）已知正项数列满足，则数列的前8项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，两式相减求得，即可得到的通项公式，利用裂项求和的方法，即可求得答案. 【详解】由， 可得， 两式相减得：，由于 ， 故，当时，，解得 适合， 故， 所以， 故数列的前8项和为：，故选：A 变式7-1． （2019·广东·一模）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果. 【详解】数列满足，① 当时，，② ①②得，，故， 则， 则， 由于恒成立，故，整理得：， 因随的增加而减小，所以当时，最大，且为，即.故选：D 变式7-2． （23-24高二·江苏·假期作业）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的通项，再求出的通项，从而可求，利用参变分离可求的取值范围. 【详解】因为， 所以， 故即，其中. 而令，则，故，. ， 故 ， 故恒成立等价于即恒成立， 化简得到，因为，故. 故选：D 变式7-3． （2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】 由的关系求出通项公式，再由裂项相消求出，根据方程求解即可. 【详解】当时，， 当时，，符合上式，故， 所以， 故， 由可得，化简得，得（舍去负值）． 故选：D 类型八、裂项相消：指数函数型 指数型，类似函数型的列项思维 形如 例8．（21-22高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将数列递推式恒等变形，构造等比数列，求得数列通项，将题设中的数列的通项展开裂项，运用裂项相消法求和，求得和式的范围即得. 【详解】依题意，当时，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即， 所以， 所以， 因不等式恒成立，故的取值范围是. 故选：C. 变式8-1．（23-24高二下·山西运城·期中）已知数列满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据等比数列求出，求出，求出即可求解. 【详解】因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， ，因为对恒成立， 所以，所以的最小值是1. 故选：B. 变式8-2．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和满足，若，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出数列的通项公式及，求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，，当时，； 当时，，两式相减得，整理得， 数列是首项为2，公比为3的等比数列，则， ， 所以. 故选：A 变式8-3． （24-25高二上·全国·课后作业）设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【分析】运用裂项相消法，结合指数的运算性质进行求解即可. 【详解】由题意得， 则，则， 得，解得，故选：A 类型九、裂项相消：分离常数裂项型 分离常数型 分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。 例9．（21-22高二下·浙江·阶段练习）已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（　　） A．1010 B．1011 C．2021 D．2022 【答案】B 【分析】确定数列是递增数列，得，利用已知等式得出，然后对和进行变形，利用裂项相消法求得和的表达式，再由不等式性质得出结论． 【详解】,，又，所以，即是递增数列， 由得，所以， ， ， 所以，而，，， 所以正整数的最大值为1011．故选：B． 变式9-1． （22-23高二下·福建厦门·期末）设数列的前n项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，利用裂项相消法求数列的前项和公式，得出前100项的和，结合选项，即可求解. 【详解】由， 所以， 所以，故选：A. 变式9-2． （18-19高二上·辽宁·期中）已知数列满足，对任意k∈N*，有，成公差为k的等差数列，数列，则的前项和 【答案】 【分析】由，成公差为的等差数列可求得,从而利用累加法可求得,代入，用分组求和与裂项相消法求和即可求得结果. 【详解】当时，成公差为1的等差数列， 由于，故； 同理可得当时，可以求得； ，， 将上述个等式相加得，， ，， 故答案为：. 变式9-3． （2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列与的前n项和分别为，则 ；若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意化简得，求得，再把不等式的恒成立转化为对于任意恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，，则， 所以， 所以.又由，可得， 因为对于任意恒成立，即对于任意恒成立，设，因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以，即实数的取值范围是.故答案为：；. 类型十、 裂项相消：同构仿写型 例10．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）设数列满足，，则数列的前19项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的递推式采用累加法求得，可得的通项公式，采用裂项求和法，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， 则 ， 故数列的前19项和为：， 故选：D 变式10-1．（2023·江西宜春·一模）已知数列满足，若数列的前项和，对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求得 ,再因为对任意不等式恒成立，，求出实数的取值范围. 【详解】①, ②, 由①-②可得，当 时,,当, 当,,当， 所以,对任意不等式恒成立,所以 ,.所以.故选:C. 变式10-2． （2023·陕西安康·模拟预测）已知数列的首项为,数列的前项和小于实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分奇偶求出通项公式，再应用裂项相消法即可得前n项和，则得M的最小值. 【详解】当时，，即. 所以当为奇数时，是常数列.又， 所以当为奇数时，，即， 当为偶数时，， 所以当时，. 设，则 故的前项和为 ，当趋向于无穷大时，前和趋向于. 所以的最小值为. 故选：C. 变式10-3． （2023·山东·模拟预测）已知非零数列，点在函数的图像上，则数列的前2023项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列的通项公式，再结合裂项相消法即可得到结果. 【详解】由已知条件知，则． 所以．（*） 因为点在函数的图像上，所以，将（*）代入得． 当时，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以， 因为， 所以． 故选：A． 类型十一、裂项相消：有理化型裂项 无理根式型裂项： 一般情况下，无理型裂项相消满足： 例11．（22-23高三上·江苏南通·期末）已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正项等差数列的公差为，且，由等比中项得，即，得，，即，求得． 【详解】设正项等差数列的公差为，且 ，，成等比数列， ，即， 整理得，， ，， ， 即，即，，．故选：． 变式11-1． （22-23高三下·云南曲靖·阶段练习）已知数列各项均为正数，且，数列满足，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差中项可得是等差数列，结合条件可得，然后利用裂项相消法即得. 【详解】由可知是等差数列， 由，可得，， 所以，所以，经检验满足， 所以， 所以. 故选：D. 变式11-2． （2023·陕西咸阳·二模）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的关系求得，进而求出，利用裂项相消求和法即可求解. 【详解】由题意知①， 当时，， 当时，②， ①-②，得， 若，，符合题意， 所以，则， 所以， 则 . 故选：D. 变式11-3． （22-23高二下·河南南阳·阶段练习）数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据裂项相消法求和即可. 【详解】因为， 所以数列的前2022项的和为： . 故选：D 类型十二、裂项相消：三角函数型 例12．（2023高二上·全国·专题练习）已知数列满足，且的前项的和记为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数恒等变换对转化，求出的表达式，代入即可求出. 【详解】 ， ∴ ，∴ 故选：C 变式12-1． （24-25高三下·广西·开学考试）设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等差数列的基本量运算得出通项公式，再结合两角和差正弦及余弦公式，最后结合裂项相消计算即可. 【详解】设等差数列的公差为d，由题意得， 解得，，则， 则 ， 则数列的前n项和为： 故选： 变式12-2． （2018·山西吕梁·一模）设等差数列的公差为，前项和为，记，则数列的前项和是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列的求和公式可得首项， ﹣1=﹣1，运用裂项相消求和，结合两角和差的正切公式，即可得到所求和． 【详解】等差数列 的公差d为，前8项和为 ， 可得 ，解得 ， ﹣1=﹣1， 则数列 的前7项和为 =（tan﹣tan）﹣7 =（tan﹣tan）﹣7 =（）﹣7= ； 故选：C． 变式12-3． （17-18高二上·上海宝山·期中）设函数，点表示原点，点，是向量与向量的夹角，，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，为与轴的夹角，从而得到，再利用裂项相消得到，再求出的值. 【详解】根据向量的加法法则可知， 是向量与向量的夹角， 即为向量与轴的夹角， 所以， 所以 ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的加法，裂项相消法求数列的和，数列的极限，属于中档题. 类型十三、裂项相消：（-1）n次幂裂和或者差型 正负型：等差裂和型 例13．（21-22高二下·北京海淀·期中）若数列满足，为其前n项和，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．有最小值 D．无最大值 【答案】C 【分析】分奇偶利用裂项相消法求出即可判断. 【详解】当为奇数时，， 此时当时，取得最大值为， 当为偶数时， 此时当时，取得最小值为， 综上，最大值为，最小值为. 故选：C. 变式13-1． （2022·浙江湖州·模拟预测）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题： ①若数列各项单调递增，则首项 ②若数列各项单调递减，则首项 ③若数列各项单调递增，当时， ④若数列各项单调递增，当时，， 则以下说法正确的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】将化为，根据数列的单调性列式，解不等式得到的范围，从而得的范围，再根据可得的范围，由此可判断①②； 由，得，利用裂项求和法求出，再根据单调性及首项，可得的范围，由此可判断③④. 【详解】对于①，由题意，正数数列是单调递增数列，且， ∴，解得，∴． ∴．∵，∴．则①成立， 对于②，由题意，正数数列是单调递减数列，且， ∴，解得，∴． ∴．故②成立. 又由，可得：． ∴．∵， ∴ ． 对于③，当时，因为，所以，∴，则，故③不成立； 对于④，当时，因为，∴，即， ∴．则，故④成立. 故选：B 变式13-2． （2023·广东广州·一模）若数列满足，则的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列奇偶交替的性质相加求和即可. 【详解】当为奇数时，，当为偶数时，， . 故选：D 变式13-3． （23-24高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，其前项和为，设函数，则（    ） A．0 B．1 C．1012 D．2024 【答案】C 【分析】由可得，从而可得，又由可得，从而利用倒序求和法即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为， 所以，，…，，以上各式相加， . 故选：C 压轴专练 一、单选题 1．（24-25高二下·四川·阶段练习）已知数列的通项公式为的前项和为，若，则的最大值为（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】C 【分析】根据题意，利用裂项相消法求，即可得解. 【详解】根据题意， 则， 因为，又，， 则的最大值为44. 故选：C 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倒序相加法，可得答案. 【详解】，， 故选：B. 3．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到为等比数列，从而得到，再利用错位相减法求和即可. 【详解】由，，得，所以， 而，所以数列是首项为1、公比为的等比数列， 所以，， 所以，， 两式相减得， 所以， 所以． 故选：C 4．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）已知等差数列的，公差，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】D 【分析】利用等差数列通项公式求出，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可. 【详解】因为， ， 所以，此时令， 而其前项和为， ，故D正确. 故选：D 5．（23-24高二上·浙江温州·阶段练习）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前24项和为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】先由等方差数列的定义得到是公差为2的等差数列并求出，进而求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】依题意，，即是公差为2的等差数列，而， 于是，即， 则， 所以数列的前24项和为：. 故选：D 6．（18-19高一下·黑龙江·期中）已知数列与前项和分别为，，且,，对任意的恒成立，则的最小值是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，两式相减整理后可知，则首项为1，公差为1的等差数列，从而可得，进而可以确定，则可求出，进而可求出的最小值. 【详解】解：因为，所以当时，，两式相减得 ，整理得，，由 知， ，从而，即当时，， 当时，，解得或（舍），则首项为1，公差为1的等差数列， 则.所以， 则， 所以.则的最小值是. 故选:A 【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了的关系式，一般地代入 进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等. 7．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而，结合裂项相消法求和即可. 【详解】由，得，即， 又，所以， 则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以 . 故选：A 8．（24-25高二下·江西萍乡·期末）若表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2025项和为（   ） A．2028 B．2030 C．4054 D．4055 【答案】D 【分析】首先对递推式进行变形，根据累加法求数列的通项公式，代入数列，再利用题目所给的的定义算出数列各项的值，从而得到数列的前2025项和. 【详解】，即， 设，则，且， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 所以，可得，，，，，累加可得： ，所以， 依题意，， 对的取值范围进行分析： ， ，可以得到： 当时，，即， 所以，，， 因此当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，数列的前2025项和. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，，，设，记数列的前项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，只需要依次赋值计算即得；对于B，先推理得到，由得，从而得数列为公差为1的等差数列，由通项公式计算即得；对于C，利用错位相减法求和即得；对于D，根据条件将分成奇数项和偶数项分别求和，利用C项结论和等比数列的求和公式计算即得. 【详解】对于A，由，因， 可得，，故A正确； 对于B，当，时， （*）， 因，则， 故由（*）可得，则， 即数列为公差为1的等差数列， 则有，可得，故B正确； 对于C，由， 可得， 上面两式相减可得， 可得，故C错误； 对于D，由，，可得：， 则 ，故D正确. 故选：ABD. 10．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列的前项和为，.则下列式子的值可以确定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】推导出，，其中，的值不确定，然后利用分组求和法可判断AB选项；利用并项求和法可判断CD选项. 【详解】由题意得，，即，， 所以，，，， 可得，， 由此可得数列中相邻两奇数项的和可以确定，相邻两偶数项的和可以确定， 其中，的值不确定. 对于A选项， ， 其中的值不确定，故选项A错误； 对于B选项， ， 每一组数都可以确定，故选项B正确； 对于D选项， ， 每一组数都可以确定，故选项D正确； 对于C选项，因为，故， 因为 ，每一组数都可以确定， 则为定值，故选项C正确. 故选：BCD. 11．（24-25高三上·四川成都·期中）已知各项都是正数的数列{an}的前 n 项和为Sn ，且，则（    ） A．∀n ∈， B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：求出，再将转化为,即可证明；对于B：利用A的结论求出，再利用基本不等式分析证明；对于C：取特值，即可判断正误；对于D：分析可得和，结合裂项相消法运算求解. 【详解】当时，则，且，解得：； 当时，，整理得：； 所以是等差数列，由等差数列的中项定义可得：，故A正确； 因为，且，可得， 则，故B正确； 因为，故C错误； 因为， 可得， 又因为当时，则， 可得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：利用放缩可得和，结合裂项相消法运算求解. 三、填空题 12．（24-25高二下·四川广元·期中）已知数列满足的前项和为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，即可得解. 【详解】由，可知： 当为偶数时，，当为奇数时，， 所以， 即， 化简可得，由此解得. 故答案为： 13．（22-23高一上·福建厦门·开学考试）有一组数据：，，，，.记，则 . 【答案】 【分析】先将数列通项裂成两项，再对这两项分别裂项求和计算得出. 【详解】因为 ， ， ， ， . 上述12个式子相加得： ， . 故答案为：. 14．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列满足，则 ．（表示不大于的最大整数） 【答案】3 【分析】的两边同时除以，可得到，然后累加即可得到答案. 【详解】当时，，易知当时． 当时，，两边同时除以， 可得到，即， 所以 ， 显然，故，， 所以. 故答案为：3. 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$