第21章 二次根式（复习讲义）数学华东师大版九年级上册

第21章 二次根式（复习讲义） 1.理解二次根式的定义：掌握形如（a≥0）的式子为二次根式，明确被开方数需满足非负性条件. 2.掌握二次根式的性质：理解并应用二次根式的非负性（≥0）及重要性质（如（）²=a（a≥0）、|a|）进行化简与计算. 3.熟练进行二次根式运算：掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能运用整式运算迁移解决二次根式混合运算，并将结果化为最简二次根式. 4.会解决实际问题：能运用二次根式表示实际问题中的数量关系，如几何图形边长、距离等计算场景. ●一、二次根式的概念 1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数. ①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数； ②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子. 【注意】 二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有. 2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0, 无意义， a＜0. ●二、二次根式的性质 1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． 2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． ●三、二次根式的乘除 1、二次根式的乘法法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根. 用字母表示为：•（a ≥0，b≥0）. （1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数. （2）二次根式的乘法法则推广： ①•（a ≥0，b ≥0，c≥0）. ②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）. 2、积的算术平方根性质：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积. 即：•（a≥0，b≥0） 【注意】 ①此公式成立的条件是a ≥0，b≥0实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可. ②在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外. 3、二次根式的除法法则：两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算数平方根. 用字母表示为：（a≥0，b＞0）． （1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件． （2）若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简． 4、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）. 即：（a≥0，b＞0） 【注意】 ①该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0. ②该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可. ●四、最简二次根式 1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. ●五、二次根式的加减 1、同类二次根式：同类经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被为同类二次根式. （1）同类二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式． （2）同类二次根式的合并的方法别：①化为最简二次根式；②系数相加减；③二次根式不变. 【注意】 （1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关. （2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为. 2、二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并. (1)二次根式的加减法的解题步骤: ①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式 ②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式 ③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项. (2)整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用. 【注意】 （1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并； （2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分. 3、二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算. （2）二次根式的混合运算顺序： 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （3）二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用. 题型一 二次根式的识别 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·天津·阶段练习）下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型二 二次根式的有意义的条件 【例2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）使二次根式有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·广西贵港·期末）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若在实数范围内有意义，则x满足的条件为 ． 题型三 求二次根式的值 【例3】（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式3-1】（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3-2】（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 题型四 利用二次根式的性质计算 【例4】（24-25八年级下·四川凉山·期末）化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型五 二次根式的非负性应用 【例5】（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知，则 ． 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知，求a、b、c的值． 【变式5-2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长、、满足，求的周长． 题型六 二次根式的乘法 【例6】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D．6 【变式6-1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列式子正确的是(    ) A． B． C． D． 题型七 二次根式的除法 【例7】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）计算：的结果为 ． 【变式7-1】（2024春•南开区期末）下列各式的计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级下·江西赣州·期中）计算： （1） ； （2） ； （3） ； 题型八 二次根式的乘除混合运算 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 题型九 最简二次根式的识别 【例9】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级下·四川广元·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列式子中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型十 化二次根式为最简二次根式 【例10】（24-25八年级下·重庆合川·期末）化简为最简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）化简的结果是 ，化简的结果是 ． 题型十一 同类二次根式的识别 【例11】（24-25八年级下·广西梧州·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列各根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式11-2】（24-25八年级下·山东济南·期末）已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 题型十二 二次根式的加减 【例12】（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）计算： ． 【变式12-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定：对于任意的正数，的“※”运算为，，计算的结果为 ． 【变式12-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型十三 二次根式的混合运算 【例13】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）估计的值应在（    ）之间． A．2到3 B．3到4 C．4到5 D．5到6 【变式13-1]（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（）计算：             （）计算： 【变式13-2】（24-25八年级下·山东滨州·期末）计算： (1)； (2)． 题型十四 二次根式的化简求值 【例14】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式14-1】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式14-2】（24-25八年级下·四川广元·期中）先化简，再求值：，其中满足． 题型十五 二次根式的实际应用 【例15】（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积为（   ） A．16 B． C． D．8 【变式15-1】（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)截去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积． 【变式15-2】（24-25八年级下·河北保定·期末）在白洋淀某景区，有一个用于表演的长方形舞台（阴影部分），其面积为80平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽； (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带，求舞台装饰后的总面积．（结果保留根号） 题型十六 复合二次根式的化简 【例16】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【变式16-1】（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【变式16-2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 题型十七 二次根式的规律探究题 【例17】（2024春•承德期末）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证． 【变式17-1】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．       是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． (1)推算出____________；___________（为正整数）． (2)求出的值． 【变式17-2】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ，，， ，． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： (1)______，______； (2)求的值； (3)若，求的值． 基础巩固通关测 1．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 3．（24-25八年级下·河南许昌·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25八年级下·江西赣州·期末）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B．3 C． D． 7．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 8．（24-25八年级下·福建福州·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 9．（2025·江苏南京·二模）计算的结果是 . 10．（24-25八年级下·广东广州·期末）若一个三角形的边长分别为和，则它的周长为 ． 11．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ． 能力提升进阶练 13．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 15．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中） 若x、y为实数， 且，求 的值． 16．（24-25八年级下·河南许昌·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 17．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 18．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是有理化因式，并说明理由； (2)请直接写出的有理化因式； (3)请比较与的大小． 19．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： _______，_______； (2)m是正整数，，且，求m． 20．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次根式（复习讲义） 1.理解二次根式的定义：掌握形如（a≥0）的式子为二次根式，明确被开方数需满足非负性条件. 2.掌握二次根式的性质：理解并应用二次根式的非负性（≥0）及重要性质（如（）²=a（a≥0）、|a|）进行化简与计算. 3.熟练进行二次根式运算：掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能运用整式运算迁移解决二次根式混合运算，并将结果化为最简二次根式. 4.会解决实际问题：能运用二次根式表示实际问题中的数量关系，如几何图形边长、距离等计算场景. ●一、二次根式的概念 1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数. ①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数； ②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子. 【注意】 二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有. 2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0, 无意义， a＜0. ●二、二次根式的性质 1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． 2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． ●三、二次根式的乘除 1、二次根式的乘法法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根. 用字母表示为：•（a ≥0，b≥0）. （1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数. （2）二次根式的乘法法则推广： ①•（a ≥0，b ≥0，c≥0）. ②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）. 2、积的算术平方根性质：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积. 即：•（a≥0，b≥0） 【注意】 ①此公式成立的条件是a ≥0，b≥0实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可. ②在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外. 3、二次根式的除法法则：两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算数平方根. 用字母表示为：（a≥0，b＞0）． （1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件． （2）若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简． 4、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）. 即：（a≥0，b＞0） 【注意】 ①该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0. ②该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可. ●四、最简二次根式 1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. ●五、二次根式的加减 1、同类二次根式：同类经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被为同类二次根式. （1）同类二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式． （2）同类二次根式的合并的方法别：①化为最简二次根式；②系数相加减；③二次根式不变. 【注意】 （1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关. （2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为. 2、二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并. (1)二次根式的加减法的解题步骤: ①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式 ②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式 ③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项. (2)整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用. 【注意】 （1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并； （2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分. 3、二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算. （2）二次根式的混合运算顺序： 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （3）二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用. 题型一 二次根式的识别 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·天津·阶段练习）下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、，故一定是二次根式，符合题意； 故选D． 【变式1-2】（24-25八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 题型二 二次根式的有意义的条件 【例2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）使二次根式有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解此不等式即可确定的取值范围. 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：B 【变式2-1】（24-25八年级下·广西贵港·期末）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式的被开方数非负，建立不等式求解． 【详解】函数中，被开方数必须满足非负条件，即 解得． 故选A． 【变式2-2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若在实数范围内有意义，则x满足的条件为 ． 【答案】且 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此解答即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：若在实数范围内有意义， 则， 解得且， 故答案为：且 题型三 求二次根式的值 【例3】（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 【变式3-1】（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 【变式3-2】（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 题型四 利用二次根式的性质计算 【例4】（24-25八年级下·四川凉山·期末）化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，化为最简二次根式，先判断，再化简即可． 【详解】解：由， ∴且， ∴； ∴ ； 故选：D． 【变式4-1】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质．先判断，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 故选A． 题型五 二次根式的非负性应用 【例5】（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值， 先根据二次根式有意义的条件可得，即可得出y，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 所以． 故答案为：8． 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知，求a、b、c的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式非负数的性质，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质． 根据，得出，即可得出，，，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， 解得：，，． 【变式5-2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式和非负数的性质得到，，，求出，，，进而求解即可． 【详解】解：， ∴ ∴， ，，， ，，， ． ∴的周长为14． 题型六 二次根式的乘法 【例6】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则，先将两个根号内的数相乘，再化简结果，并注意符号的处理． 【详解】解：， 故选：B． 【变式6-1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简变形，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【变式6-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列式子正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】A．原式，故本选项错误． B．原式=，故本选项错误． C．原式不能化简，故本选项错误． D．原式=，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．1．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，0；当a＜0时，二次根式无意义．2．性质：|a|． 题型七 二次根式的除法 【例7】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式7-1】（2024春•南开区期末）下列各式的计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D. 【分析】根据二次根式的乘除法法则将各项计算后进行判断即可． 【详解】解：A．， 则A不符合题意； B．， 则B不符合题意； C．， 则C不符合题意； D．， 则D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【变式7-2】（24-25八年级下·江西赣州·期中）计算： （1） ； （2） ； （3） ； 【答案】 2 【分析】本题考查二次根式的除法运算，化简二次根式： （1）（2）直接用除法法则计算； （3）先把带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化简； 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； 故答案为：（1）2（2）（3） 题型八 二次根式的乘除混合运算 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 【变式8-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式8-2】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，正确运用运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式除法法则进行计算即可； （3）原式先计算二次根式的乘法，再计算除法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型九 最简二次根式的识别 【例9】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数,对各选项逐一分析即可作答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D 【变式9-1】（24-25八年级下·四川广元·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方的因数且不含分母，逐一验证各选项即可． 【详解】选项A：，被开方数5是质数，无平方数因子，且不含分母，满足最简二次根式条件． 选项B：，16是4的平方，可化简为4，不是最简二次根式． 选项C：，1.3化为分数，分母10含非平方数因子2和5，且被开方数含分母，需有理化，不满足条件． 选项D：，分母4是平方数，可化简为，不满足条件． 综上，只有选项A是最简二次根式， 故选：A 【变式9-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列式子中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 题型十 化二次根式为最简二次根式 【例10】（24-25八年级下·重庆合川·期末）化简为最简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式化简，首先计算根号内的分数，然后化简二次根式为最简形式． 【详解】解：， 故选：C． 【变式10-1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②分母不含根号；③被开方数不含能开方的因数．需逐项验证化简过程是否符合要求．根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】选项A：原式化简应为，错误； 选项B：正确化简为，而选项B结果为，数值明显不符，错误； 选项C：分母含根号，未有理化，正确形式应为，错误； 选项D：将化为分数，再有理化分母：，符合最简二次根式要求，正确； 故选：D． 【变式10-2】（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）化简的结果是 ，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式化简的步骤． 利用二次根式化简的步骤进行化简即可． 【详解】解：； ； 故答案为：，． 题型十一 同类二次根式的识别 【例11】（24-25八年级下·广西梧州·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．同类二次根式需满足化简后被开方数相同．将各选项化简后，判断被开方数是否与相同即可． 【详解】解：选项A：，结果为整数，不是二次根式，排除； 选项B：，被开方数为5，与同类； 选项C：已是最简形式，被开方数为10，与5不同，排除； 选项D：已是最简形式，被开方数为15，与5不同，排除； 故选B． 【变式11-1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列各根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的概念，判断同类二次根式需化简为最简二次根式后比较被开方数，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、 已是最简，，所以A选项不是同类二次根式； B、 已是最简，，化简后被开方数均为2，所以B选项是同类二次根式； C、，，被开方数分别为和，所以C选项不是同类二次根式； D、 和 被开方数不同，所以D选项不是同类二次根式； 故选： B． 【变式11-2】（24-25八年级下·山东济南·期末）已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，然后由同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与是同类二次根式，符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 题型十二 二次根式的加减 【例12】（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算． 先去括号，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式12-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定：对于任意的正数，的“※”运算为，，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得，； 故答案为：． 【变式12-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十三 二次根式的混合运算 【例13】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）估计的值应在（    ）之间． A．2到3 B．3到4 C．4到5 D．5到6 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，无理数的估算，先根据二次根式的乘除混合计算法则求出，再利用无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值应在4到5之间， 故选：C． 【变式13-1]（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（）计算：             （）计算： 【答案】（）；（） 【分析】（）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可； 本题考查了二次根式的加减和混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 【变式13-2】（24-25八年级下·山东滨州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂、立方根等，熟练掌握运算法则并正确计算是解题的关键： （1）先计算零指数幂、立方根、乘方以及算术平方根，再进行加减运算即可； （2）先计算二次根式的除法以及运用平方差公式计算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十四 二次根式的化简求值 【例14】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查整式的混合运算，二次根式的运算，正确计算整式的运算是解题关键，先计算整式的混合运算，再代入后运用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式14-1】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先把括号内的分式通分，再进行计算，然后把除法化成乘法，再约分，最后把x，y代入化简后的式子进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分． 【详解】解： ， 当时， 原式 【变式14-2】（24-25八年级下·四川广元·期中）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】本题考查非负数的性质，分式的化简求值，二次根式的混合运算，先根据算术平方根、绝对值的非负性求出，再利用分式的性质化简，最后将代入求值即可． 【详解】解： ，，， ，， ． 原式． 当时， 原式． 题型十五 二次根式的实际应用 【例15】（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积为（   ） A．16 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法、直角三角形面积公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据直角三角形的面积公式，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为和， ∴这个直角三角形的面积为 ． 故选：B． 【变式15-1】（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)截去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积． 【答案】(1)3； (2)剩余木料为 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式即可求出两个小正方形的边长； （2）根据（1）所求求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵两个小正方形面积为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， 故答案为：3；； （2）解：由（1）知大正方形的边长； ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 答：剩余木料为． 【变式15-2】（24-25八年级下·河北保定·期末）在白洋淀某景区，有一个用于表演的长方形舞台（阴影部分），其面积为80平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽； (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带，求舞台装饰后的总面积．（结果保留根号） 【答案】(1)这个舞台的宽为米 (2)舞台装饰后的总面积为米 【分析】本题考查二次根式的实际应用，熟练掌握长方形的面积公式，二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）用面积除以长，求出宽即可； （2）求出长方形的长和宽，进行计算即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米）， 这个舞台的宽为米； （2）由题意，舞台装饰后的总面积为， 舞台装饰后的总面积为 题型十六 复合二次根式的化简 【例16】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式16-1】（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 【变式16-2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 题型十七 二次根式的规律探究题 【例17】（2024春•承德期末）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证． 【分析】（1）根据算术平方根的定义计算进行化简即可； （2）计算，再根据算术平方根的定义进行化简即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 验证：，正确． （2）， 验证：，正确． 【点睛】本题考查算术平方根以及数字的变化类，通过具体数值的计算，发现其规律是解决问题的关键． 【变式17-1】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．       是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． (1)推算出____________；___________（为正整数）． (2)求出的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，二次根式的除法运算，数字类规律探索，求一个数的算术平方根，实数的混合运算等知识点，发现并总结出其一般规律是解题的关键． （1）根据已知条件中和的值发现并总结出其变化规律，再总结出的规律求出答案即可； （2）根据（1）中发现并总结出的规律，求出，，，，，，，再代入所求代数式，然后利用分母有理化进行计算即可． 【详解】（1）解：，（是的面积）， ，（是的面积）， ，（是的面积）， ， ，（是的面积）， ，， ∴； （2）解： ． ． 【变式17-2】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ，，， ，． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： (1)______，______； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)44 (3)0 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键： （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子的每一项分母有理化，再计算加减法即可； （3）先求出a的值，进而求出的值，再把所求式子分解因式得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 基础巩固通关测 1．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 3．（24-25八年级下·河南许昌·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 4．（24-25八年级下·江西赣州·期末）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不等于0即可得出x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，正确掌握二次根式的意义和性质是解题的关键．根据二次根式的被开方数非负性，确定x的值，进而求出y的值，代入所求表达式即可求解． 【详解】解：由和的被开方数非负性，得， 解得：， 将代入原方程，得， ， 将和代入，得， 故选：B． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴判断式子正负，化简二次根式. 根据数轴求出的取值范围，进而得到，再化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：A． 7．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·福建福州·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二次根式的加减运算，先根据新定义列式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 9．（2025·江苏南京·二模）计算的结果是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键.直接化简二次根式进而约分求出答案. 【详解】解：， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广东广州·期末）若一个三角形的边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要能根据题意化简二次根式并进行计算是关键．依据题意，由三角形的边长分别为，和，则它的周长，进而得解． 【详解】解：由题意，三角形的边长分别为，和， 它的周长 ． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出题干所给的两个二次根式是同类二次根式是解题的关键； 根据题意可得与是同类二次根式，进而可得关于a的方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得； 故答案为：3. 12．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“整数”进行求解． 先将化简为10，可得n最小为3，即可求解． 【详解】解：∵10，且为整数， ∴n最小为3. 故答案为：3． 能力提升进阶练 13．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 14．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【答案】不正确；见解析 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，掌握其运算法则是关键，根据二次根式的除法运算法则，先算出括号里的式子，再算乘除，由此即可求解． 【详解】解：不正确，正确解答过程为： ． 15．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中） 若x、y为实数， 且，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求出，进而求出，再根据二次根式的乘法结合平方差公式计算即可． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∴， ． 16．（24-25八年级下·河南许昌·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）1；（3）． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及绝对值的化简，三角形的三边关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式． （1）根据二次根式被开方数非负的性质回答即可； （2）根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，根据二次根式的性质进行化简计算； （3）根据三角形三边关系确定和的正负性，再对二次根式进行化简计算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3），b，c为的三边长， ，， ，， ． 17．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 18．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是有理化因式，并说明理由； (2)请直接写出的有理化因式； (3)请比较与的大小． 【答案】(1)是有理化因式 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式比较大小，正确理解题意是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）可计算出，，据此可得答案； （3）可证明，由，可得． 【详解】（1）解：与是有理化因式，理由如下： ∵， ∴与是有理化因式； （2）解：∵， ∴的有理化因式为， ∵， ∴的有理化因式为； （3）解：， ， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： _______，_______； (2)m是正整数，，且，求m． 【答案】(1)；10 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算和整体思想，掌握二次根式的混合运算，特别是分母有理化的方法是解题的关键． （1）采用分母有理化，结合二次根式的混合运算的法则，计算即可； （2）先利用分母有理化，结合二次根式的混合运算化简a和b，再利用完全平方公式变形求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ； ， =10． 故答案为：；10； （2）， ， ， 即 ， 又m是正整数，， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)5 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）根据分母有理化、、、，然后再比较大小即可； （3）根据题干的方法可得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；． （2）解：， ， ， ； ， ， ， ，即． 故答案为：；． （3）解：， ， ，，即 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$