精品解析：山东省德州市陵城区2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题

2024-2025学年义务教育学业质量素养监测 七年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数：3．14，，，，，，其中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果点在第四象限，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 某校举办数学节活动，学生可通过参加数学趣味游戏获得积分（百分制），为了了解学生的积分情况，学生会干部在全校随机调查了若干名学生的积分并绘制成如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（ ） A. 得分在70~80分的人数最多 B. 调查总人数为40 C. 人数最少的分数段的频数为2 D. 得分及格（分）约有12人 8. 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺?设木头长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 10. 若实数使关于的不等式组恰有4个整数解，且使方程组有整数解，则符合条件的所有整数的值正确的是（ ） A. 10，11，12 B. 9，12 C. 6，9，12 D. 9，10，11，12 二、选择题（每小题4分，共20分） 11. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是____． 12. 已知（是整数），则的值是_____． 13. 如图是某小区业主关于垃圾分类知识的了解情况的扇形图，若一共调查了1800名居民，则“基本了解”比“不了解”的居民多______人． 14. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________． 15. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫作点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到点，若点的坐标为，则点的坐标是_____． 三、解答题（8小题，共90分） 16. 计算： （1）． （2） 17. 解下列不等式（组），并在数轴上表示它的解集； （1）解不等式； （2）解不等式组 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为，现将三角形平移，使得点变换为点，点，分别是点，的对应点． （1）请画出平移后的三角形； （2）点的坐标为_____，点的坐标为_____；若三角形内部有一点，其平移后的对应点为，则点的坐标为_____． （3）连接，，，求三角形的面积． 19. 如图，点A，B，C在同一直线上，已知平分，，，求证． 20. 某校开展课后延时服务，计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，由于师资等条件的限制，每人只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）； （2）m＝　 　，n＝　 　； （3）求扇形统计图中，“摄影”对应扇形圆心角的度数； （4）若该校共有1200名学生参加课后延时服务，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？ 21. 某校计划开展研学活动，通过调查得到以下信息． 信息1： 车型 座位数（人/辆） 租金（元/辆） 30座客车 30 300 45座客车 45 400 信息2：若每位老师带35名学生，则有20名学生无老师可带；若每位老师带46名学生，则余下一位老师无学生可带． 请根据以上信息，完成以下任务． 任务1：求出此次活动中老师与学生各有多少人． 任务2：研学活动需租用两种车型客车，每辆车上只有一名老师负责学生安全，每人都必须有座位且不超载．请设计最优租车方案． 22. 如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动 （1）求点的坐标． （2）当点移动4秒时，请求出点的坐标． （3）当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间． 23. 综合与实践 问题情境： 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动、如图1，已知，直角三角板中，，将其顶点A放在直线上，并使边于点D，与相交于点． （1）试判断边与直线的位置关系并说明理由； 操作探究： （2）如图2，将图1中三角板的直角顶点放在平行线之间，两直角边，分别与，相交于点E，F，得到和，试探究与的数量关系并说明理由； 深入探究： （3）受小明启发，同学们继续探究下列问题． 在图2中作线段和，使它们分别平分和的顶角，如图3，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年义务教育学业质量素养监测 七年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数：3．14，，，，，，其中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的判断，根据无理数的定义，逐一判断各数是否为无限不循环小数即可. 【详解】解：3.14，，，，，，中，无理数有，，，共3个； 故选C. 2. 如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短的应用，解题的关键是掌握垂线段最短的定理．根据题意，点到直线的所有连线中，垂线段最短． 【详解】解：根据题意，小河可以抽象为一条直线，点到直线的所有连线中，垂线段最短， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根和立方根； 逐一验证各选项的正确性，依据算术平方根和立方根的定义进行判断． 【详解】A． ，计算正确； B． ，原式错误； C． ，原式错误； D．，原式错误； 故选：A． 4. 如果点在第四象限，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限． 【详解】解：∵点P（m，1-2m）在第四象限， ∴m＞0，1-2m＜0， 解得：m＞， 故选：D． 【点睛】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求m的取值范围． 5. 已知方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合已知，建立关于的方程求解． 【详解】解： 得： 又 解得 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法及应用，熟练掌握通过方程相减构造出与已知条件相关的式子是解题的关键． 6. 已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，不等式的性质，根据数轴上点的位置，得到，再根据不等式的性质，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴；故选项A不成立； ；故选项B成立； ；故选项C不成立； ；故选项D不成立； 故选B． 7. 某校举办数学节活动，学生可通过参加数学趣味游戏获得积分（百分制），为了了解学生的积分情况，学生会干部在全校随机调查了若干名学生的积分并绘制成如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（ ） A. 得分在70~80分的人数最多 B. 调查总人数为40 C. 人数最少的分数段的频数为2 D. 得分及格（分）约有12人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 根据直方图提供的信息一一判断即可 【详解】解：A、得分在70～80分的人数最多，正确，本选项不符合题意． B、调查总人数为，正确，本选项不符合题意． C、人数最少的分数段的频数为2，正确，本选项不符合题意． D、得分及格（分）约有人，不是12人，故选项错误，符合题意． 故选D． 8. 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺?设木头长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组； 根据题意，绳子比木头长4.5尺，对折后绳子比木头短1尺，建立方程组即可． 【详解】解：设木头长尺，绳子长尺， 由题意得：， 故选：C． 9. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据勾股定理求出点到原点距离，再根据点在原点左侧，即可求解． 【详解】解：点到的距离， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故选：C ． 10. 若实数使关于的不等式组恰有4个整数解，且使方程组有整数解，则符合条件的所有整数的值正确的是（ ） A. 10，11，12 B. 9，12 C. 6，9，12 D. 9，10，11，12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和二元一次方程组； 首先解不等式组，确定m的范围，再解方程组，结合整数解条件筛选m的值． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 要求恰好有4个整数解，即整数解为，，，0， 故需满足， 解得， ∴整数m的可能值为9，10，11，12， 解方程组得：， 要求x和y均为整数，则m必须是3的倍数． ∴符合条件的m为9和12， 故选：B． 二、选择题（每小题4分，共20分） 11. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是____． 【答案】25°##25度 【解析】 【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， 三角形是等腰直角三角形， ， 故答案是：25°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12. 已知（是整数），则的值是_____． 【答案】或或或0或1或2或3 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，解不等式可得，再根据x是整数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x是整数， ∴x的值是或或或0或1或2或3， 故答案为：或或或0或1或2或3． 13. 如图是某小区业主关于垃圾分类知识的了解情况的扇形图，若一共调查了1800名居民，则“基本了解”比“不了解”的居民多______人． 【答案】675 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图的知识，根据图内信息得出“基本了解”居民占比为，“不了解”居民占比，总数1800名，分别求出“基本了解”和比“不了解”居民相减即可得解． 【详解】解：“基本了解”居民占比为，人数为人， “不了解”居民比为，人数为人， “基本了解”比“不了解”的居民多人， 故答案为：675． 14. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是矩形，长为6﹣2＝4（cm），宽为4﹣1＝3（cm）， ∴阴影部分的面积＝6×4×2﹣2×4×3＝24（cm2）， 故答案为：24． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫作点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到点，若点的坐标为，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，根据题意找出坐标的规律是解题关键．根据伴随点的定义，依次求出点点、、、、、的坐标，进而发现每4个点为一个循环周期，点的坐标依次为、、、，即可求解． 【详解】解：若点的坐标为， 则点的伴随点的坐标为，即， 点A2的伴随点的坐标为，即， 点的伴随点的坐标为，即， 点的伴随点的坐标为，即， 点的伴随点的坐标为，即， …… 观察发现，每4个点为一个循环周期，点的坐标依次为、、、， ， 点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共90分） 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是掌握实数混合运算的混合运算顺序和运算法则以及加减消元法解二元一次方程组． （1）先计算开方，乘法，并求绝对值，再计算加减即可； （2）先化简，再利用加减消元法求解可得． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：化简，得， ，得， 解得：， 把代入②，得， ∴． 17. 解下列不等式（组），并在数轴上表示它的解集； （1）解不等式； （2）解不等式组 【答案】（1）；数轴见解析 （2）；数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式或不等式组，熟练掌握解不等式或不等式组的方法，是解题的关键． （1）先去分母，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，将解集表示在数轴上即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为，现将三角形平移，使得点变换为点，点，分别是点，的对应点． （1）请画出平移后的三角形； （2）点的坐标为_____，点的坐标为_____；若三角形内部有一点，其平移后的对应点为，则点的坐标为_____． （3）连接，，，求三角形的面积． 【答案】（1）见解析； （2），，； （3）. 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与平移，坐标与图形．熟练掌握平移的性质，利用数形结合的思想求解，是解题的关键． 根据点和点的坐标可以得到向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，根据平移的方向和距离画出点和点，连接点、、，得到； 根据平移的方向和距离可得：点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为，根据点的坐标为，可得：，解方程组可得点的坐标； 作过点、、作矩形，则在长为，宽为的矩形中，利用矩形的面积减去个小三角形的面积即可求出的面积． 【小问1详解】 解：如下图所示， 由图可知点的坐标是，点的坐标是， 点向右平移了个单位长度，向下平移了个单位长度， 向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 把点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到点， 把点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到点， 连接点、、，得到即为所求； 【小问2详解】 由可知点的坐标为，点的坐标为， 由可知向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：如下图所示， 在长为，宽为的矩形中， 的面积为． 19. 如图，点A，B，C在同一直线上，已知平分，，，求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点．由垂直得到，由角平分线得到，等量代换得到，即可得到． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 某校开展课后延时服务，计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，由于师资等条件的限制，每人只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）； （2）m＝　 　，n＝　 　； （3）求扇形统计图中，“摄影”对应扇形圆心角的度数； （4）若该校共有1200名学生参加课后延时服务，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？ 【答案】（1）150， 补全图形如下： （2）36、16 （3）129.6° （4）192人 【解析】 【分析】（1）根据参加书法的人数和所占百分比即可求得参加此次问卷调查的总人数，然后根据条形统计图中的数据即可求出参加航模兴趣小组的人数，问题得解； （2）在（1）中已经求得参加问卷调查的总人数，再根据条形统计图中给出的参加摄影和围棋的学生人数，即可求出m、n； （3）“摄影”对应扇形圆心角的度数是：摄影人数所占比例乘以360°，据此可得解； （4）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数． 【小问1详解】 参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150（人）， 航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人）， 【小问2详解】 根据题条件有： ，， 即m＝36、n＝16， 故答案为：36、16； 【小问3详解】 根据扇形统计图的知识可知， “摄影”对应扇形圆心角的度数是：摄影人数所占比例乘以360°， 即：； 【小问4详解】 ∵在抽样中，围棋人数占比为16%， ∴估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生为：1200×16%＝192（人）， 即估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数为192人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估算总体等知识，明确题意，数形结合是解答本题的关键． 21. 某校计划开展研学活动，通过调查得到以下信息． 信息1： 车型 座位数（人/辆） 租金（元/辆） 30座客车 30 300 45座客车 45 400 信息2：若每位老师带35名学生，则有20名学生无老师可带；若每位老师带46名学生，则余下一位老师无学生可带． 请根据以上信息，完成以下任务． 任务1：求出此次活动中老师与学生各有多少人． 任务2：研学活动需租用两种车型客车，每辆车上只有一名老师负责学生安全，每人都必须有座位且不超载．请设计最优租车方案． 【答案】任务1：此次活动中老师有6人，学生有230人；任务2：租用2辆30座客车，租用4辆45座客车的租金最少 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式以及一次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键； 任务1：设此次活动中老师有人，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； 任务2：设租用辆30座客车，则租用辆45座客车，租金为元，先求得，进而根据一次函数的性质，求得的最小值，即可求解． 【详解】解：任务1：设此次活动中老师有人， 由题意，得， 解得． 学生人数为：（人） 答：此次活动中老师有6人，学生有230人． 任务2：设租用辆30座客车，则租用辆45座客车，租金为元． 根据题意，得，解得：， 随的增大而减小 当，时，有最小值． 答：租用2辆30座客车，租用4辆45座客车的租金最少． 22. 如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动 （1）求点的坐标． （2）当点移动4秒时，请求出点的坐标． （3）当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间． 【答案】（1） （2） （3）秒或秒 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【小问1详解】 解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点B的坐标是； 【小问2详解】 解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴点移动4秒时，点P的路程：， ∵ ∴当点P移动4秒时，在线段上， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是； 【小问3详解】 解：由题意可得，在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，存在两种情况： 第一种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：（秒）， 综上分析可知：在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 23. 综合与实践 问题情境： 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动、如图1，已知，直角三角板中，，将其顶点A放在直线上，并使边于点D，与相交于点． （1）试判断边与直线的位置关系并说明理由； 操作探究： （2）如图2，将图1中三角板的直角顶点放在平行线之间，两直角边，分别与，相交于点E，F，得到和，试探究与的数量关系并说明理由； 深入探究： （3）受小明启发，同学们继续探究下列问题． 在图2中作线段和，使它们分别平分和的顶角，如图3，请求出的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）证明即可由平行线的判定定理得出结论； （2）过点作直线，则，由平行线的性质可得出，，再根据，即可得出结论； （3）过点作，则则，先证明，结合角平分线的定义可证，进而可求出； 【详解】解：（1），理由如下： ∵ ∴， ∵， ， ． （2），理由如下： 过点作直线，如图2， ∵， ， ， ， ∴， ， ； （3），理由如下： 如图3，过点作， 则， ，， ，， 由（2）知：， ， 和分别平分 和， ，， ， ，即； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $