精品解析：山东省青岛市崂山区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题.第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共16小题，93分. 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 2025年中国航天取得诸多成果，天问二号任务在小行星探测中，其搭载的高分辨率相机能清晰拍摄到小行星表面细节．经测算，该相机可分辨出小行星表面上最小宽度仅为0.000012米的纹理．将0.000012用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在以下四个图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 在一个装有白球和红球的袋子里摸出红球 B. 抛掷一枚硬币，正面朝上 C. 明天会下雨 D. 用长度分别为、、的三根小木棒首尾相接摆成一个三角形 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，她先设计了一个正方形的班徽图形，修改时将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，修改后的图形面积与原来的面积相比（ ） A. 不变 B. 减少了 C. 增加了 D. 增加了 6. 五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（ ） A. 自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B. 摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C. 摩天轮转一周需要9分钟 D. 当时，小明处于上升状态 7. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是角平分线，，垂足为点E，的面积为30，，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 7 D. 9. 如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，为折痕，若，则边长为（ ） A. B. C. 10 D. 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 10. 如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是______． 11. 若是完全平方式，则m的值为_________． 12. 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过30立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过30立方米时，其中30立方米仍按2元/立方米计费，超过部分按2.5元/立方米计费，设每户家庭月用水量为x立方米时，应缴水费y元请写出时，y与x的关系式是__________． 13. 某班体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下： 距离 频数 2 5 15 12 6 若立定跳远距离以上为优秀，则该班女生成绩是优秀的频率为__________． 14. 如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点F作，则的度数是__________°． 15. “数字黑洞”指的是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何，最终都会得到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样．某同学对各数位上数字不同的两位数进行了如下操作：将其两个数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数（若结果为一位数则补零，如9补为09），然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”．将数字42按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是__________． 16. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有______．（只填序号） 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：在中，，点D在边上．求作：边上的一点E，连接．使得． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 数学小组想测量湖心岛上鸟类栖息点P和它正对的湖边观测点A之间的距离，但无法直接到达点P，同学们在湖边观察后想到了一个方案，请你帮忙画出几何图形并进行证明． 方案设计：从点A向正东方向出发，沿湖边走到点O处、插一根旗杆，接着再按相同的方向继续走相同的距离到点B处，作好标记．然后向正南方向直行到点C，当点C，O，P在一条直线上时停下来，那么BC之间的距离就是鸟类栖息点P和观测点A之间的距离． 请你完成几何图形（非尺规作图），并说明方案可行的理由． 20. 2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2：魔童闹海》的电影票，小颖和小华都想获得，小明为她们出了一个主意：从印有数字1，2，2，3，3，4，5，6，7的9个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小颖得到电影票；否则，小华得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对小颖、小华公平吗？请说明理由． 21. 如图，下列三个条件：①；②；③．从中任选两个作为条件，剩下的一个作为结论，并写出证明过程． 条件： ，结论： ．（填序号） 证明： 22. 某市数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． （1）在小球的滑行过程中，自变量是 ，因变量是 ； （2）某小组成员记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度v（） 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为 s； ②点M表示的实际意义是 ； （3）若木板斜面长为．请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 23. 如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）当 时，？请说明理由． 24. 在长方形中，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．设运动时间为，解答下列问题： （1）点C在垂直平分线上时，求t的值； （2）当与全等时，求t的值； （3）当时，求t的值． 25. 【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题.第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共16小题，93分. 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 2025年中国航天取得诸多成果，天问二号任务在小行星探测中，其搭载的高分辨率相机能清晰拍摄到小行星表面细节．经测算，该相机可分辨出小行星表面上最小宽度仅为0.000012米的纹理．将0.000012用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：A． 2. 在以下四个图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，都不符合题意； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：B． 3. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 在一个装有白球和红球的袋子里摸出红球 B. 抛掷一枚硬币，正面朝上 C. 明天会下雨 D. 用长度分别为、、的三根小木棒首尾相接摆成一个三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、在一个装有白球和红球的袋子里摸出红球是随机事件，故此选项不符合题意； B、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故此选项不符合题意； C、明天会下雨是随机事件，故此选项不符合题意； D、∵，∴用长度分别为、、的三根小木棒首尾相接摆成一个三角形是不可能事件，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算．根据单项式乘以多项式法则、积的乘方、单项式除以单项式法则进行运算即可判断． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，她先设计了一个正方形的班徽图形，修改时将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，修改后的图形面积与原来的面积相比（ ） A. 不变 B. 减少了 C. 增加了 D. 增加了 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式和整式加减的应用，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式分别表示改造前后图形的面积，再列式求前后的面积差即可． 【详解】解：设原正方形边长为， ∵原面积， 修改后，一组对边各增加，另一组对边各减少， ∴修改后图形为矩形，长和宽分别为和， 修改后面积， ∴， 故修改后的面积减少了， 故选：B． 6. 五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（ ） A. 自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B. 摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C. 摩天轮转一周需要9分钟 D. 当时，小明处于上升状态 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确认识图象，理解自变量和应变量是解题的关键． 根据函数图象，结合题意，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解： A．根据图形，可得到自变量为小明坐上摩天轮后的旋转时间，因变量是小明离地面的高度，故原说法错误，此选项不符合题意； B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米，故原说法错误，此选项不符合题意； C．摩天轮转一周需要6分钟，故原说法错误，此选项不符合题意； D．当时，小明离地面的高度越来越大，所以处于上升状态，故说法正确，此选项符合题意； 故选：D． 7. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，． 由平行线的性质推出，，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ． 故选：D． 8. 如图，在中，是角平分线，，垂足为点E，的面积为30，，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点作于点，先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算出，接着计算出，然后根据三角形面积公式计算出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 是角平分线，，， ， ， ， ， ． 故选：C． 9. 如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，为折痕，若，则边长为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠的性质得到是解题的关键． 由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 10. 如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【详解】解：， 由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短． 故答案为：垂线段最短． 11. 若是完全平方式，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个分别是和．根据完全平方式得出，即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：25． 12. 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过30立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过30立方米时，其中30立方米仍按2元/立方米计费，超过部分按2.5元/立方米计费，设每户家庭月用水量为x立方米时，应缴水费y元请写出时，y与x的关系式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，根据月用水量超过30立方米时，其中30立方米仍按2元/立方米计费，超过部分按2.5元/立方米计费列出关系式即可． 【详解】解：当时， ， 整理得：， 故答案为： 13. 某班体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下： 距离 频数 2 5 15 12 6 若立定跳远距离以上为优秀，则该班女生成绩是优秀的频率为__________． 【答案】0.45 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，由优秀率的定义计算即可，掌握优秀率的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该班女生成绩是优秀的频率为， 故答案为：． 14. 如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点F作，则的度数是__________°． 【答案】75 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，三角板中的角度计算问题，由三角板中的角度可知，由平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理得出，最后再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：75． 15. “数字黑洞”指的是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何，最终都会得到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样．某同学对各数位上数字不同的两位数进行了如下操作：将其两个数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数（若结果为一位数则补零，如9补为09），然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”．将数字42按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的减法，根据题意列式计算得出规律从第二次开始，每五次一循环，由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：第一次操作： 第二次操作：， 第三次操作：， 第四次操作：， 第五次操作：， 第六次操作：即， 第七次操作：， …， 从第二次开始，每五次一循环， ∵， ∴将数字42按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是， 故答案为：． 16. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有______．（只填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断①． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故②正确，符合题意； ，， ∴ ， 故③正确，符合题意； 过点F作于点P， ∵，是角平分线， ∴， 在中，， ∴， 故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④ 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：在中，，点D在边上．求作：边上的一点E，连接．使得． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，在的上方作，交于点，结合题意可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，在的上方作，交于点， ， ∵， ∴， ∴，即点即为所作． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）7 （4） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算． （1）将原式化为，根据平方差公式计算即可； （2）先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，在计算加减即可； （3）先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可； （4）先计算多项式除以单项式，平方差公式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 19. 数学小组想测量湖心岛上鸟类栖息点P和它正对的湖边观测点A之间的距离，但无法直接到达点P，同学们在湖边观察后想到了一个方案，请你帮忙画出几何图形并进行证明． 方案设计：从点A向正东方向出发，沿湖边走到点O处、插一根旗杆，接着再按相同的方向继续走相同的距离到点B处，作好标记．然后向正南方向直行到点C，当点C，O，P在一条直线上时停下来，那么BC之间的距离就是鸟类栖息点P和观测点A之间的距离． 请你完成几何图形（非尺规作图），并说明方案可行的理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形判定的实际应用，理解题意，先画出图形，找到等量元素，证明全等，即可解决问题． 【详解】图形如下： 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20. 2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2：魔童闹海》的电影票，小颖和小华都想获得，小明为她们出了一个主意：从印有数字1，2，2，3，3，4，5，6，7的9个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小颖得到电影票；否则，小华得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对小颖、小华公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，见解析 【解析】 【分析】本题考查了公平性问题． 比较两人得票概率即可． 【详解】解：任意摸出一球，共有9种等可能的结果，其中摸到一个球的球面数字为奇数的结果有5种，摸到偶数的结果有4种． ∴（小颖得到电影票），（小华得到电影票）， ∵， ∴这种方式不公平． 21. 如图，下列三个条件：①；②；③．从中任选两个作为条件，剩下的一个作为结论，并写出证明过程． 条件： ，结论： ．（填序号） 证明： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法解题的关键． 根据题意，选择两个作为条件，一个作为结论即可；根据题意证明所写出的结论即可． 【详解】答案不唯一 （一）条件：①② 结论：③ 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （二）条件：①③结论：② 证明：∵ ∴ ∵ ∴ （三）条件：②③结论：① 证明：∵， ∴ ∴． 22. 某市数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． （1）在小球的滑行过程中，自变量是 ，因变量是 ； （2）某小组成员记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度v（） 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为 s； ②点M表示的实际意义是 ； （3）若木板斜面长为．请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 【答案】（1）小球滑行的时间；小球滑行的速度 （2）①4；②当小球滑行到时，速度为 （3）达不到斜板顶端，见解析 【解析】 【分析】本题为运动型综合题，考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点代表的实际 意义，理解动点的完整运动过程． （1）熟悉函数的概念，小球滑行速度随着时间的变化而变化，得出自变量和因变量． （2）①由图象及表格可知小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为，即可求解；②由可知，，用时，所以点M表示的实际意义是当小球滑行时，速度为； （3）当小球上坡至速度为0时，求出平均速度，进而求出路程与16比较即可． 【小问1详解】 解：∵在小球的滑行过程中，滑行的速度随滑行的时间的变化而变化． ∴自变量是小球滑行的时间，因变量是小球滑行的速度． 故答案为：小球滑行的时间 ，小球滑行的速度． 【小问2详解】 解：①由图象及表格可知，小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为， 小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为； ②， ，则用时， 点M表示的实际意义是当小球滑行到时，速度为； 【小问3详解】 解：由图象知，当小球到达点C时速度为，速度为0时的，运动了， 故段的． 第一次在段运动时的路程． ， 达不到斜板顶端． 23. 如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）当 时，？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）90，见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）根据已知条件可依据“”判定和全等； （2）由得，根据可得． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴（）； 【小问2详解】 解：当时，，理由如下： 当时，， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90． 24. 在长方形中，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．设运动时间为，解答下列问题： （1）点C在垂直平分线上时，求t的值； （2）当与全等时，求t的值； （3）当时，求t的值． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用． （1）分C在垂直平分线上和P在线段延长线上两种情况求解即可； （2）分和两种情况求解即可； （3）分C在垂直平分线上和P在线段延长线上两种情况求解即可． 【小问1详解】 C在垂直平分线上，则 P在线段BC上： 即 P在线段延长线上： 即 【小问2详解】 ①，即 ∴，但是此时： ②，即， ∴ 【小问3详解】 ∵ ∴ P在线段上： ∴ P在线段延长线上： ∴ 25. 【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $