精品解析：四川省广元市旺苍县2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

旺苍县2025年春季学期学业水平质量监测七年级 数学 说明： 1．全卷满分150分， 考试时间120分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷 （选择题）和第Ⅱ卷 （非选择题）两部分，共三个大题26个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、单选题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键．无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】A．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．中，非完全平方数的平方根，属于无理数．负数不改变其性质，故为无理数，故本选项符合题意； C．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、，，故该不等式不成立，不符合题意； B、，，故该不等式不成立，不符合题意； C、，，故该不等式不成立，不符合题意； D、，，故该不等式成立，符合题意； 故选：D． 3. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 同角的余角互补 B. 相等的角是对顶角 C. 两点之间线段最短 D. 同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．逐一分析各选项是否符合几何基本概念和定理． 【详解】A、同角的余角均为，它们的和为，仅当时成立，错误，为假命题，不符合题意； B、对顶角必相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线中的同位角），错误，为假命题，不符合题意； C、两点之间线段最短，此为公理，正确，为真命题，符合题意； D、同位角相等，需两直线平行作为前提，否则不一定成立，错误，为假命题，不符合题意； 故选：C． 4. 若a为任意实数，在平面直角坐标系中，点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考直角坐标系中点的特征，熟练掌握直角坐标系中点的特征是解题的关键，由于a为任意实数，故将a分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得的取值范围，再将根据直角坐标系中点的特征判断即可得到答案． 【详解】解：∵为平面直角坐标系中的点， ∴当时，故，则点在第一象限， 当时，，，则点在第二象限， 当时，，，则点在第三象限， ∴点不可能在第四象限， 故选：D． 5. 如图，将三角板与直尺叠在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上， 其中， ，若， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，求出，然后根据直角三角形两锐角互余，即可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 6. 年5月，全国发布项粮食储备科技成果保安全，某省为保障粮食安全，对4万家企业开展粮食质量检查，相关部门抽样检测了家企业粮食质量指标．在这个问题中，说法正确的是（ ） A. 4万家企业是总体 B. 每家企业粮食质量指标是个体 C. 家企业是总体的一个样本 D. 家是样本容量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计学中的基本概念，明确总体、个体、样本及样本容量的定义是解决此题的关键。根据统计学中的定义解答判断即可． 【详解】A、总体：研究对象全体．本题研究的是“粮食质量指标”，因此总体是4万家企业的粮食质量指标，而非企业本身，故选项A错误； B、个体：总体中的每一个研究对象．每家企业对应的粮食质量指标即为个体，选项B正确； C、样本：从总体中抽取的部分个体．样本应为2000家企业的粮食质量指标，而非企业本身，故选项C错误； D、样本容量：样本中包含的个体数量，不带单位．2000家企业的样本容量是2000，而非“2000家”，故选项D错误． 故选：B． 7. 已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解．已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数a的值，再将解代入各选项验证是否成立． 【详解】解：将解，代入第一个方程， 得： 解得， 因此方程组的解为，． 将解代入各选项验证： ．，，不成立，故该选项不符合题意； ．，，成立．故该选项符合题意； ．，，不成立．故该选项不符合题意； ．，，不成立．故该选项不符合题意； 故选：B． 8. 若关于x的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题考查了一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键． 先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可解决问题． 【详解】解：， 解不等式得，； 解不等式得，； ∵不等式组的整数解有个， ∴， 故选：． 9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺， 根据题意得，， 故选：． 10. 如图所示， 与交于点E， 点F在直线上，， ，，下列四个结论： ； ； ； ． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，掌握角度的相关计算是解题的关键． 由已知条件可得出判断，过点D作，由平行线的性质可得出②，设，，则，，可判断③④． 【详解】， ， ①正确； 过点D作， ， ， ，， ， 即， ∵，， ∴， ②正确． 设，，则，， 由②知， 作， ，， ， ，无法判断是否为， ③错误； ， ④正确． 综上所述，正确答案为①②④共3个． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题 （共120分） 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分） 11. 在实数，0，，中，最小的实数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解∶∵， ∴在实数，0，，中，最小的实数是， 故答案为∶． 12. 若a，b为实数，且，则 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查偶次方，绝对值的非负性，根据非负性得出，，求出，，代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点B，C在直线l上，且，的面积．若P是直线l上任意一点，连接，则线段的最小长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短知∶当时，的长度最小，从而由三角形的面积公式可求出，即三角形的高； 【详解】解：根据垂线段最短知，当时，的长度最小， 此时△ABC的面积为， 即，可得， 解得：， 即的最小值为 故答案为：． 14. 如果不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由一元一次不等式组解集求参数，由不等式组解集求法“同小取小”得到，解不等式即可得到答案．熟记一元一次不等式（组）的解法是解决问题的关键． 【详解】解：不等式组的解集是， ， 解得， 故答案为：． 15. 如图，将直角三角形沿方向平移3个单位长度得到三角形，，，则图中阴影部分面积为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质,求阴影部分的面积时，若阴影部分不是规则的几何图形，可以通过面积的和差关系，将阴影部分的面积转化为几个规则的几何图形面积的和或差．根据平移的性质得到，，，再根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】解∶由平移的性质，得，，， ∴，， ∴， 故答案为∶12． 16. 如图， 在四边形中， ，连接，过点A作 ， 连接，，其中平分，且，若，则的值为__________度． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是关键．设，，由角平分线的定义得到，由平行线性质得到，可得，再根据平行线性质和垂直的定义得到，即得． 【详解】解：设，， 由条件可知， ∵， ∴，， 由条件可知， ∴， 即； 由条件可知， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即． 故答案为：28． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算去绝对值、，再去括号，最后合并同类二次根式及有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及去绝对值、、去括号、二次根式加法运算、有理数加减运算等知识，熟记相关运算法则求解是解决问题的关键． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】​本题考查了二元一次方程组的解法——代入消元法和加减消元法。解题关键是调整​系数，使同一未知数的系数互为相反数，两式相加/减直接消去一个变量，化为一元一次方程进行求解．将方程，使 y 的系数与方程②中 y 的系数互为相反数，将调整后的方程与方程②相加，消去 y，将 x 代入原方程①，解出 y． 【详解】解： 方程，得， ， 解得：， ​将代入方程①：， 解得，， ​原方程组的解为． 19. 解下列不等式（组），并在数轴上表示解集： （1）； （2）． 【答案】（1），画数轴见解析 （2），画数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组）、由数轴表示不等式组解集等知识，熟记一元一次不等式（组）的解法步骤是解决问题的关键． （1）由一元一次不等式的解法步骤：去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1求出表达式解集，再由数轴上表示不等式解集的方法求解即可得到答案； （2）先解出不等式组中的每一个不等式，再由“同大取大、同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求不等式组的解集，再由数轴上表示不等式解集的方法求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 在数轴上表示解集为： ； 【小问2详解】 解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为， 在数轴上表示解集为： 20. 如图，在四边形中．点E为延长线上一点，点F为延长线上一点，连接， 交于点 G， 交于点H， 若， ． 求证：． 请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 证明： ∵（已知） ，（ ） ∴ （ ） ∴（ ） ∴ （ ） ∴（已知）； ∴（等量代换）； ∴ （ ）； ∴（两直线平行，内错角相等） 【答案】对顶角相等； ；等量代换；同位角相等，两直线平行；A； 两直线平行，同旁内角互补； ；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质， 对顶角性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 根据平行线的判定与性质证明即可． 【详解】证明： ∵（已知） ，（对顶角相等） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（已知）； ∴（等量代换）； ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∴（两直线平行，内错角相等）． 21. 学校食堂某区域布局如图所示（每个方格边长为），已知餐桌A的坐标为，取餐窗口B位于坐标原点的西北方向． （1）在图中建立平面直角坐标系，并写出回收车 C的坐标； （2）用方向和距离描述洗手池D 相对于回收车 C的位置； （3）因卫生检查，需将A、B、C三点构成的三角形区域，先向左平移1格，再向下平移2格，画出平移后的三角形，并计算该三角形区域的占地面积． 【答案】（1）建立平面直角坐标系见解析，点C坐标为 （2）洗手池D 在回收车 C正东边处 （3）画图见见解析，该三角形区域的占地面积 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）根据点A的坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系，即可得出答案； （2）根据C、D的位置即可解答； （3）根据平移的性质描出A、B、C的对应点，然后顺次连接得出，然后根据割补法求的面积即可． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系如图所示， 由图可得，点C坐标为； 【小问2详解】 解：取餐窗口B位于坐标原点的西北方向．则由图可得，洗手池D 在回收车 C正东边处； 【小问3详解】 解：如图， ， 即该三角形区域的占地面积． 22. 在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和，解出b才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125的立方根a组成．进入密室后，需解出关于x的方程，才能兑换奖励． （1）求a， b， x的值； （2）将奖励存入边长为的正方体盒子，若盒子体积比大k，求的算术平方根． 【答案】（1），， （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根的应用等知识，解题的关键是： （1）根据平方根的定义求出b，根据立方根的定义求出a，然后把a代入方程，最后解方程求出x即可； （2）先求出k的值，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵a是125的立方根， ∴， ∴方程变形为， 解得； 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∴的算术平方根为． 23. 2025年天文科普兴起，白昼时长变化成热门话题．科研发现日长非固定24小时，存在细微波动以及8.6年周期变化．某校5月开展“白昼时长探索”综合实践活动，鼓励学生通过查资料、观测日出日落等方法探究规律．学校抽样调查了学生在一周内参与次数，整理出不完整统计图表． 学生参与活动次数统计表 参与活动次数（次） 0 1 2 3 4次及以上 人数（人） 7 13 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）该调查统计数据的样本容量是 ， ， ； （2）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校共有1000名学生，根据调查结果，估算该校学生在一周内参与活动“4次及以上”的人数． 【答案】（1），， （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）由扇形统计图及统计表的信息关联求解即可得到答案； （2）由3次人数占比为，列式计算即可得到答案； （3）由样本情况估计总体情况即可得到答案． 【小问1详解】 解：由扇形统计图及统计表可知，参加活动1次的人数为13人、占比为，则该调查统计数据的样本容量是； 4次及以上的人数是； 3次人数占比为，即； 故答案：，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，3次人数占比为， 形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：估算该校学生在一周内参与活动“4次及以上”的人数为人． 【点睛】本题考查统计综合，涉及统计图表信息关联、求样本容量、求统计表中数据、扇形统计图数据、求扇形统计图某项的圆心角、由样本估计总体等知识，熟记相关统计量的意义及求法是解决问题的关键． 24. 已知关于x、y的方程满足方程组 （1）若， 求m的值； （2）若x、y均为非负数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，某工厂要制作一批零件，每个零件制作过程中产生的废料成本为，求废料成本S的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）S的最大值是6，最小值是4 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用整体的思想可得：，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得：，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得：，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， 得：， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 解得， ∵x、y均为非负数，即， ∴， 解得：， 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴S的最大值是6，最小值是4． 25. 旺苍县不仅是川陕革命老区，而且茶史悠远，始于商周，兴于汉唐．“红色旺苍，中国茶乡”已成为其鲜明的城市名片．某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶，其中甲种茶叶进价为每件300元，乙种茶叶进价为每件200元．已知2件甲种茶叶和3件乙种茶叶的售价共1800元，4件甲种茶叶和1件乙种茶叶的售价共2200元． （1）求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ （2）该经销商计划购进甲、乙两种茶叶共70件，总费用不超过19000元，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的2倍，则共有多少种进货方案？请说明理由． 【答案】（1）甲、乙两种茶叶每件售价分别是元 （2）共有4种方案，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，找准等量关系及不等关系列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设甲、乙两种茶叶每件的售价分别是元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设甲种茶叶购买件，则乙种茶叶购买件，由题意，列不等式组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种茶叶每件的售价分别是元， 则由题意可得， 解得， 答：甲、乙两种茶叶每件的售价分别是元； 【小问2详解】 解：共有4种方案， 理由如下： 设甲种茶叶购买件，则乙种茶叶购买件， 则由题意可得， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为， 为正整数， 可取47、48、49、50， 则进货方案为： ①甲种茶叶购买47件，乙种茶叶购买23件； ②甲种茶叶购买48件，乙种茶叶购买22件； ③甲种茶叶购买49件，乙种茶叶购买21件； ④甲种茶叶购买50件，乙种茶叶购买20件． 26. 亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，． （1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在上，与相交于点G，求的度数； （2）如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，则与有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 【答案】（1） （2），见解析 （3）或或或或 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）过点作，则，进而得，，由此可得的度数； （2）过点作，则，进而得，，再根据可得出答案； （3）依题意由以下5种情况：①当时，则，再根据可得出答案；②当时，则，再根据可得出答案；③当时，则；④当时，则，再根据可得出答案；⑤当时，设于交于点，则，进而得，然后根据可得出答案，综上所述即可得出角度所有可能的值． 【小问1详解】 解：过点作，如图2所示 依题意得：，，，， ， ， 又， ，， ， 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ， ， ，， ，且， ； 【小问3详解】 解：角度所有可能的值是或或或或，理由如下： 依题意由以下5种情况： ①当时，如图4①所示： 则， ； ②当时，如图4②所示： 则， ； ③当时，如图4③所示： 则； ④当时，如图4④所示： 则， ∴， ； ⑤当时，设于交于点，如图4⑤所示： 则， ， ． 综上所述：角度所有可能的值是或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 旺苍县2025年春季学期学业水平质量监测七年级 数学 说明： 1．全卷满分150分， 考试时间120分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷 （选择题）和第Ⅱ卷 （非选择题）两部分，共三个大题26个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、单选题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 同角的余角互补 B. 相等的角是对顶角 C. 两点之间线段最短 D. 同位角相等 4. 若a为任意实数，在平面直角坐标系中，点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，将三角板与直尺叠在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上， 其中， ，若， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 年5月，全国发布项粮食储备科技成果保安全，某省为保障粮食安全，对4万家企业开展粮食质量检查，相关部门抽样检测了家企业粮食质量指标．在这个问题中，说法正确的是（ ） A. 4万家企业是总体 B. 每家企业粮食质量指标是个体 C. 家企业是总体的一个样本 D. 家是样本容量 7. 已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示， 与交于点E， 点F在直线上，， ，，下列四个结论： ； ； ； ． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题 （共120分） 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分） 11. 在实数，0，，中，最小的实数是___________． 12. 若a，b为实数，且，则 ____________． 13. 如图，点B，C在直线l上，且，面积．若P是直线l上任意一点，连接，则线段的最小长度为___________． 14. 如果不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 15. 如图，将直角三角形沿方向平移3个单位长度得到三角形，，，则图中阴影部分的面积为___________． 16. 如图， 在四边形中， ，连接，过点A作 ， 连接，，其中平分，且，若，则的值为__________度． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分） 17. 计算：． 18. 解方程组 19. 解下列不等式（组），并在数轴上表示解集： （1）； （2）． 20. 如图，在四边形中．点E为延长线上一点，点F为延长线上一点，连接， 交于点 G， 交于点H， 若， ． 求证：． 请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 证明： ∵（已知） ，（ ） ∴ （ ） ∴（ ） ∴ （ ） ∴（已知）； ∴（等量代换）； ∴ （ ）； ∴（两直线平行，内错角相等） 21. 学校食堂某区域布局如图所示（每个方格边长为），已知餐桌A坐标为，取餐窗口B位于坐标原点的西北方向． （1）在图中建立平面直角坐标系，并写出回收车 C的坐标； （2）用方向和距离描述洗手池D 相对于回收车 C的位置； （3）因卫生检查，需将A、B、C三点构成的三角形区域，先向左平移1格，再向下平移2格，画出平移后的三角形，并计算该三角形区域的占地面积． 22. 在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和，解出b才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125的立方根a组成．进入密室后，需解出关于x的方程，才能兑换奖励． （1）求a， b， x的值； （2）将奖励存入边长为的正方体盒子，若盒子体积比大k，求的算术平方根． 23. 2025年天文科普兴起，白昼时长变化成热门话题．科研发现日长非固定24小时，存在细微波动以及8.6年周期变化．某校5月开展“白昼时长探索”综合实践活动，鼓励学生通过查资料、观测日出日落等方法探究规律．学校抽样调查了学生在一周内参与次数，整理出不完整统计图表． 学生参与活动次数统计表 参与活动次数（次） 0 1 2 3 4次及以上 人数（人） 7 13 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）该调查统计数据的样本容量是 ， ， ； （2）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校共有1000名学生，根据调查结果，估算该校学生在一周内参与活动“4次及以上”的人数． 24. 已知关于x、y的方程满足方程组 （1）若， 求m的值； （2）若x、y均为非负数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，某工厂要制作一批零件，每个零件制作过程中产生的废料成本为，求废料成本S的最大值和最小值． 25. 旺苍县不仅是川陕革命老区，而且茶史悠远，始于商周，兴于汉唐．“红色旺苍，中国茶乡”已成为其鲜明的城市名片．某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶，其中甲种茶叶进价为每件300元，乙种茶叶进价为每件200元．已知2件甲种茶叶和3件乙种茶叶的售价共1800元，4件甲种茶叶和1件乙种茶叶的售价共2200元． （1）求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ （2）该经销商计划购进甲、乙两种茶叶共70件，总费用不超过19000元，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的2倍，则共有多少种进货方案？请说明理由． 26. 亲爱同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，． （1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在上，与相交于点G，求的度数； （2）如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，则与有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$