专题03 绝对值与相反数重难点题型专训（6个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年六年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版五四制2024）

专题03 相反数与绝对值重难点题型专训 （6个知识点+11大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 利用相反数的意义化简多重符号 题型三 相反数与数轴的结合 题型四 求一个数的绝对值 题型五 绝对值的化简问题 题型六 绝对值的非负性 题型七 绝对值方程 题型八 绝对值的几何意义 题型九 绝对值的其他应用 题型十 有理数的大小比较 题型十一 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义（动点） 拓展训练四 绝对值的几何意义（最值） 拓展训练五 绝对值的其他应用综合 知识点一：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（2025·上海宝山·模拟预测）的相反数是（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）请写出一个其相反数是负数的数为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题主要查了相反数．根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：根据题意得：一个其相反数是负数的数为正数，如1，2，…… 故答案为：1（答案不唯一） 知识点二：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（2025·上海青浦·模拟预测）化简：（   ） A． B．25 C． D．52 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，根据偶数个负号结果为正即可得解，熟练掌握化简多重符号的法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）化简（1） ；（2） ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的意义，多重符号的化简，熟知：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是，是解本题的关键． 根据多重符号的化简，绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：（1）原式：， （2）原式：， 故答案为：，． 知识点三：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海静安·期中）的绝对值是（   ） A．8 B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的概念，绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，非负性是其核心性质，对于负数，其绝对值等于它的相反数，根据绝对值的定义直接计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点四：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海虹口·期末）已知，，化简应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查绝对值的性质，根据绝对值的性质和已知条件，去掉绝对值即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）若有理数a是负数，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，正确去掉绝对值是解题的关键． 先根据题意得到，由此化简绝对值即可． 【详解】解：∵a是负数， ∴． ∴原式． 故答案为：． 知识点五：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据的最小值是即可求解． 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海虹口·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，有理数的乘方，解题的关键是根据绝对值的非负性，求出，的值，再根据有理数的乘方，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 知识点六：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（2025·上海普陀·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，且 ∴最接近标准质量的是， 故选：A． 2．（24-25六年级上·北上海静安·期末）厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是 ． 【答案】乙 【分析】根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：|+1.5|=1.5，|-0.6|=0.6，|+0.7|=0.7，||=， 0.6＜＜0.7＜1.5， 故最接近标准质量的足球是乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用绝对值的意义是解题关键． 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（24-25六年级上·上海青浦·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求相反数．的相反数是，据此解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于2，则 的值是（     ） A．或3 B．1或3 C．1或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，相反数的定义，绝对值的意义，根据倒数，相反数，绝对值的定义求出，，，再分情况代入求出结果即可． 【详解】解：和互为相反数， 和互为倒数， ， 或， 当时，， 当时，， 故选：A． 2．（2024·上海青浦·模拟预测）的相反数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是2． 故答案为2． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期中）点A，B，C，D，E在数轴上的位置如图所示，解答下列问题： (1)写出点A， B， C， D， E分别表示什么数？ (2)写出其中哪些数是互为相反数？ 并说明它们到原点的距离有什么关系？ 【答案】(1)点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 (2)点表示的数和点表示的数，互为相反数，它们到原点距离相等． 【分析】本题主要考查了数轴表示数，相反数等知识点， （1）根据数轴的位置解答即可； （2）找到在原点两侧且到原点的距离相等的点表示的数即可解答； 熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：由数轴知：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为； （2）解：由（1）知，点表示的数和点表示的数，互为相反数， 由数轴知，它们到原点距离相等． 【经典例题二 利用相反数的意义化简多重符号】 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期中）下列各数中，互为相反数的是（     ） A． 与2 B． 与 C． 与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了相反数、绝对值以及去括号等知识，解题关键是熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义，并结合去括号法则、绝对值的性质，逐项分析，即可获得答案． 【详解】解：A. 与2互为相反数，本选项符合题意； B. 与不是相反数，本选项不符合题意； C. 与不是相反数，本选项不符合题意； D. ，，所以与不是相反数，本选项不符合题意． 故选：A． 1．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的计算，互为相反数的两数之和为零，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，，故A选项不符合题意； B．，，，故B选项不符合题意； C．，，故C选项不符合题意； D．，，，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）化简： ． 【答案】-4 【分析】运用相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：． 故填：-4． 【点睛】本题主要考查了多重负号的化简，灵活运用相反数的定义成为解答本题的关键． 3．（24-25六年级上·上海嘉定阶段练习）下列说法正确的有 （只填写序号） ① 任何有理数的绝对值都是正数； ② 数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远； ③ 若，则a是非正数；   ④ 两个互为相反数的数绝对值相等； ⑤ 有理数可分为正数、负数；     ⑥ 1是最小的正数； ⑦ 带“号”和带“”号的数互为相反数； ⑧是2的相反数． 【答案】②③④ 【分析】此题考查绝对值、相反数、有理数的分类、化简多重符号等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：① 任何有理数的绝对值都是正数和0，故原说法错误； ② 数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远，说法正确； ③ 若，则a是非正数，说法正确；    ④ 两个互为相反数的数绝对值相等，说法正确； ⑤ 有理数可分为正有理数、负有理数和0，故原说法错误；      ⑥ 1是最小的正整数，没有最小的正数，故原说法错误； ⑦ 带“号”和带“”号的数不一定互为相反数，故原说法错误； ⑧，则和2相等，但不是相反数，故原说法错误． 综上可知说法正确的有②③④， 故答案为：②③④． 4．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）；问：①；②，规律见详解 【分析】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． （1）根据相反数的定义进行化简即可； （2）根据相反数的定义进行化简即可； （3）根据相反数的定义进行化简即可； （4）根据相反数的定义进行化简即可； 问：①根据前面的计算结果猜想即可得解； ②根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是； ②当前面有2024个负号，即前面有2025个负号，化简后结果， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【经典例题三 相反数与数轴的结合】 【例3】（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）如图，数轴上点表示的数的相反数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，求一个数的相反数；根据数轴知点P表示的数为2，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知，数轴上点P表示的数为2，则其相反数为． 故选：C． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，根据题意分别求出表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，找出规律逐一判断即可，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题的关键． 【详解】解：甲：设点表示， 则表示的数为，表示的数为， 、互为相反数， ∴，解得：， ∴点表示，故甲说法正确； 乙：∵点表示； ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∵点到原点的距离为， ∴或，故乙说法错误； 丙：设点表示， ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∴，故丙说法正确； 综上可知：甲、丙对，乙不对， 故选：． 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）若把数轴上表示数的点向右平移6个单位长度得到点；点表示的数恰好为的相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，先根据数a的点A向右平移6个单位，得出，再算出a的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB＝OC，则下列结论中，①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④．其中正确的是 .（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】根据图示，可得c＜a＜0＜b,，据此逐项判定即可. 【详解】解： ①错误； ， ②正确； ， ③正确； ④错误， 正确的有：②③ 故答案为：②③. 【点睛】本题考查数轴、绝对值、相反数等知识，是重要考点，掌握数形结合的性质是解题关键. 4．（24-25六年级上·上海金山·期中）如图，在单位长度为1的数轴上有，四个点，点表示的有理数互为相反数． (1)请求出点所表示的数，并在数轴上点上方标出； (2)两点间的距离________，两点间距离________； (3)设点在数轴表示的有理数是，借助数轴解答下列问题：式子表示点与有理数________所对应的点之间的距离：表示点与有理数________所对应的点之间的距离； (4)①通过观察可以发现，可以利用绝对值来表示两个有理数在数轴上所对应的点之间的距离，根据距离关系找式子的最小值． ②的最小值呢？ 【答案】(1)A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是3，点D表示的数是4； 数轴见解析 (2)6，5 (3)4， (4)①6； ②9 【分析】（1）根据点A、C表示的有理数互为相反数，点A、C之间是6个单位长度，表示的距离是6，即可求出点B和D表示的数，画数轴即可； （2）直接由两点间的距离即可得出答案； （3）根据在数轴上点M、N两点之间的距离，即可得出答案； （4）①由两点间的距离解即可解决问题． ②由两点间的距离即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点A、C表示的有理数互为相反数，点A、C之间是6个单位长度，表示的距离是6， ∴点A表示的数是，点C表示的数是3，点B表示的数是，点D表示的数是4． 如图所示， （2）解：由数轴可得：A、C两点间的距离为：，B、D两点间的距离为． 故答案为：6，5； （3）解：式子表示点P与有理数4所对应的点之间的距离；式子表示点P与有理数所对应的点之间的距离． 故答案为：4，； （4）解：①在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到3的距离之和， ∴当时，它的最小值是6． ②的几何意义是：表示有理数x的点到3、及到的距离之和， ∴当时，的值最小，它的最小值是3到之间的距离，即． 【经典例题四 求一个数的绝对值】 【例4】（2025·上海普陀·模拟预测）的相反数为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了相反数，绝对值的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；求出，再利用相反数定义是解决问题的关键．利用相反数，绝对值的概念及性质进行解题即可． 【详解】解：，的相反数为， 故选：B． 1．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（   ）    A． B． C． D．1.7 【答案】B 【分析】根据数轴看出，被笑脸覆盖的数x满足如下条件：，且更接近，解答即可． 本题考查了数轴的意义，负数的大小比较，绝对值的应用，熟练掌握负数的比较，绝对值的应用是解题的关键． 【详解】解：设被笑脸覆盖的数为x，根据题意，得，且更接近， 则A，D不符合题意，又，，且， 故更接近， 故C不符合题意， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小，掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里， （1）负数集合：{ …}； （2）正分数集合：{ …}； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类、绝对值，相反数的含义等知识点，熟记各概念是解题关键． （1）根据负数的定义（比0小的数叫做负数）即可得； （2）根据正分数的定义（把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数），从正数里面找到分数即可得． 【详解】解：， 负数集合：； 正分数集合：． 故答案为：；． 4．（24-25六年级上·上海长宁·期末）把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号连接． ， ， ， ， 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较数的大小，先将数进行化简，再表示在数轴上，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：，， 将各数表示在数轴上如图所示： ， 故． 【经典例题五 绝对值的化简问题】 【例5】（2025六年级上·上海宝山·模拟预测）下列化简结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的知识，绝对值的性质．分别化简各选项，判断结果是否为正数，即可． 【详解】解：A．，结果为负数； B．，结果为负数； C．，负负得正，结果为正数； D．，结果为负数． 故选：C． 1．（24-25六年级上·上海金山·期末）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的数从左到右越来越大，绝对值的化简和去括号，根据相关知识点一一计算，得到正确答案，解题的关键是要正确的去掉绝对值； 【详解】解：由数轴可知： ∴； ∴原式， ， ． 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】先实数大小比较，后根据绝对值化简原则解答即可． 本题考查了实数大小比较，绝对值的化简，熟练掌握大小比较是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）化简： ．（其中） 【答案】2或0 【分析】本题考查了化简绝对值，除法法则等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：当时， ∵ ∴； 当时， ∵ ∴； 综上，的值为2或0， 故答案为：2或0． 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 【答案】(1)；2；4 (2)16 (3) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值及方程、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长， （1）由绝对值非负性可得答案； （2）首先确定x的范围，再化简绝对值即可; （3）用含t的代数式表示表示的数，再根据列方程可得答案； 【详解】（1）解：∵ ∴，， ，，； （2）解：由题意得：， ∴，， ∴ ； （3）运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为 ∵ 点为的中点，点为的中点 ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴， ∵， ∴，即或， 解得：或（不合题意，舍去） 答：当时，. 【经典例题六 绝对值的非负性】 【例6】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 1．（2024六年级上·上海虹口·专题练习）已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，先依据非负数的性质求得a、b的值，然后再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）若，且，都是有理数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，有理数的乘方，求出、的值是解决问题的关键． 根据偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，求出、的值再代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以，， 即，， 所以， 故答案为：9． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的非负性，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵与b互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）已知，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性，求出的值，再根据乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴． 【经典例题七 绝对值方程】 【例7】（2025·上海嘉定·模拟预测）数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（） A． B．1 C．或 D．0或 【答案】C 【分析】此题考查了数轴的两点间的距离，绝对值方程，关键是理解数轴上两点间的距离的含义； 设所求数为x，依据数轴两点距离公式列出绝对值方程，根据绝对值定求解即可。 【详解】解：设所求的数为x， ∵数轴上一点为，它与的距离是个单位长度， ∴，即． 当时，解方程可得； 当时，解方程可得． ∴距离表示的点是个单位长度的数是或． 故选：C． 1．（2024六年级上·上海·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及数轴的应用，明确如何借助用数轴上的点表示距离，是解题的关键．当P在点A、B之间时的距离、当点P到点A和点B的距离之和为7的点P的位置，借助含绝对值的式子分析求解即可． 【详解】解：由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有 ∵当点P位于点A、B之间时，， ∴将x从向左移动1.5个单位或从3向右移动1.5个单位，则有 此时，或 \故选：C． 2．（2024六年级上·上海虹口·专题练习）已知，，且，则m的值为 ；n的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了绝对值方程，有理数大小比较等知识点，熟练掌握有理数的相关知识及运算法则是解题的关键． 解绝对值方程可得，，结合，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 故答案为：，． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为（为正整数），规定运算：．已知一列数，，，，，，，，，，，，．若存在正整数使等式成立，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查新定义，找规律，绝对值方程，有理数的乘方运算，解题的关键在于表示出．根据数据表示出，进而得到，再分情况①当为奇数时（为正整数），②当为偶数时（为正整数），结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：因为一列数为，，，，，，，，，，，，． 所以，，，，， 所以除外，满足， 所以 ， ①当为奇数时（为正整数）， 有， ， 或（为正整数，不合题意，舍去）， 解得， ②当为偶数时（为正整数）， 有， ， 或（为正整数，不合题意，舍去）， 解得， 综上所述，等式成立，则或， 故答案为：或． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)①和6关于1的“相对关系值”是______； ②求和关于2的“相对关系值”是______；（保留根号） (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，求的最大值． 【答案】(1)①10② (2) (3)3 【分析】本题考查以绝对值为背景的新定义问题，理解题意并结合绝对值的非负性对题目分析是解题关键． （1）根据“相对关系值”的概念求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）先由题意建立关系式，再由关系式结合绝对值的非负性分别推出和的范围，进而化简关系式即可． 【详解】（1）①根据题意得，． ∴和6关于2的“相对关系值”为10； 故答案为：10 ②， 故答案为： （2）根据题意得，，即 ∴， 解得或． （3）解：由题意得：，分四种情况： 当时，，则； 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 综上：的最大值为3． 【经典例题八 绝对值的几何意义】 【例8】（24-25六年级上·上海青浦·期中）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．当时，总是大于0 C．绝对值是它本身的数是正数 D．有理数不是整数就是分数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值、有理数等概念，逐一分析各选项的正确性，结合绝对值、有理数等概念进行判断． 【详解】解：A. 0既不是正数也不是负数，正确； B. 当时，表示非零数的绝对值，必大于0，正确； C. 绝对值是它本身的数是非负数（包括0和正数），但选项仅提到“正数”，忽略了0，错误； D. 有理数包括整数和分数（含有限小数、无限循环小数），正确． 故选：C． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上点表示的数，绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键；先根据数轴，且，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知，，且， ∴， ∴可能表示数的点是C． 故选∶C． 2．（2025六年级上·上海虹口·专题练习）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海·期中）如果有理数、、满足，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于得出，，中必有两正一负．根据可以看出，，中必有两正一负，从而确定，进而可出求的值． 【详解】解：根据绝对值的意义：一个非零数的绝对值除以这个数，等于或． ， 其中必有两个和一个，即，，中必有两正一负． ， 则， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 【经典例题九 绝对值的其他应用】 【例9】（24-25六年级上·上海长宁·期中）检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．检测结果为：，，，，从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是绝对值的应用．检测质量时，与标准质量偏差越小，合格的程度就越高．比较与标准质量的差的绝对值即可． 【详解】解：，，，， 而， ∴D选项的球与标准质量偏差最小， 故选：D． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）在预防新冠疫情期间，到公共场所都要佩戴口罩，据了解口罩的规格有两种：儿童款（长14cm）和成人款（长17cm），其中超过标准长度的数量记为正数，不足的数量记为负数．质量监督局检查了四个药店的儿童口罩，结果如下，从长度的角度看，最接近标准的儿童口罩是（    ） A．+ 0.09 B．-0.21 C．+0.15 D．-0.06 【答案】D 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】∵|+0.09|＝0.09，|−0.21|＝0.21，|＋0.15|＝0.15，|−0.06|＝0.06， 又∵0.06＜0.09＜0.15＜0.21， ∴从长度的角度看，最接近标准的是选项D中的口罩． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）设，，，，，是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记，S的最小值= ． 【答案】10 【分析】根据绝对值的含义的含义为数轴上数对应点与数对应的点之间的距离，再结合数轴可得答案． 【详解】解：如图， 不妨设， 则表示从数1对应的点出发，每个点到达一次，最后回到1， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，有理数的乘法运算，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 3．（24-25六年级上·上海静安·期中）排球的标准重量是260g，在检测排球质量时，将重量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数．下面是检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果．最接近标准重量的排球的实际重量是 g． 【答案】260.2g 【分析】根据题意可知：质量最接近标准的排球就是检测结果的绝对值最小的. 【详解】由题意得：四个排球质量偏差的绝对值分别为：0.6、0.5、0.3、0.2， 绝对值最小的为0.2，最接近标准， ∴260+0.2=260.2g， 故答案为：260.2g. 【点睛】此题考查正数和负数的理解，绝对值的意义，有理数的加法计算法则，正确理解正负数是解题的关键. 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）云南省弥勒市优越的自然条件孕育了众多的美味水果，其中当数葡萄最为声名远扬，2月下旬以来，弥勒市虹溪镇6500亩大棚茉莉香葡萄陆续抢“鲜”上市，让消费者在春季提前享受盛夏的酸甜美味．该市质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 2 5 1 4 6 2 (1)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (2)这批样品总质量比标准质量多或少几千克？ 【答案】(1) (2)2.2千克 【分析】本题考查了正负数、绝对值的应用以及有理数运算的应用，弄清题意，正确列出算式是解题的关键． （1）求出与标准质量差的绝对值与0.2比较，再进行计算即可； （2）箱数乘以与标准质量差，然后累计相加，再进行计算即可． 【详解】（1）解：，，，，， ∴合格的产品有：， ∴， 答：这20箱样品的合格率是． （2）解：（千克）， 答：这批样品总质量比标准质量多2.2千克． 【经典例题十 有理数的大小比较】 【例10】（2025·上海宝山·模拟预测）数2，0，，中最小的是（  ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握该知识点是解题的关键．根据正数一定比负数大，0一定比负数大，负数比较大小时，负数的绝对值越大，反而越小，根据这个知识点判断即可． 【详解】解：∵，，而， ∴， ∴最小的数是． 故选：D． 1．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）如图，数轴上点表示的数分别为，，用表示数与数的积，规定此问题中最接近的数不包括参与乘积的两个数，则下列说法正确的是（    ） A．与点表示的数最接近 B．与点表示的数最接近 C．与点表示的数最接近 D．与点表示的数最接近 【答案】B 【分析】本题考查数轴，有理数的乘法，根据数轴估计各个数字的大致范围，再根据有理数的乘法计算乘积后比较大小即可． 【详解】解：A、，则，不符合题意； B 、，则，在这个范围内只有点，即与点表示的数最接近，符合题意； C、，，则，不符合题意； D、，，根据数轴可以估计，，，则，不符合题意； 故选：B． 2．（2024六年级上·上海虹口·专题练习）用“”号或“”号填空． （1） ；（2） ；（3） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 根据“两个负数比较大小时，绝对值大的反而小”进行解答即可． 【详解】解：（1），，且， ， 故答案为：； （2），，且， ， 故答案为：； （3），，且， ， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）用符号表示，两数中的较大者，用符号表示，两数中的较小者，则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的大小比较，有理数的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义，比较两数大小，找到较大者即可； （2）分别根据定义得到答案，然后计算有理数的减法即可． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）， ， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海静安·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 【经典例题十一 有理数大小比较的实际应用】 【例11】（2025·上海闵行·模拟预测）四个城市某天上午8时的气温如表，则气温最低的城市是（   ） 北京 石家庄 西安 太原 A．北京 B．石家庄 C．西安 D．太原 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的比较大小，先比较四个城市的平均气温，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴平均气温最低的是太原， 故选：D． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者”，先确定和，得到，再根据法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴=，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了新定义中的有理数的大小比较，解题的关键是理解题中给出的运算法则． 2．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）有7袋糖果，其中6袋质量完全相同，另1袋略轻一些，至少称 次才能找出这袋较轻的糖果． 【答案】2 【分析】此题采用天平进行称量．先把7袋糖果分为3份，分别为3袋、3袋、1袋，先将两个3袋的糖果分别放在天平秤两端，根据平衡情况进行分析即可． 【详解】至少称两次，才能找出这袋较轻的糖． 第一次：把7袋糖果分为3份，分别为3袋、3袋、1袋，先将两个3袋的糖果分别放在天平秤两端，若一样重，则余下那一袋为最轻的；若不一样重，则略轻的1袋在天平较高端的1份中，此时进行第二次称量； 第二次：把较高端的1份再平均分为3份每份1袋，任取2份分别放在天平秤两端；若天平平衡，则略轻的1袋是剩下的1份；若天平不平衡，则天平较高端是略轻的1袋． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，关键是把7袋糖果进行合理分组． 3．（24-25六年级上·上海虹口·课后作业）测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差（单位：g）如下表．若检验时通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负，则最接近标准质量的球是 号． 号码 1 2 3 4 5 误差/g -0.02 0.1 -0.23 -0.3 0.2 【答案】1 【分析】将五个球的误差绝对值按从小到大的顺序排列，找出误差绝对值最小的球即是所求． 【详解】∵|-0.02|＜0.1＜0.2＜|-0.23|＜|-0.3|， ∴1号球为最接近标准质量的球． 故选A． 【点睛】本题考查了正数和负数以及绝对值，找出误差绝对值最小的球是解题的关键． 4．（24-25六年级上·上海静安·期末）综合与实践 小王最近发现自己使用的手机资费套餐A，每个月都会剩余很多的语音通话未使用，感到非常浪费．于是他上网查询了价格更低的几种套餐，其收费标准如下表所示： 套餐 月费 语音 流量 套外流量 A套餐 99元 400分钟 20GB 3元/GB B套餐 79元 200分钟 15GB 3元/GB C套餐 59元 300分钟 10GB 5元/GB D套餐 39元 200分钟 5GB 5元/GB (1)小王10月份的语音通话是150分钟，流量为20GB，小王可以考虑更换为___________套餐，则总付费可节省___________元； (2)通过查询流量的具体使用情况，小王发现自己每个月的流量主要用在听音乐和刷短视频，其中听音乐的流量较固定，因此小王决定购买每个月9元的音乐畅听包（每个月听音乐均免流量），若小王每个月刷短视频等其他流量共计不等，请你通过计算说明，小王应该选择哪种套餐最划算？ 【答案】(1)B；5； (2)小王应该选择B种套餐最划算． 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意正确列出各种套餐的资费是解题的关键． （1）分别求出其它3种套餐的资费，再进行比较，最后作差即可解答； （2）分别求出其它4种套餐的资费，再进行比较即可． 【详解】（1）解：B套餐费用： （元）， C套餐费用： （元）， D套餐费用： （元）， ∵， ∴小王可以考虑更换为B套餐；（元）， 则总付费可节省5元． 故答案为：B；5． （2）解：A套餐费用：（元）， B套餐的最大费用：（元）， C套餐的最大费用：（元）， D套餐的最大费用：（元）， ∵， ∴小王应该选择B种套餐最划算． 【拓展训练一 相反数的结论综合】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列说法中，正确结论的序号是（      ） ①一个数的绝对值一定不是负数；②一个数的相反数一定是负数；③若，则或；④若，则． A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据绝对值、相反数等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：①一个数的绝对值一定不是负数，结论正确； ②一个数的相反数一定是负数，结论错误，例负数的相反数是正数； ③若，则或，结论正确； ④若若，则，结论错误，如时，结论错误． 故选：D 【点睛】本题考查了绝对值、相反数等知识，熟知相关知识并灵活应用是解题关键． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，错误的结论是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有三种情形：或或或， 当时，原式； 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：②③④． 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 【答案】（1）①；②；③；④；⑤；⑥； （2）当前面有2022负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 【分析】本题考查的是相反数的概念和多重符号化简，掌握一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数是解题的关键． 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； （2）当前面有2022个负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）规律：在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）已知m，n为实数，下列说法： ①若，，则； ②若，则是正数； ③若，则； 其中正确的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． ①根据条件可得，即可化简绝对值；②分类讨论，利用有理数的加法，加法和乘法法则计算判断；③利用绝对值的意义化简即可． 【详解】解：①若，m、n同号，由，则，则,本项正确； ②若，当，，则，，，是正数， 当，时，，，是正数， 当，时，，，是正数， 当，时，，，是正数，故本项正确； ③若，则，，故本项错误， 故答案为：①②． 3．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：① ； ② ． (2)当时， ；当时， ． (3)计算：． 【答案】(1)①；②； (2)，； (3) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减运算，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）①根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即可得到答案；②根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即可得到答案； （2）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即可得到答案； （3）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，先去绝对值符号，然后计算即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ； 故答案为：①；②； （2）解：当时， 当时， 故答案为：，； （3）解： 【拓展训练三 绝对值的几何意义（动点）】 1．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，动点、分别从、同时出发，以每秒个单位、每秒个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设运动的时间为秒，表示出点、点在数轴上所表示的数，进而求出线段，、、、，即可作出选择． 【详解】解：设运动的时间为秒， 运动后点所表示的数为，点所表示的数为， ， 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度始终是的整数倍，本选项符合题意． 故选：． 【点睛】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和数轴上两点之间距离的计算方法是正确得出答案的关键． 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知数轴上、两点对应数分别为、，且，为数轴上一动点，对应数为，当点到、距离和为10时，则的值为 ． 【答案】3或/或3 【分析】根据题意可得，，进行分类讨论①当时，②当时，③当时，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ①当时， 由图可知，此时， ∵， ∴，则； ②当时， 由图可知，此时， 不符合题意，舍去； ③当时， 由图可知，此时， ∵， ∴，则； 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是根据题意，画出图形，进行分类讨论，掌握数轴上两点之间距离的表示方法，以及绝对值的意义． 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，点，，是数轴上三点，点表示的数为，，． (1)写出数轴上点，表示的数：　　　　，　　　　； (2)动点，同时从，出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 当时，求出此时，在数轴上表示的数； 为何值时，点距原点个单位长度． 【答案】(1)，； (2)，在数轴上表示的数分别是和；或． 【分析】（）点表示的数是，点表示的数是，求出即可； （）求出，，根据表示的数求出表示的数，将代入计算即可； 利用点距原点个单位长度列出关于的方程，并解答即可； 本题考查了数轴上表示数，数轴上两点之间距离，绝对值的意义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵点对应的数为，， ∴点表示的数是， ∵， ∴点表示的数是， 故答案是：，； （2）由题意得：，， ∴在数轴上点表示的数是，在数轴上点表示的数是， 当时，，， ∴，在数轴上表示的数分别是和， 由得数轴上点表示的数是， ∵点距原点个单位长度， ∴， ∴或． 【拓展训练四 绝对值的几何意义（最值）】 1．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）下列说法：最大值是；若，则为负数；若，则的值为非正数；若，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是，即可判断，正确理解绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：最大值是，故正确； 若，则为正数或，故错误； 若，则的值为非正数，故正确； 若，则，故正确， 综上正确，共个， 故选：． 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）小明设计了一个特殊运算程序，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入第二个整数后则显示的结果．比如依次输入3，5，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数x，y，2，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，若m的最大值为2025，那么m的最小值是 ． 【答案】2021 【分析】本题考查了绝对值的性质，理解题意是解题的关键，根据题意，可以表示出的值，然后根据的最大值为2025，可以得到的值，从而可以得到的最小值． 【详解】不妨设， ∵输入的三个数为x，y，2， ∴第一次输入后显示的结果为：或或， 第二次输入后显示的结果为： 或或 ∵的最大值为2025， ∵， 最大， ∴或2027 ， ∴m的最小值是2021 故答案为：2021． 3．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为 【答案】6 【分析】根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可．此题考查了含有绝对值的最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有试验观察和分情况讨论的能力． 【详解】解：∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10， ∴设b为较大数字，当时，， 解得：， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 设b为较大数字，当时，， 则，即，则， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 综上所述：k的最小值为6． 故答案为：6 【拓展训练五 绝对值的其他应用综合】 1．（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，掌握绝对值的意义解题的关键． 根据绝对值的意义，即可解题． 【详解】解：由题意可得各数的绝对值分别为，，，， ， 最接近标准质量的是， 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 【答案】五 【分析】使用误差的绝对值作为评价标准，误差的绝对值越小数据越接近标准，即可判断． 【详解】根据表格检测结果的绝对值排序：，可知五号排球质量最接近标准， 故答案为：五． 【点睛】本题考查了绝对值的实际运用，关键要掌握绝对值的含义，以及在误差判断中运用． 3．（24-25六年级上·上海崇明·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）的相反数是（　　） A．3 B． C．-3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】的相反数是3． 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，去括号，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）直线上有，，，四个点，其中（   ）最接近0． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，掌握绝对值越小的数越接近0成为解题的关键． 先求出各数的绝对值，然后确定绝对值最小的数即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴最接近0． 故选D． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义．根据“非负差值运算”的定义逐项判断即可． 【详解】解：①， ∴对、5、9进行“非负差值运算”的结果是24，故①正确； ②当时，、、6的“非负差值运算”结果为，故②错误； ③∵x、y、z的“非负差值运算”结果为， ∴时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 同理，时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； ∴x、y、z的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③错误； ∴正确的有1个． 故选：B． 5．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 【答案】B 【分析】根据O、A、B、C、五个点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC ∵， ∴MD=BD， 又∵-5＜d＜-1＜3 ∴M点介于O、C之间， 故选：B． 【点睛】本题考查的是数与数轴，利用数形结合思想解题是关键． 6．（24-25六年级上·上海松江·期中）9的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的概念，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的概念，只有符号不同的两个数，可得结果． 【详解】解：9的相反数是； 故答案为：． 7．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的计算，解题的关键是理解绝对值的定义和运算规则． 先计算括号内的运算，再根据绝对值的定义求出结果． 【详解】， ， 故答案为：3． 8．（24-25六年级上·上海闵行·期末）已知与互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性以及相反数的定义，乘方运算，先根据相反数的定义进行列式，根据非负性质可得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）已知，，，，都是不等于的有理数，若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，化简绝对值，根据题意分别得出所有可能等于的值即可得出结论． 【详解】解：当个数的符号相同时，若都为正， ∴ 若都为负，则 ∴等于或， 当个数的符号有一个相异时，不妨设这个数为， 当为正，则， 若为负，则 ， ∴等于或， 同理当个数的符号有两个相异时，等于或， 当个数的符号有三个相异时，等于或， 当个数的符号有四个相异时，等于或， ， 当个数的符号有十个相异时，等于， 所有可能等于的值的绝对值之和， 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海长宁阶段练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a—b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是 ， 如果|AB|=2，那么x的值为 ； 【答案】 3 3 4 1或 -3 【分析】（1）根据“数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a—b|”可以快速解答本题； （2）根据题意得到A、B之间的距离是，再根据绝对值的意义求出x的值． 【详解】解：（1），，， 故答案为：3，3，4； （2）由题意知：A、B之间的距离是， 当|AB|=2时，有=2， 解得x=1或-3； 故答案为：，1或-3． 【点睛】本题考查的是绝对值的几何意义，解题的关键是阅读材料，明确“数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a—b|”． 11．（2024六年级上·上海虹口·专题练习）分别写出下列各数的相反数：． 【答案】，0， 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数分别是，0，． 12．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏． 【详解】当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意； 所以，原方程的解为：或． 13．（24-25六年级上·上海静安·期中）小红的爸爸是一名出租车司机，一天上午小红的爸爸以某商场为出发点，在南北方向的公路上运营，记向北为正，向南为负，以先后次序记录如下：（单位：km） ，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车离出发点有多远？在它的什么方向？ (2)若每千米收费为3元，小明爸爸这个上午的营业额是多少元？ 【答案】(1)出租车离出发点有，在它的北方 (2)元 【分析】本题考查了有理数加减的实际应用和绝对值是实际应用； （1）求出运营记录的和，根据和的结果进行判断即可求解； （2）求出运营记录的绝对值的和，即可求出运营的总路程，从而可求出营业额； 理解有理数加减的实际意义，总路程为运营记录的绝对值的和是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 （）， 故出租车离出发点有，在它的北方． （2）解：由题意得 （）， （元）； 故小明爸爸这个上午的营业额是元． 14．（24-25六年级上·上海宝山·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． 根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 15．（24-25六年级上·上海松江·期中）已知a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示． (1)试确定a，b的值； (2)A，B两点之间的距离为 ___ 个单位长度； (3)若点C与点B表示的两个数互为相反数，则点C表示的数是 ___ ； (4)点P从点A出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……，依次操作2025次后，求点P表示的数． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)3 (3)2 (4)点P表示的数为 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点之间的距离，点的运动规律，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数轴得出，结合a和b的绝对值，即可解答； （2）根据两点间距离公式进行解答即可； （3）根据相反数定义即可解答； （4）先根据题目所给的移动方法，归纳出每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度，结合数轴上两点之间距离的表示方法，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； 由图可知， ∴，； （2）解：∵，， ∴； ∴两点相距3个单位长度； （3）解：∵点C与点B表示的两个数互为相反数， ∴点C表示的数是； （4）解：将向右平移记为正，向左平移记为负， ∴向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，可表示为：， 向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，可记为：， ∴每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度， ， ∴操作2024次后，P点表示的数为， ∴操作2025次后，P点表示的数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数与绝对值重难点题型专训 （6个知识点+11大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 利用相反数的意义化简多重符号 题型三 相反数与数轴的结合 题型四 求一个数的绝对值 题型五 绝对值的化简问题 题型六 绝对值的非负性 题型七 绝对值方程 题型八 绝对值的几何意义 题型九 绝对值的其他应用 题型十 有理数的大小比较 题型十一 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义（动点） 拓展训练四 绝对值的几何意义（最值） 拓展训练五 绝对值的其他应用综合 知识点一：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（2025·上海宝山·模拟预测）的相反数是（   ） A． B． C． D．5 2．（2025·上海长宁·模拟预测）请写出一个其相反数是负数的数为 ． 知识点二：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（2025·上海青浦·模拟预测）化简：（   ） A． B．25 C． D．52 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）化简（1） ；（2） ． 知识点三：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海静安·期中）的绝对值是（   ） A．8 B． C． D．不确定 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）计算： ． 知识点四：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海虹口·期末）已知，，化简应为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）若有理数a是负数，化简： ． 知识点五：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海虹口·期末）若，则 ． 知识点六：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（2025·上海普陀·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．7 2．（24-25六年级上·北上海静安·期末）厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是 ． 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（24-25六年级上·上海青浦·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于2，则 的值是（     ） A．或3 B．1或3 C．1或 D．或 2．（2024·上海青浦·模拟预测）的相反数是 ． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期中）点A，B，C，D，E在数轴上的位置如图所示，解答下列问题： (1)写出点A， B， C， D， E分别表示什么数？ (2)写出其中哪些数是互为相反数？ 并说明它们到原点的距离有什么关系？ 【经典例题二 利用相反数的意义化简多重符号】 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期中）下列各数中，互为相反数的是（     ） A． 与2 B． 与 C． 与 D．与 1．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）化简： ． 3．（24-25六年级上·上海嘉定阶段练习）下列说法正确的有 （只填写序号） ① 任何有理数的绝对值都是正数； ② 数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远； ③ 若，则a是非正数；   ④ 两个互为相反数的数绝对值相等； ⑤ 有理数可分为正数、负数；     ⑥ 1是最小的正数； ⑦ 带“号”和带“”号的数互为相反数； ⑧是2的相反数．    4．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【经典例题三 相反数与数轴的结合】 【例3】（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）如图，数轴上点表示的数的相反数为（ ） A． B． C． D． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）若把数轴上表示数的点向右平移6个单位长度得到点；点表示的数恰好为的相反数，则 ． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB＝OC，则下列结论中，①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④．其中正确的是 .（填序号） 4．（24-25六年级上·上海金山·期中）如图，在单位长度为1的数轴上有，四个点，点表示的有理数互为相反数． (1)请求出点所表示的数，并在数轴上点上方标出； (2)两点间的距离________，两点间距离________； (3)设点在数轴表示的有理数是，借助数轴解答下列问题：式子表示点与有理数________所对应的点之间的距离：表示点与有理数________所对应的点之间的距离； (4)①通过观察可以发现，可以利用绝对值来表示两个有理数在数轴上所对应的点之间的距离，根据距离关系找式子的最小值． ②的最小值呢？ 【经典例题四 求一个数的绝对值】 【例4】（2025·上海普陀·模拟预测）的相反数为（   ） A．2 B． C． D． 1．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（   ）    A． B． C． D．1.7 2．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”）． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里， （1）负数集合：{ …}； （2）正分数集合：{ …}； 4．（24-25六年级上·上海长宁·期末）把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号连接． ， ， ， ， 【经典例题五 绝对值的化简问题】 【例5】（2025六年级上·上海宝山·模拟预测）下列化简结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海金山·期末）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）化简的结果是 ． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）化简： ．（其中） 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 【经典例题六 绝对值的非负性】 【例6】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 1．（2024六年级上·上海虹口·专题练习）已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）若，且，都是有理数，则 ． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）已知，求的值． 【经典例题七 绝对值方程】 【例7】（2025·上海嘉定·模拟预测）数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（） A． B．1 C．或 D．0或 1．（2024六年级上·上海·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 2．（2024六年级上·上海虹口·专题练习）已知，，且，则m的值为 ；n的值为 ． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为（为正整数），规定运算：．已知一列数，，，，，，，，，，，，．若存在正整数使等式成立，则 ． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)①和6关于1的“相对关系值”是______； ②求和关于2的“相对关系值”是______；（保留根号） (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，求的最大值． 【经典例题八 绝对值的几何意义】 【例8】（24-25六年级上·上海青浦·期中）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．当时，总是大于0 C．绝对值是它本身的数是正数 D．有理数不是整数就是分数 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2025六年级上·上海虹口·专题练习）如果，那么 ． 3．（24-25六年级上·上海·期中）如果有理数、、满足，那么 ． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【经典例题九 绝对值的其他应用】 【例9】（24-25六年级上·上海长宁·期中）检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．检测结果为：，，，，从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）在预防新冠疫情期间，到公共场所都要佩戴口罩，据了解口罩的规格有两种：儿童款（长14cm）和成人款（长17cm），其中超过标准长度的数量记为正数，不足的数量记为负数．质量监督局检查了四个药店的儿童口罩，结果如下，从长度的角度看，最接近标准的儿童口罩是（    ） A．+ 0.09 B．-0.21 C．+0.15 D．-0.06 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）设，，，，，是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记，S的最小值= ． 3．（24-25六年级上·上海静安·期中）排球的标准重量是260g，在检测排球质量时，将重量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数．下面是检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果．最接近标准重量的排球的实际重量是 g． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）云南省弥勒市优越的自然条件孕育了众多的美味水果，其中当数葡萄最为声名远扬，2月下旬以来，弥勒市虹溪镇6500亩大棚茉莉香葡萄陆续抢“鲜”上市，让消费者在春季提前享受盛夏的酸甜美味．该市质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 2 5 1 4 6 2 (1)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (2)这批样品总质量比标准质量多或少几千克？ 【经典例题十 有理数的大小比较】 【例10】（2025·上海宝山·模拟预测）数2，0，，中最小的是（  ） A．2 B．0 C． D． 1．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）如图，数轴上点表示的数分别为，，用表示数与数的积，规定此问题中最接近的数不包括参与乘积的两个数，则下列说法正确的是（    ） A．与点表示的数最接近 B．与点表示的数最接近 C．与点表示的数最接近 D．与点表示的数最接近 2．（2024六年级上·上海虹口·专题练习）用“”号或“”号填空． （1） ；（2） ；（3） 3．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）用符号表示，两数中的较大者，用符号表示，两数中的较小者，则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 4．（24-25六年级上·上海静安·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【经典例题十一 有理数大小比较的实际应用】 【例11】（2025·上海闵行·模拟预测）四个城市某天上午8时的气温如表，则气温最低的城市是（   ） 北京 石家庄 西安 太原 A．北京 B．石家庄 C．西安 D．太原 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）有7袋糖果，其中6袋质量完全相同，另1袋略轻一些，至少称 次才能找出这袋较轻的糖果． 3．（24-25六年级上·上海虹口·课后作业）测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差（单位：g）如下表．若检验时通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负，则最接近标准质量的球是 号． 号码 1 2 3 4 5 误差/g -0.02 0.1 -0.23 -0.3 0.2 4．（24-25六年级上·上海静安·期末）综合与实践 小王最近发现自己使用的手机资费套餐A，每个月都会剩余很多的语音通话未使用，感到非常浪费．于是他上网查询了价格更低的几种套餐，其收费标准如下表所示： 套餐 月费 语音 流量 套外流量 A套餐 99元 400分钟 20GB 3元/GB B套餐 79元 200分钟 15GB 3元/GB C套餐 59元 300分钟 10GB 5元/GB D套餐 39元 200分钟 5GB 5元/GB (1)小王10月份的语音通话是150分钟，流量为20GB，小王可以考虑更换为___________套餐，则总付费可节省___________元； (2)通过查询流量的具体使用情况，小王发现自己每个月的流量主要用在听音乐和刷短视频，其中听音乐的流量较固定，因此小王决定购买每个月9元的音乐畅听包（每个月听音乐均免流量），若小王每个月刷短视频等其他流量共计不等，请你通过计算说明，小王应该选择哪种套餐最划算？ 【拓展训练一 相反数的结论综合】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列说法中，正确结论的序号是（      ） ①一个数的绝对值一定不是负数；②一个数的相反数一定是负数；③若，则或；④若，则． A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，错误的结论是 （填写序号）． 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 2．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）已知m，n为实数，下列说法： ①若，，则； ②若，则是正数； ③若，则； 其中正确的是 ． 3．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：① ； ② ． (2)当时， ；当时， ． (3)计算：． 【拓展训练三 绝对值的几何意义（动点）】 1．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，动点、分别从、同时出发，以每秒个单位、每秒个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知数轴上、两点对应数分别为、，且，为数轴上一动点，对应数为，当点到、距离和为10时，则的值为 ． 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，点，，是数轴上三点，点表示的数为，，． (1)写出数轴上点，表示的数：　　　　，　　　　； (2)动点，同时从，出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 当时，求出此时，在数轴上表示的数； 为何值时，点距原点个单位长度． 【拓展训练四 绝对值的几何意义（最值）】 1．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）下列说法：最大值是；若，则为负数；若，则的值为非正数；若，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）小明设计了一个特殊运算程序，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入第二个整数后则显示的结果．比如依次输入3，5，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数x，y，2，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，若m的最大值为2025，那么m的最小值是 ． 3．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为 【拓展训练五 绝对值的其他应用综合】 1．（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 3．（24-25六年级上·上海崇明·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）的相反数是（　　） A．3 B． C．-3 D． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）直线上有，，，四个点，其中（   ）最接近0． A． B． C． D． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 5．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 6．（24-25六年级上·上海松江·期中）9的相反数是 ． 7．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 8．（24-25六年级上·上海闵行·期末）已知与互为相反数，那么 ． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）已知，，，，都是不等于的有理数，若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于 ． 10．（24-25六年级上·上海长宁阶段练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a—b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是 ， 如果|AB|=2，那么x的值为 ； 11．（2024六年级上·上海虹口·专题练习）分别写出下列各数的相反数：． 12．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 13．（24-25六年级上·上海静安·期中）小红的爸爸是一名出租车司机，一天上午小红的爸爸以某商场为出发点，在南北方向的公路上运营，记向北为正，向南为负，以先后次序记录如下：（单位：km） ，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车离出发点有多远？在它的什么方向？ (2)若每千米收费为3元，小明爸爸这个上午的营业额是多少元？ 14．（24-25六年级上·上海宝山·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 15．（24-25六年级上·上海松江·期中）已知a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示． (1)试确定a，b的值； (2)A，B两点之间的距离为 ___ 个单位长度； (3)若点C与点B表示的两个数互为相反数，则点C表示的数是 ___ ； (4)点P从点A出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……，依次操作2025次后，求点P表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $$