精品解析：山东省泰安市肥城市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023−2024学年度下学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共8页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 的值等于（ ） A. B. C. 4 D. 2. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线依次交，，于点A，B，C，直线依次交，，于点D，E，F，若，，则的长为（ ） A. 12 B. 22 C. 24 D. 28 5. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ） A B. C. D. 9. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，、分别交于点M，N，连接、，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12. 如图，在中，，，，P，Q分别是边，上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 若，那么值为__________． 14. 若定义，那么满足的x值为______． 15. 如图，点A是反比例函数的图像上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为_______． 16. 清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 __里． 17. 若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是_____． 18. 如图，在边长为4的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 19. （1）计算： ① ② （2）解方程： ①；（配方法） ②．（用自己喜欢的方法） 20. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： （1）请写出的整数部分和小数部分各是多少？ （2）如果的小数部分为a，的整数部分是b，求的值； （3）已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，且，求的相反数． 21. 如图，是平行四边形的对角线，，延长至点C，使，连接交于点O，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围； （3）若点P在x轴上，且，求点P坐标． 23. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线．继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高． 24. 在矩形中，，，点E边上一动点，连接，在右侧作，，． （1）如图1，若点F恰好落在边上，求的长； （2）如图2，延长交边于点H，当时，求的值． 25. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023−2024学年度下学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共8页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 的值等于（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故选B． 2. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据图象在第二、四象限可得，求出的取值范围再结合选项即可判断求解，掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴的值可以为， 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算正确； 故选D． 4. 如图，直线，直线依次交，，于点A，B，C，直线依次交，，于点D，E，F，若，，则的长为（ ） A. 12 B. 22 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ，即， 解得：， ， 故选：B 5. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是熟练掌握：对于反比例函数，当时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，图象的两个分支在第二、四象限内变化，且在每一个象限内随的增大而增大．首先根据得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内随的增大而增大，然后根据点，，的横坐标得，点，在第二象限内，点在第四象限内，进而可判定，，，最后再根据得，据此即可得出答案． 【详解】解：，， 函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内随的增大而增大， 又点，，， 点，在第二象限内，点在第四象限内， ，，， 又， ， ． 故选：C 6. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线，构造出合适的直角三角形是解题的关键．过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ， ． 在中， ． 故选：C 7. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可，注意题目中1027.96亿元是3天的收入之和． 【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x，由题意，得： ； 故选A． 8. 如图，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出，，，是解决问题的关键．根据位似变换的性质得出的边长放大到原来的2倍，，，，进而得出点的横坐标． 【详解】解：如图，过点B作轴，过点作轴， 点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍． 点的对应点的横坐标是， ，， ， 点的横坐标是：． 故选：B 9. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．先根据矩形的性质，推理得到，再根据求得的长，即可得到的长． 【详解】解：，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 又中，， ， ， 故选：D 10. 如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 11. 如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，、分别交于点M，N，连接、，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题． 将绕点A逆时针旋转，得到，则，，，可证得，从而得到，，进而得到，再由四边形内角和定理可得，，故①②正确；再证明，可得，故③正确；再由，，可得，从而得到，对顶角相等，故④正确． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，则，，， ∵四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选A． 12. 如图，在中，，，，P，Q分别是边，上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称，垂线段最短，解直角三角形，延长到，使，连接，过点作于点，推出的最小值是，再求出的长即可． 【详解】解：延长到，使，连接，过点作于点，如图， ， 点与点关于轴对称， ， ， 的最小值是， ，， ， 在中， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 若，那么的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用了分式的性质进行化简，可得答案． 【详解】解：由，得 ． 化简，得 ． ， 故答案为：． 14. 若定义，那么满足的x值为______． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：或3． 15. 如图，点A是反比例函数的图像上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，明确三角形的面积是解题的关键．根据已知条件得到三角形的面积，由于三角形的面积，得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接； 轴， ， 三角形的面积， ， ， ， ． 故答案为：6 16. 清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 __里． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，设这座方城每面城墙的长为里，根据题意得到，，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：设这座方城每面城墙的长为里， 由题意得，，，，里，里， ， ， ，即， ， ∴这座方城每面城墙的长为8里， 故答案：8． 17. 若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实根，得到判别式为非负数，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实根， ∴， ∴； 故答案为：． 18. 如图，在边长为4的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形．过点作于点，根据在边长为2的菱形中，，为中点，得到，从而得到，，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示：过点作延长线于点， 在边长为4的菱形中，，为中点， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 19. （1）计算： ① ② （2）解方程： ①；（配方法） ②．（用自己喜欢的方法） 【答案】（1）① ②（2）①， ②， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程： （1）①先进行化简，和除法运算，再合并同类二次根式即可； ②先进行乘法公式的计算，再进行合并即可； （2）①根据配方法的步骤，进行求解即可；②因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）①原式； ②原式； （2）①， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴，； ② ∴， ∴， ∴， ∴，． 20. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： （1）请写出的整数部分和小数部分各是多少？ （2）如果的小数部分为a，的整数部分是b，求的值； （3）已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，且，求的相反数． 【答案】（1）整数部分是3，小数部分是 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算解答即可； （2）根据无理数的估算求出a、b，计算即可； （3）根据无理数的估算求出x、y，根据相反数的概念解答即可． 【小问1详解】 ， ， 整数部分是3，小数部分是； 【小问2详解】 ， 的小数部分为： ， 的整数部分是； ． 【小问3详解】 ，其中x是整数，且， 为的整数部分，y为的小数部分， ， ， ，， ， 的相反数是． 21. 如图，是平行四边形的对角线，，延长至点C，使，连接交于点O，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）过O作于F，根据三角线的中位线定理求出的长，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形； 【小问2详解】 过O作于F， 四边形是矩形，， ，， 又， ， ， ，，， ， ． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围； （3）若点P在x轴上，且，求点P坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）把代入的即可求得的值，进而得到，然后利用待定系数法即可即可求得一次函数的表达式； （2）根据图象，结合、的坐标即可求得； （2）利用求解即可． 【小问1详解】 反比例函数的图象经过点， ， ． 反比例函数的解析式为． 反比例函数的图象经过点， ， ． 一次函数的图象过点，， ， ． 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 由函数图象可得：时，即反比例函数图象在一次函数图象上方， 或． 【小问3详解】 设点P坐标为，直线与x轴交于点C． 令，得， ． ， ， 或． 点P的坐标为或． 23. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线．继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高． 【答案】（1） （2）19.6米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 ， ， 该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ，， ． 答：屋顶到横梁的距离为． 【小问2详解】 过点E作于点H， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，， 解得：， ， 答：房屋的高为19.6米． 24. 在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作，，． （1）如图1，若点F恰好落在边上，求的长； （2）如图2，延长交边于点H，当时，求的值． 【答案】（1）3.5 （2） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等相关知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定． （1）由四边形为矩形，可得，，，再证明，可得，最后求得的长； （2）由题意可知，，过点作于点，由上易得，可得，设，则，由题意可知，可得，代入建立关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 四边形为矩形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 ，， ， 如图，过点F作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得，（舍去） ． 25. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1）（2）符合要求（3）48元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“道路宽度不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】解：（1）根据题意得： （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$